可重復(fù)問題（方冪處理，乘法原理）

例1：現(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，且每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是_5^4____.

限制問題（優(yōu)先法處理：一般采取將特殊元素（位置）優(yōu)先處理的方法）

例2：六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有__216_____種.

[分析]甲和乙的位置屬于特殊位置，所以應(yīng)該優(yōu)先考慮。

練習(xí)1：（講義34題/2020年徐匯一模第9題）數(shù)字不重復(fù)，且個位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于2的四位數(shù)的個數(shù)為__840____.

[分析]個位數(shù)字和千位數(shù)字在下列集合中取值: {9,7},{8,6},{7,5},{6,4},{5,3},{4,2},{3,1},{2,0}. [注意]：{2,0}中的0受限制，不能作為千位數(shù)字。

相鄰問題（捆綁法：將相鄰元素“捆綁”為一個大元素，再與其余元素排列，最后再“松綁”，將相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列）

例3：一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為___6^4___.

[分析]

• 先“捆綁”：三個家庭看成三個大元素進(jìn)行全排列P_3^3.
• 再“松綁”：每個家庭內(nèi)部再進(jìn)行排列P_3^3×P_3^3×P_3^3.
• 乘法原理：P_3^3 ×P_3^3×P_3^3×P_3^3.

練習(xí)2:有8本不相同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外文書2本，其它書3本，若 將這些書排列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一 起的排法共有_1440_____種.

不相鄰問題(插空法:先排其他元素，再將不相鄰的元素插入到已排好元素之間和兩端的空中。)

例4：6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有__480___種.

[分析]先排其余4個，有5個空，再把甲乙插入到5個空中。

練習(xí)3:用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___576_____種.

[分析]分為兩步:相鄰問題捆綁處理，不相鄰問題插空處理。

定序問題(作商處理: 給定元素順序確定，再插入其他元素進(jìn)行排列。順序確定的元素為n個，新插入的元素為m個，則排列數(shù)為: (m+n)!/n!.

例5：（講義10題）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右 邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的站法有___60_______種.

[分析]B必須站在A的右邊，因此A,B順序確定，再加入3個元素排序，因 此有5!/2!.

練習(xí)4:（講義35題）12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要 從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人位置不變，則不同調(diào)整方法的總 數(shù)是__840_____.

[分析]從后排8人選2人，只需注意到位置順序不變的：前排4人。

分組問題（平均分組、部分平均分組和非平均分組；要分清楚具體到底是哪類分組）

例6: 將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有__12_____種.

[分析]平均分組+排序.

例7：將9個人（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為___70___種.

[分析]平均分組+不排序.

例8：某校安排5個班到4個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有_240_____種。

[分析]部分平均分組+排序，2，1，1，1。

例9：從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結(jié)果共有__60___種。

[分析]非平均分組

復(fù)雜問題 (排除法: 證明不好解決的排列、組合問題，考慮反面。一般題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn))

例10：（講義40題）從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有__34____種。

[分析]考慮反面：都是男生。

練習(xí)5：（講義42題）從4臺甲型與5臺乙型電視機(jī)中任選出3臺，其中至 要有甲、乙型機(jī)各一臺，則不同的取法共有___70____種。

[分析]出現(xiàn)“至少”字樣，考慮反面：都是甲型或者都是乙型。