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構(gòu)造大法 | 構(gòu)造“手拉手”解決線段(和)問題之線性篇與弧形篇

 昵稱47813312 2021-03-04
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如圖,在RtΔBEF中BE=1,EF=2,正方形ABCD的邊BA、BC分別在BE、BF上,點D在EF上,點P是線段DE上一動點,連接AP,將AP繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP',連接DP',則DP'的最小值是

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解法(一):連接BP,AP=AP',AB=AD,

可得△APB≌△AP'D(SAS),

所以DP'=BP。

當BP=BG時能夠取得最小值。

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解法(二):過A作AE'⊥AE,且AE'=AE。

可得△AE'P'≌△AEP(SAS),

所以∠AE'P'=∠E=60°,

可得出P'的運動軌跡。

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此種類型的問題把它歸結(jié)為“瓜豆原理”問題,也就是從動點P'的軌跡和點P的軌跡是類似的。

模型:如圖,∠MPN為定角,PM:PN為定值,點M在直線上運動,可知點N也在某條直線上運動。

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而解決此類問題我喜歡把它叫作“照貓畫虎”,就是照著原來的動三角形在畫出一個和它相似的三角形,如果把原來的動三角形比作貓,那么畫出的三角形就是虎,貓虎相似,根據(jù)手拉手模型,就可以得到另外一組相似三角形。

于是為了解決這種問題,我們可以分四步走:1.找出貓;2.定貓眼(定點);3.畫出虎;4.手拉手模型。



小試身手:

1.如圖,在等邊ΔABC中,AB=3,AD⊥BC,點E是線段AD上一點,連接CE,將CE繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至CF,連接DF,則DF的最小值是?

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分析:點E在運動過程中,①△CEF的形狀不變---貓;②C點在此過程中為定點(貓眼);③畫出虎△ABC;④手拉手:△ACE≌△BCF。

解法一:所以F點的軌跡就可以確定了。

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注意:畫虎時,虎的位置不唯一,利用好已知條件就是最好的。

解法二:取AC的中點G,可得CG=CD,△CDF≌△CGE,DF=EG。

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相似類型

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解析:①找貓---△APQ形狀不變;②貓眼---A點定;③畫出虎---在AB右側(cè)作△RtABE,使得∠ABE=90°,∠E=30°;④運用手拉手模型.

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將軍飲馬模型:“條件不夠,平行四邊形來湊”系列之----將軍飲馬模型

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也可以這樣:過構(gòu)造Rt△ADE

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還可以這樣,不做輔助線,利用Rt△AOB。

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OA:AB=AP:AQ=OP:BQ=1:2,

AQ+BQ=2(AP+OP)


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二、“手拉手”解決線段(和)之弧形篇


對于瓜豆原理這樣理解:①多動點;②運動過程中,某三角形形狀不變;③從動點的軌跡與主動點一樣。

對于構(gòu)造“手拉手”模型,這樣理解:照貓畫虎法。分為四步:①找到貓;②定貓眼;③畫出虎;④找相似(全等)三角形。

問題:

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瓜豆原理:①F、G、H為動點;②△CFG形狀不變(所求問題與G有關(guān));③F點的軌跡是圓,所以判斷G點的軌跡也是圓。

照貓畫虎法:①貓--△CFG;②定--C點;③畫虎--△ABC;④△BCF∽△ACG

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瓜豆原理:①A、D為動點;②△ACD形狀不變(所求問題與D有關(guān)); ③A點的軌跡是圓,所以判斷D點的軌跡也是圓。

照貓畫虎法:①貓--△ACD;②定--C點;③畫虎--以BC為邊作等邊△BCE;④△ABC≌△DEC。

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變式思考:其他條件不變,求△ABD面積的最大值。

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解法類似!

在這個問題中A、B、C、D四個點都可以動,解題時要根據(jù)問題的需求確定定點與動點,合理利用動靜轉(zhuǎn)換(相對運動思想)解決問題。



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