幾何畫板教程綱要

第1講  幾何畫板基本功能

隨著計算機在中學教學中的應用與發(fā)展，各種計算機軟件相繼推出。“幾何畫板”作為其中的佼佼者得到越來越多有識之士的青睞。幾何畫板“The Geometers Sketchpad”是美國優(yōu)秀的教育軟件，由人民教育出版社漢化并獨家出版發(fā)行，命名為《幾何畫板－21世紀的動態(tài)幾何》。它也是教育部優(yōu)先推廣的教育軟件之一。它的特點是數(shù)形結(jié)合的準確度高，動態(tài)演示功能強，非常適合教學使用。

第一課  幾何畫板簡介

一、運行幾何畫板程序：

1、菜單欄——文件、編輯、顯示、構(gòu)造、變換、度量、圖表、窗口、幫助。

2、工具欄——選擇、畫點、畫圓、畫線、文本、自定義。

工具組

3、工作畫面——制作內(nèi)容的地方。

二．畫簡單的圖形：

1、用畫圖工具畫圖形。

2．“撤銷”、“選擇”、“移動”

3．“標注”、“文本框”

4．“線型”、“顏色”和“隱藏對象”

5．“追蹤”和“擦除追蹤蹤跡”

第二課  用構(gòu)造菜單構(gòu)造圖形

在幾何畫板的工具欄內(nèi)有畫圓工具和畫線工具，相當于是我們平常畫圖時用的圓規(guī)和直尺。根據(jù)平面幾何中尺規(guī)作圖的原則，已經(jīng)可以作出非常多的圖形。為了減少作圖時不必要的重復，并使作圖準確、合理，幾何畫板中設置了一個“構(gòu)造” 菜單。下拉構(gòu)造菜單，可以看到如下一些命令：

對象上的點——在選定的對象上構(gòu)造一個點

中點——構(gòu)造選定線段的中點

交點——構(gòu)造兩個對象的交點

線段——構(gòu)造過兩個或更多的點的線段

射線——構(gòu)造過兩個或更多的點的射線

直線——構(gòu)造過兩個或更多的點的直線

垂線——構(gòu)造過一點與一條直線型對象垂直的直線

平行線——構(gòu)造過一點與一條直線型對象平行的直線

角平分線——構(gòu)造順序選定的三個點構(gòu)成角的平分線

以圓心和圓周上的點畫圓——構(gòu)造以圓心和圓周上的點（兩個點）的圓

以圓心和半徑畫圓——構(gòu)造以一點為圓心某線段為半徑的圓

圓上的弧——構(gòu)造過圓上選定的兩點的弧

過三點的弧——構(gòu)造過選定的三個點的弧

內(nèi)部——構(gòu)造一組點、一個圓、一條弧內(nèi)部

軌跡——構(gòu)造一對象隨路徑上的點運動的軌跡

例1：過C點的線段AB的垂線

構(gòu)造垂線：選定線段AB | 選定點C | 選“垂線”

制作線段：選定C、D兩點 | 選“線段”得到線段CD。

隱藏垂線：選定垂線CD | 選“隱藏”（注：不能刪除）

例2：構(gòu)造一個正方形。

1、畫一邊（線段）

2、作垂線

3、畫圓在垂線上截取等長

4、作平行線或垂線

5、作三條邊隱藏直線

例3：作圓的割線中點的軌跡。

解：1. 在畫面上畫一個圓O和圓外一點D；

2．選中圓O，用構(gòu)造菜單中的“對象上的點”功能得到一個點P；

3．作線段DP，選中它，用構(gòu)造菜單中的“中點”功能得到DP的中點M；

4．先后選中M點和P點，用構(gòu)造菜單中的“軌跡”功能，得到一個軌跡，軌跡為一個圓。             圖2－6

這個軌跡是當P點在圓O上運動時，線段DP的中點M的軌跡。運用軌跡功能一定要注意，動點P應是由路徑(圓O)上用“對象上的點”功能得到的，軌跡上的點M應是由動點P與其它條件聯(lián)立得到的，這樣就可以使用“軌跡”功能了。

構(gòu)造軌跡的例子

例4：構(gòu)造圓的垂直于直徑的半弦的中點的軌跡

作圓

作直徑

作垂處于直徑的弦

構(gòu)造半弦中點

構(gòu)造軌跡

也可設置動畫并跟蹤點來畫出軌跡。

l        動畫：選擇點，“編輯”|“操作類按鈕”|“動畫”| 設置動畫性質(zhì)。

例5：按橢圓定義構(gòu)造一個橢圓

利用橢圓的定義，先作一定長線段AB，在線段上取一點C將AB分為AC和BC，當C在AB上移動時其和AB不變。

分別以兩個交點為圓心，以AC和CB為半徑畫圓其交點的軌跡即是橢圓。

例6：橢圓的另一種畫法

1、作兩同心圓，作過圓心的直線l

2、作外圓的半徑AB交內(nèi)圓于H

3、過B作l的垂線k

4、過H作k的垂線交k于P

5、拖動B點觀察P點的軌跡

6、設置B點動畫跟蹤P點看軌跡

7、選中P點和B點“構(gòu)造”“軌跡”

如何證明它是橢圓可以指導學生完成。

例7：拋物線的一種畫法

1、畫出X軸和Y軸

2、畫出準線L和焦點P

3、在準線L上取一點A，過A點作準線L的垂線

4、連接AP并作AP的垂直平分線交L于B

5、選中B和A，構(gòu)造軌跡

6、也可設置A在L上動畫，并設置跟蹤點B。

l          求動點軌跡的一般方法如下：

(1)   畫出一條直線或曲線(或其中的一段)，用作圖菜單中的“對象上的點”功能在直線或曲線上取一個點P；

(2)   使這個點P與其它的已知條件相關(guān)聯(lián)，得到我們所要求的點M，要求盡可能多用作圖菜單或變換菜單來完成，少用或不用畫圖工具，以減少人為因素的影響；

(3)   選中這個點M，用作圖菜單中的“追蹤點”功能定義M點；

(4)   選中P點和已知直線或曲線(或其中的一段)，用編輯菜單中的“操作類按鈕……動畫”功能定義一個動畫，使點P在已知直線或曲線(或其中的一段)上運動；

(5)   雙擊動畫圖標，觀察動點M運動的軌跡；

(6)   先后選中M點、P點，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點的軌跡。

第三課  “度量”“圖表”菜單的使用和解析式的圖像

1．             度量菜單功能。

注：度量的結(jié)果可以用于顯示，也可以用它進一步運算，還可以用度量的結(jié)果再構(gòu)造圖形，這是一個很有用的功能。

長度——度量線段的長度。（選中線段，度量 | 長度）

距離——度量兩點間或點到直線的距離。（選中兩點或點和直線，度量 | 距離）

周長——度量圓、多邊形、扇形或弓形的周長。（選中對象，度量 | 周長）

圓周長——度量圓、扇形或弓形的周長。（選中對象，度量 | 周長）

角度——度量三點構(gòu)成的角的角度。（選中三點，第二點為頂點，度量 | 角度）

面積——度量圓、多邊形、扇形或弓形的面積。（選中對象，度量 | 面積）

弧度角——度量弧、扇形或弓形的圓心角。（選中弧，度量 | 弧度角）

弧長——度量弧、扇形或弓形的弧長。（選中弧，度量 | 弧長）

半徑——度量圓、弧的半徑。（選中弧或圓，度量 | 半徑）

比——度量兩條線段的比。（選中兩線段，度量 | 比）

計算——用計算器或公式（函數(shù)）進行計算。（對數(shù)值和度量值進行公式或函數(shù)運算）

坐標——度量點的坐標。（選中點，度量 | 坐標。若是在極坐標狀態(tài)下顯示極坐標值）

橫坐標——度量點的橫坐標。（選中點，度量 | 橫坐標）

縱坐標——度量點的縱坐標。（選中點，度量 | 縱坐標）

坐標距離——度量兩點間的距離。（注：單位是坐標單位，不是長度單位）

斜率——度量直線（線段）的斜率。（選中直線或線段，度量 | 斜率）

方程——度量直線的方程。（選中直線，度量 | 方程）

當你生成了一個度量值時，此值出現(xiàn)在系統(tǒng)設定的位置上?？梢杂眠x擇箭號工具把度量值移到你要放的任何地方。用顯示菜單中的“字型”和“字體”功能改變文字的特征。

2．度量菜單中的“計算”功能。它可以作為一個常用的計算器來進行常規(guī)運算，更重要的是它可以把我們前面度量得到的度量值進行進一步的計算，從而得到更多的數(shù)值。

例如我們得到了一個點的坐標X=1，選中這個坐標值，用度量菜單中的“計算”功能，選定“3*數(shù)值X^2+2*X-6”（表示：3X²+2X-6），按“確定”后得到

   在計算器中用“*”表示乘號，用“/”表示除號，用“^”表示乘方。

在計算器的函數(shù)功能中設置了若干常用的函數(shù)，可以供我們在計算時使用，其中有：

正弦函數(shù)sin(x)         余弦函數(shù)cos(x)         正切函數(shù)tan(x) 

反正弦函數(shù)arcsin(x)    反余弦函數(shù)arccos(x)    反正切函數(shù)arctan(x)

絕對值函數(shù)abs(x)       平方根函數(shù)sqrt(x)      自然對數(shù)函數(shù)ln(x)

以10為底的對數(shù)函數(shù)log(x)   截尾函數(shù)trunc(x)   取整函數(shù)round(x)

符號函數(shù)signum(x)

函數(shù)的圖象舉例

用度量菜單中的“計算”功能可以作出很多常見函數(shù)的圖像。

例1：畫函數(shù)y=2x²的圖像。

2．選中x軸(若只有函數(shù)的圖象在某個給定的定義域內(nèi)，則在x軸上取相應的線段)，用構(gòu)造菜單中的“對象上的點”功能得到一個點X（或指向Ｘ軸待顏色發(fā)生變化時畫點）；

3．選定X點，用度量菜單中的“橫坐標”功能求出X點的橫坐標；

4．選定這個橫坐標，用度量菜單中的“計算”功能，求2*x^2的值作為y的值；

5．先、后選中橫坐標、縱坐標，用圖形菜單中的“繪制點(x, y)”功能生成一個點M；

6．選中這個點M，用顯示菜單中的“追蹤點”功能定義M點；

7．選中原來的X點,用編輯菜單中的“操作類按鈕……動畫”功能定義一個動畫，得到一個匹配路徑對話框，選擇好運動方式后按“動畫”得到一個“動畫”圖標，使X點在x軸（或x軸上的線段）上運動；

8．單擊動畫圖標，觀察動點M運動的軌跡；

9．先后選中M點、X點，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點的軌跡。

例2：畫三角函數(shù)y=sin(x)的圖像。

1．定義直角坐標系。

2．在x軸上選定一條線段MN，在MN上任取一點X，計算點X的橫坐標；

3．選中x的值，計算y=sin(x)的值，作為y的值；

4．先后選中x、y，用“圖表”菜單中的“繪制點(x, y)”生成對應點P；

5．選中這個點P，用“顯示”菜單中的“追蹤點”定義這個點；

6．選中X點和線段MN，用“編輯”菜單中的“動畫”工具，得到一個動畫圖標；

7．單擊《動畫》使X點在線段MN上運動，得到函數(shù)y=sin(x)的圖象；

8．選中P點、X點，用“構(gòu)造”菜單中的“軌跡”工具，得到函數(shù)y=sin(x)的圖象。

擴展：作函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像。

解：在三角函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像中有三個參數(shù)，A、ω、φ，我們可以取定值，

也可以分別取三個點，A點、ω點、φ點，使它們對應的縱坐標或橫坐標分別表示這三個參數(shù)，這樣當A點、ω點或φ點移動時，參數(shù)的值也同時變化。

在三角函數(shù)的運算中，要使用角度。為了與函數(shù)的表達式盡可能一致，角度的選擇應改為弧度值。下拉顯示菜單，用“參數(shù)選擇”功能，打開對象參數(shù)選擇對話框，將角度的單位改為弧度。

1．在y軸上取A點，計算它的縱坐標作為A的值；在x軸上取ω、φ點，計算它們的橫坐標作為ω、φ的值。

2．在x軸上選定一條線段MN，在MN上任取一點X，計算點X的橫坐標；

3．選中A、ω、φ、x，計算y=Asin(ωx＋φ)的值，作為y的值；

4．先后選中x、y，用“圖表”菜單中的“繪制點(x, y)”生成對應點P；

5．選中這個點P，用“構(gòu)造”菜單中的“追蹤點”定義這個點；

6．選中X點和線段MN，用“編輯”菜單中的“動畫”工具，得到一個動畫圖標；

7．“雙擊”《動畫》使X點在線段MN上運動，得到函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像；

8．選中P點、X點，用“作圖”菜單中的“軌跡”工具，得到函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)的圖像。

當拖動A點時會發(fā)現(xiàn)振幅發(fā)生變化，其它亦然。

例3：按橢圓方程 作其圖像（a、b為常數(shù)）

1、在X軸上取A點度量其橫坐標（常數(shù)a）。

2、在Y軸上取B點度量其縱坐標（常數(shù)b）。

3、在X軸上取X點度量其橫坐標。

4、由X、a、b“計算”出Y的值。

5、選中X和Y的值從“圖表”菜單中選“繪制（x,y）”得到P點和P’點。

6、分別選中P、X和P、X’“構(gòu)造”“軌跡”。

7、也可以設置X點動畫并跟蹤P和P’點畫出圖像。

在這里可以提示學生利用已經(jīng)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進一步計算圓錐曲線中的參數(shù)及與圖像的關(guān)系（如：a、b、c、e、準線方程、漸近線方程等）

n         作函數(shù)的圖像的一般方法如下：

(1)   用圖表菜單下的“定義坐標系”定義一直角坐標系；

(2)   在x軸上任選一點P，用度量菜單中的“橫坐標”功能求出P點的橫坐標；

(3)   選中橫坐標，用度量菜單中的“計算”功能，算出對應的縱坐標；

(4)   先、后選中橫坐標、縱坐標，用圖表菜單中的“繪制點(x, y)”功能生成一個點M；

(5)   選中這個點M，用作圖菜單中的“追蹤點”功能定義M點；

(6)   選中原來的點P和x軸（或x軸上的一條線段）用編輯菜單中的“操作類按鈕……動畫”功能定義一個動畫，使點P在x軸（或x軸上的一條線段）上運動；

(7)   雙擊動畫圖標，觀察動點M運動的軌跡；

(8)   先后選中M點、P點，用作圖菜單中的“軌跡”功能，得到M點的軌跡。

構(gòu)造圓錐曲線的方法很多，大家可以挖掘教材、整理結(jié)合點、設計教學，充分發(fā)揮幾何畫板的功能輔助教學。