簡介對稱性在現(xiàn)代物理理論中非常重要，一般來說一個理論對稱性越多，就越方便我們處理。更進一步， 諾特定理(Noether's theorem)給出了（連續(xù)）對稱性和守恒量之間的關(guān)系。本文的主要目的就是簡要的介紹對稱性和守恒律之間的關(guān)系。整體對稱性和諾特定理我們首先來看最清晰也最簡單的情形–––整體對稱性。設(shè)一個經(jīng)典體系有拉式量，則作用量為對于連續(xù)的整體對稱變換，我們可以取一個無窮小變換假如有這么一個函數(shù)（微分形式），滿足在邊界上為0的邊界條件。那么我們由斯托克斯定理(Stokes' theorem)可知可以看到以上的推導(dǎo)要求的是對稱變換，但并沒有要求滿足運動方程。現(xiàn)在如果我們要求一個無窮小變換保持運動方程，但并不要求保持作用量不變，這會發(fā)生什么呢？如下因為我們已經(jīng)要求滿足運動方程了，所以上式第二行的第一項就為0，所以得現(xiàn)在如果我們要求既滿足對稱變換，又滿足運動方程，那么根據(jù)前式的對比可知所以就是一個守恒量，這就是諾特定理（有時候也叫做諾特第一定理）。對于場論中的諾特定理推導(dǎo)是十分類似的，設(shè)總結(jié)一下，諾特定理告訴我們?nèi)魏我粋€連續(xù)對稱性有相應(yīng)的守恒量。圖片來源 https:///noethers-theorem-kindergarten-phd/特別指出的是，這里的對稱性是針對有動力效應(yīng)(dynamical)的變量而言的，對于屬于背景（background）的量則沒有以上的結(jié)果。 規(guī)范對稱性規(guī)范對稱性(gauge symmetry)在現(xiàn)代物理理論中非常重要。然而雖然我們把它叫做'對稱性'，但比較現(xiàn)代的觀點是把它看成一種'冗余'，它告訴我們描述不同物理的是一族數(shù)學(xué)上的等價類。一個具體的例子為：在麥克斯韋理論中，如果電磁4-勢為某個物理解，那么對于任何，描述的是與代表的同一個物理解。這個對稱性對于完全沒有任何要求，這和我們上一節(jié)提到的整體對稱性有區(qū)別。對于整體對稱性而言，函數(shù)是被確定的，并沒有這種任意性。正因為對沒有要求，所以每點處的可以不同，因此區(qū)別于整體對稱性，我們把這種對稱叫做規(guī)范對稱。我們發(fā)現(xiàn)這兩個運動方程不是獨立的，運動方程不能完全確定解的形式！接下來如果我們直接利用諾特定理，你會發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論不僅適用于我們這個玩具模型，而且是普遍結(jié)論。如果規(guī)范對稱性帶有可觀測的荷，那么規(guī)范對稱性就不再是一種冗余，而是代表了實際物理，因此守恒荷恒為0是很自然的結(jié)論。為了能更好的看清規(guī)范對稱性，我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)到哈密頓形式中去。做勒讓德變換(Legendre transformation)，得這是個很不平凡的結(jié)論，它告訴我們（在滿足運動方程的情況下）恒為0。我們發(fā)現(xiàn)如果變量在拉式量中沒有導(dǎo)數(shù)項，那么就不存在它的共軛動量，絕大多數(shù)我們熟知規(guī)范理論的哈密頓形式可以寫成回憶一下高數(shù)中的拉格朗日乘子法(Lagrange multiplier)，你會發(fā)現(xiàn)這跟我們這里的情形完全一樣。因此，我們把看成是一個乘子，而把看成是一個約束（在這個玩具模型中，約束即為）！因此我們可以說沒有共軛動量的量通常是一個乘子。本文并不打算繼續(xù)敘述規(guī)范對稱性和約束的關(guān)系，感興趣的讀者可以參考文獻。再一次，我們發(fā)現(xiàn)這三個運動方程并不獨立，因此不能完全確定解的形式。對于具有規(guī)范對稱性的理論，通常運動方程無法完全確定解的結(jié)果是規(guī)范冗余帶來的。因為運動方程描述的是物理的結(jié)果，而如今我們引入了冗余的'非物理'的信息，自然這部分多余的信息無法被運動方程確定，一般來說我們還需要額外的規(guī)范固定條件來確定最終的解。小結(jié)我們已經(jīng)知道了整體對稱性和規(guī)范對稱性的不同。作為一個例子，我們簡單的對狹義相對論和廣義相對論中的能量做個小論。在狹義相對論中，時空具有時間平移不變性，這是一個整體對稱性，因此我們可以借助這個對稱性定義能量。但在廣義相對論中通常我們沒有時間平移不變性，所以不能像狹義相對論那樣定義能量。由于等效原理，廣義相對論有一個局域的微分同胚不變性，自然就可以有一個局域的時間平移不變性，這種不變性可以對應(yīng)一個規(guī)范對稱性，規(guī)范對稱性對應(yīng)的諾特荷恒為0，似乎是沒有物理意義的。但根據(jù)我們第二節(jié)的描述，我們應(yīng)該把這種情況看成是一種約束條件，由此廣相中的'能量'會有更復(fù)雜和豐富的內(nèi)涵。本文簡單的介紹了經(jīng)典理論中的對稱性和諾特定理，我們得到結(jié)論規(guī)范對稱性表達(dá)了一種冗余，通常會伴隨某種約束。
[1] M. Ba?ados and I. Reyes, A short review on noether’s theorems, gauge symmetries and boundary terms, International Journal of Modern Physics D 25 (2016) 1630021.[2] A. Deriglazov, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism, Classical mechanics. Hamiltonian and Lagrangian formalism (2010).
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