本文擬以四個板塊展開：路徑之隱圓（?。?；路徑之隱線（段）；路徑之“來回”；路徑之“瓜豆”.

          板塊一：路徑之隱圓（?。?/span>

一、由圓的集合定義引出“路徑（或軌跡）”一說

師問：“請同學(xué)們回顧一下，課本中圓是如何定義的？”

蘇科版九年級上冊課本中有這樣一段關(guān)于圓的集合定義：“在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)O叫圓心，定長r叫半徑”，如下圖所示.

其實(shí)，課本上這段有關(guān)圓的集合定義就隱含著“路徑（或軌跡）”之說，如上圖所示，到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)P的路徑（或軌跡）就是這個⊙O，即所謂路徑（或“軌跡”）就是指符合指定條件的所有點(diǎn)的集合.

《百度百科》上有關(guān)于“軌跡”的如下定義及介紹（學(xué)生了解即可）：

符合某一條件的所有的點(diǎn)的集合，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：一是該圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，即圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件（純粹性）；二是該圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，即符合條件的任意一點(diǎn)都在圖形上（完備性）.

而平面內(nèi)常見的點(diǎn)的軌跡有：

(1)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；

(2)到已知線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；

(3)在角的內(nèi)部，到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個角的角平分線；

(4)到定直線L的距離等于定長d的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長d的兩條直線；

二、路徑之隱圓（?。┑膸追N判斷方法

(一)定義法

圓的集合定義“在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)O叫圓心，定長r叫半徑”，可以作為判斷隱圓（?。┑淖钪匾彩亲罨镜牡谝环N方法，筆者稱之為“定義法”..

例1.如圖1，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上兩個動點(diǎn)，點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ=4．則動點(diǎn)C運(yùn)動形成的路徑長是           .

動態(tài)展示如下：

定義法識別及解題技巧：先找一個定點(diǎn)，再確定目標(biāo)動點(diǎn)到此定點(diǎn)的距離為定長，據(jù)此可以畫出隱圓（?。?，最后用“臨界點(diǎn)法”找到起點(diǎn)與終點(diǎn)，最好再結(jié)合中間的一個“過程點(diǎn)”，以便確認(rèn)究竟是隱圓上的哪一段弧，從而確定路徑（或軌跡），解決問題.

再來看一道例題：    

例2．如圖2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為           ．

簡析：所求線段CP之所以有最小值，是因為點(diǎn)P是一個動點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是尋找到點(diǎn)P的路徑（或軌跡），使“無跡問題”變得“有跡可循”；

由∠PAB=∠PBC易推得∠APB=90°，聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，取斜邊AB的中點(diǎn)O，連接PO，易得OP=1/2AB=3，其中點(diǎn)O為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動點(diǎn)，如圖2-1所示；

依據(jù)前面的“定義法”得知點(diǎn)P始終被“綁在”以點(diǎn)O為圓心，OP=3為半徑的圓上運(yùn)動，再結(jié)合“P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)”可以確定動點(diǎn)P的真正路徑，如圖2-2所示，這樣問題被順利轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)圓最值問題”，連接CO與該隱圓（?。┑慕稽c(diǎn)即為所要找的點(diǎn)P，此時CP取最小值為5-3=2，從而問題得解.

值得一提的，“路徑問題”常常會與“最值問題”掛鉤，找到了目標(biāo)動點(diǎn)的路徑（或軌跡），就逮到了“牛尾巴”，問題自然會迎刃而解.

另外，此題雖然∠A是確定角，但其度數(shù)不是特殊角度，因而題目并未要求計算動點(diǎn)P的路徑長！若是將∠A改為特殊角，此題就可以改編為求動點(diǎn)P的路徑長了，所以路徑問題與相關(guān)的最值問題本就是一對“共生體”，求其一就自然可以求其二.

上面的兩道例題都是利用隱圓（?。┙鉀Q的動態(tài)問題，包括路徑長問題及最值問題等，下面筆者再提供利用隱圓（?。┛梢越鉀Q的幾道有趣的“靜態(tài)問題”：

例3．如圖3，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，BD＝6，則AD＝           ．

值得一提的是，上面的“導(dǎo)角”后全等若是發(fā)現(xiàn)不了，完全可以借助“確定性思想”分析，利用確定角的“三角比”口算出所求AD的長，不再贅述．

解法二（構(gòu)造輔助圓法1之垂徑定理）：如圖3-3所示，見到CA＝CB＝CD，你的第一反應(yīng)是啥？有木有聯(lián)想到“圓中半徑處處相等”？！有木有聯(lián)想到圓的定義，即到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合呢？！數(shù)學(xué)的聯(lián)想機(jī)制極其重要，同學(xué)們要善于聯(lián)想，善于轉(zhuǎn)化，善于總結(jié)，善于反思哦！

既然聯(lián)想到了圓，不妨將此輔助圓先構(gòu)造出來，拿出圓規(guī)吧，小伙伴！如圖3-4所示，以C為圓心，CA為半徑作⊙C，則由題易知∠CBD=∠CDB=∠ABD；

同學(xué)們再想一個問題，即“作輔助圓的目的是什么？”筆者認(rèn)為，作輔助圓的最大優(yōu)勢就是可以直接應(yīng)用大家耳熟能詳?shù)母鞣N圓中模型解決問題了，也就是說圓是一個重要的數(shù)學(xué)模型，有了圓這個關(guān)鍵的載體，其豐富的內(nèi)涵價值都可以直接為大家合理所用！接下來可以得到此法最關(guān)鍵的“導(dǎo)角”結(jié)論：由“同弧所對的圓周角處處相等，并等于其所對的圓心角的一半”知∠ABD=1/2∠ACD；

題目要求的是圓中弦AD的長，很自然地就想到了“垂徑定理”，如圖3-5所示，過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，則AD=2AG，只要求AG的長即可；

解題后反思：解法二巧妙聯(lián)想構(gòu)造輔助圓，巧借三角比按比例口算出所求，當(dāng)然導(dǎo)角后也可以像解法一那樣，推導(dǎo)全等求AD的長！當(dāng)一個圖中出現(xiàn)了共頂點(diǎn)的等線段時，尤其是兩條以上的等線段，同學(xué)們就可以聯(lián)想到“圓中半徑處處相等”，巧妙構(gòu)造輔助圓，借助圓這個關(guān)鍵的載體，應(yīng)用圓中的相關(guān)結(jié)論，從而解決問題！

下面筆者再提供幾種構(gòu)造出輔助圓后，利用圓中相關(guān)模型結(jié)論解決該問題的方法，請同學(xué)們自悟，這里僅點(diǎn)到即止！

解題后反思：解法三在構(gòu)造輔助圓的基礎(chǔ)上，巧妙構(gòu)造直角，利用“直徑所對的圓周角為直角”再結(jié)合圓中“角等→弧等→弦等”的有機(jī)轉(zhuǎn)換，輕松搞定問題！

解題后反思：解法四在構(gòu)造輔助圓的基礎(chǔ)上，巧妙構(gòu)造直角，利用“直徑所對的圓周角為直角”再結(jié)合圓中“圓中平行弦所夾的弧、弦相等”，輕松搞定問題！

另外此題中AC＝BC＝DC，即點(diǎn)C處有等線段，且∠BCD是一個定角，這為“旋轉(zhuǎn)法”提供了天然條件，下面不妨一試，旨在讓同學(xué)們欣賞之即可！

解題后反思：當(dāng)題目中出現(xiàn)共頂點(diǎn)的等線段時，往往可以嘗試旋轉(zhuǎn)法解決問題，夾角確定的相等線段為旋轉(zhuǎn)奠定了天然的條件，通過旋轉(zhuǎn)可以將題目一些零碎的條件集中在一起，從而順利解決問題；

另外，此題中證明“D、C、E三點(diǎn)共線”及“∠DBE=90°”的方法值得同學(xué)們關(guān)注、反思，都是常見的幾何基本圖形及方法；

當(dāng)然也可以在Rt△DAE中直接求出目標(biāo)線段AD的長，其實(shí)四邊形ABED是等腰梯形.

值得一提的是，本題若是將△BCD繞著定點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△ACE位置，如圖3-12所示，則利用“旋轉(zhuǎn)相似一拖二”可知△DCE≌△BCA，從而有AB=DE，雖然可繼續(xù)推導(dǎo)出如圖3-14所示的梯形ACED，但因為目標(biāo)線段AD并沒有得到什么較好的轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致接下來的計算好似依然“無路可走”，或者說難以走下去！這告誡我們，當(dāng)我們利用“旋轉(zhuǎn)法”時，切記不要隨意旋轉(zhuǎn)，應(yīng)該選擇與所求直接相關(guān)的旋轉(zhuǎn)方式，即“旋轉(zhuǎn)一拖二”后最好直接與所求發(fā)生聯(lián)系，以便將條件與結(jié)論順利轉(zhuǎn)化集中起來！

再來一道類似的好題：    

例4．如圖4，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，連接BD，則BD＝            ．

解題后反思：例4與例3都出現(xiàn)了一種相似的結(jié)構(gòu)，即“共頂點(diǎn)三等線段結(jié)構(gòu)”，而且都很好地運(yùn)用了“隱圓”的構(gòu)造法解決了問題，這個結(jié)構(gòu)不妨稱之為“三爪圖”，當(dāng)我們遇到“三爪圖”時，聯(lián)想到“圓的半徑處處相等”，可以考慮構(gòu)造輔助圓，再借用圓這個重要的模型去嘗試解決問題，尤其是用好圓中的一些常見的結(jié)論，如同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半等基本知識，這也是構(gòu)造圓的最大優(yōu)勢之所在！

下面再提供一道摘自《中小學(xué)數(shù)學(xué)》李玉榮（李帥）發(fā)表的一篇名為《自然解法“無果”，另辟蹊徑“有門”》好文中的例題，并提供李老師的一種巧構(gòu)輔助圓的解法，感謝李玉榮老師！

例5．如圖5，在四邊形ABDE中，∠D=∠E=90°，△ABC是等邊三角形，且點(diǎn)C在DE上，如果AD=7，BE=11，求△ABC的面積.

解題后反思：這是希望杯的一道競賽題，題目設(shè)置精妙，關(guān)鍵是如何利用這里的等邊三角形，有關(guān)此題的解法還有很多，下面筆者也會專門成文一篇專講這一題，敬請期待，屆時帶領(lǐng)大家玩轉(zhuǎn)“等邊三角形”.

上面只選取了一種構(gòu)造輔助圓的方法，來自于聰明的李老師，讓人敬佩不已！這里巧妙地利用對稱性，在點(diǎn)C處構(gòu)造出了第三條與等邊三角形邊長相等的邊CF，從而驚現(xiàn)“三爪圖”，聯(lián)想到輔助圓，再結(jié)合圓周角與圓心角的關(guān)系導(dǎo)角得出∠AFB=1/2∠ACB=30°這個特殊角，然后依托于此特殊角，造“水平—豎直輔助線”出直角三角形，利用勾股定理求解，妙趣橫生，讓人眼前一亮.

解法二：既然可以將點(diǎn)A關(guān)于DC對稱，當(dāng)然也應(yīng)該可以將點(diǎn)B關(guān)于EC對稱，試試便知，以期大家對此法再熟練！如圖5-5所示，具體不再贅述，請同學(xué)們自己參悟.

再提供幾個利用隱形圓解決的方案，權(quán)當(dāng)同學(xué)們欣賞之用：    

解法三：具體構(gòu)圖過程如圖5-6至圖5-8所示，不再詳述.

解法四：具體構(gòu)圖過程如圖5-9至圖5-10所示，不再詳述.

                       下集預(yù)告：

關(guān)于這樣一道漂亮的好題目，本文的探究就到此為止，下面會盡快專門成文，敬請期待！

言歸正傳，還是趕緊回到我們的主題上來，即“路徑之隱圓（?。﹩栴}”！前面說了這么多，其實(shí)只說了其判斷方法之一，稱之為定義法，即在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡.并且我們利用隱形圓解決了動態(tài)問題中的路徑長及最值問題等，還利用隱形圓解決了靜態(tài)求邊長等確定性問題！下面繼續(xù)介紹第二種“路徑之隱圓（?。﹩栴}”判斷方法，即“定邊對直角模型”！

其實(shí)“定邊對直角模型”可以輕易轉(zhuǎn)化為第一種“定義法”，但之所以將其單獨(dú)拎出來，主要鑒于兩點(diǎn)考慮：一是“定邊對直角模型”在中考里或解題中太常見了；二是為第三種判斷方法“定邊對定角模型”作一個鋪墊！

（第一集完?。?/p>

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