（2021·青島）已知：如圖，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cms．過點Q作QM∥BE，交AD于點H，交DE于點M，過點Q作QN∥BC，交CD于點N．分別連接PQ，PM，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當PQ⊥BD時，求t的值；
（2）設(shè)五邊形PMDNQ的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當PQ＝PM時，求t的值；
（4）若PM與AD相交于點W，分別連接QW和EW．在運動過程中，是否存在某一時刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

【分析】

（1）PQ⊥BD可以得到△BPQ與△BDA相似，或者用三角函數(shù)也可以解決。

（2）分成2或3個部分進行分別求解即可，也就是割補法。

（3）用t分別表示出PQ與PM即可。列方程求解。

（4）當∠AWE＝∠QWD時，可以發(fā)現(xiàn)Q、W、E三點共線，此時可以得到一組8字型相似，用t表示線段長建立等量關(guān)系即可求解。

【答案】解：（1）如圖1中，

由題意，BP＝DQ＝t（cm），
在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，
∴BD10（cm），
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB＝90°，
∴cos∠PBQ，
∴，
∴t，
答：當PQ⊥BD時，t的值為．

（2）如圖2中，過點P作PO⊥QM于點O．

在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，
∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），
∵QM∥BE，
∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，
∴四邊形OPAH是矩形，
∴PO＝AH，
∵QM∥EB，
∴∠DQM＝∠QDM，
∵∠QDM＝∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴，
∴，
∴QMt（cm），
∵QN∥BC，
∴∠DNQ＝∠C＝90°，
∵∠CDB＝∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴，
∴，
∴DNt（cm），QNt（cm）．
∴
（PQ+DH）·QMQN·ND
（HA+DH）·QMQN·ND
·AD·QMQN·ND
6ttt
t．
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：St（0＜t＜8）．

（3）如圖3中，延長NQ交BE于點G．

 由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，
∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，
∴四邊形NGAD是矩形，
∴BG＝CN＝（8t）（cm），
同理可證，四邊形PGQO是矩形，
∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（8t）＝（t﹣8）（cm），
∴tt﹣8，
∴t，
答：當PQ＝PM時，t的值為．

（4）存在．
理由：如圖4中，

由（2）得DNt，QMt，
∵QN∥BC，QM∥BE，
∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，
∴四邊形NQHD是矩形，
∴QH＝DNt，且∠QHD＝90°，
∴∠QHA＝∠DAE＝90°，
∵∠AWE＝∠QWD，
∴△HQW∽△AEW，
同理可證△MHW∽△PAW，
∴，，
∴，
∴，
∴t，
經(jīng)檢驗，t是分式方程的解，
答：在運動過程中，t的值為時，∠AWE＝∠QWD．