引言

根據(jù)現(xiàn)代學(xué)者認(rèn)為比較可信的結(jié)論，《周髀算經(jīng)》約成書于公元前100年。自古至今，它一直毫無疑問地被視為最純粹的中國國粹。而今視《周髀算經(jīng)》為西方式的公理化體系，似乎有一點(diǎn)異想天開。然而，如果我們能夠先捐棄成見，并將眼界從中國擴(kuò)展到其它古代文明，再來仔細(xì)研讀《周髀算經(jīng)》原文，就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，上述問題不僅不是那么異想天開，而且還有很深刻的科學(xué)史和科學(xué)哲學(xué)意義。

西方科學(xué)史上的公理化方法，用之于天文學(xué)上時(shí)，主要表現(xiàn)為構(gòu)建宇宙的幾何模型。從Eudoxus,Callippus,Aristotle,到Hipparchus,構(gòu)建了一系列這樣的模型，至Ptolemy而集前人之大成——Almagest（《至大論》）中的幾何模型成為公理化方法在天文學(xué)方面的典范。直至近代，Copernicus,Tycho,Kepler等人的工作也仍是幾何模型。

古代中國的傳統(tǒng)天文學(xué)幾乎不使用任何幾何方法?！皽喬煺f”雖有一個(gè)大致的“渾天”圖象，不失為一種初步的宇宙學(xué)說，但其中既無明確的結(jié)構(gòu)（甚至連其中的大地是何形狀這樣的基本問題都還令后世爭論不休），更無具體的數(shù)理，自然也不是宇宙的幾何模型。事實(shí)上古代中國天文學(xué)家心目中通常根本沒有幾何模型這種概念，他們用代數(shù)方法也能相當(dāng)精確地解決各種天文學(xué)問題，宇宙究竟是什么形狀或結(jié)構(gòu)，他們完全可以不去過問。

然而，《周髀算經(jīng)》是古代中國在這方面唯一的例外——《周髀算經(jīng)》構(gòu)建了古代中國唯一的一個(gè)幾何宇宙模型。這個(gè)蓋天宇宙的幾何模型有明確的結(jié)構(gòu)，有具體的、絕大部分能夠自洽的數(shù)理。《周髀算經(jīng)》的作者使用了公理化方法，他引入了一些公理，并能在此基礎(chǔ)上從他的幾何模型出發(fā)進(jìn)行有效的演繹推理，去描述各種天象。盡管這些描述與實(shí)際天象吻合得并不十分好，然而確實(shí)是應(yīng)用公理化方法的一次認(rèn)真嘗試。對于古代中國科學(xué)史上這樣一個(gè)突出的特例，有必要專門探討一番。

“日影千里差一寸”及其意義

在《周髀算經(jīng)》中，陳子向榮方陳述蓋天學(xué)說，劈頭第一段就是討論“日影千里差一寸”這一公式，見卷上第3節(jié)：

夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之?dāng)?shù)。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也；正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。

這里一上來就指出了日影千里差一寸。參看圖1：日影，指八尺之表（即“周髀”）正午時(shí)刻在陽光下投于地面的影長，即圖1中的l,八尺之表即h,當(dāng)：

h=8尺

l=1尺6寸

時(shí)，向南16,000里處“日中立竿無影”，即太陽恰位于此處天頂中央，這意味著：

L=16,000里，或

H=80,000里

這顯然就有：

L/l=16,000里/1尺6寸=1,000里/1寸

即日影千里差一寸。

接著又明確指出，這一關(guān)系式是普適的——從夏至日正午時(shí)l=1尺6寸之處（即周地），向南移1,000里，日影變?yōu)?尺5寸；向北移1,000里，則日影增為1尺7寸。這可以在圖中看得很清楚。

同時(shí)，由圖1中的相似三角形，顯然還有：

L/l=H/h=1,000里/1寸

在上式中代入h=8尺，即可得到：

H=80,000里

即《周髀算經(jīng)》中天與地相距八萬里的結(jié)論，見原文卷上第3節(jié)：

候勾六尺，……從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。

即在圖中令l=6尺，L=60,000里，h=8尺，就可得出H=80,000里。日在天上，故從“髀無影”之地“上至日”80,000里，自然就是天地相距80,000里。

上述關(guān)系式其實(shí)無論l（即勾，也即日影）是否為6尺都能成立，《周髀算經(jīng)》之所以要“候勾六尺”，是因?yàn)樗徽莆展垂啥ɡ碓凇肮慈伤南椅濉睍r(shí)的特例，故必須湊數(shù)據(jù)以便套用這一特例——勾6尺即表至日下60,000里，天地相距80,000里，于是從表“邪（即斜）至日”為100,000里，正是3、4、5的倍數(shù)。

《周髀算經(jīng)》明確建立日影千里差一寸的關(guān)系式之后，接著就拓展這一關(guān)系式的應(yīng)用范圍。卷上第4節(jié)云：

周髀長八尺，勾之損益寸千里?！窳⒈砀甙顺?，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。

此處日影不再必要，這只需將圖1中的S點(diǎn)（原為太陽所在位置）想象為北極位置，就可一目了然，現(xiàn)在：

h=8尺

l=1丈3寸

L=103,000里

“勾之損益寸千里”的關(guān)系式仍可照用不誤。在《周髀算經(jīng)》下文對各種問題的討論中，這一關(guān)系式多次被作為已經(jīng)得到證明的公式加以使用（必須始終在“正南北”方向上）。

討論到這里，有一點(diǎn)必須特別注意，就是：無論上引第3節(jié)還是第4節(jié)中所述千里影差一寸的關(guān)系式，若要成立，必須有一個(gè)暗含的前提——天與地為平行平面。這在圖1中是顯而易見的，如果沒有這一前提，上述各種關(guān)系式以及比例、相似三角形等等全都會(huì)無從談起。

這就是說，《周髀算經(jīng)》將天地為平行平面這一點(diǎn)視為不證自明的當(dāng)然前提。要理解這一狀況，對于現(xiàn)代人來說會(huì)比古人困難得多。因?yàn)楝F(xiàn)代人已有現(xiàn)代教育灌輸給他的先入之見——大地為球形；所以現(xiàn)代人見到古人這一前提，首先想到的是它的謬誤。但古人卻無此成見，他們根據(jù)直觀經(jīng)驗(yàn)很容易相信天與地是平行平面。這也正是《周髀算經(jīng)》中“勾之損益寸千里”之說在古代曾廣泛被接受的原因。古人認(rèn)為推出這一結(jié)論是顯而易見、不容置疑的，這里不妨舉一些例：

欲知天之高，樹表高一丈，正南北相去千里，同日度其陰，北表二尺，南表尺九寸，是南千里陰短寸；南二萬里則無影，則直日下也。

日正南千里而（影）減一寸。

懸天之景，薄地之儀，皆移千里而差一寸。

這些說法都只要看圖即可了然。古人后來當(dāng)然也發(fā)現(xiàn)了“勾之損益寸千里”不符合觀測事實(shí)，但這已是很晚的事了。在《周髀算經(jīng)》成書以及此后相當(dāng)長的年代里，古人對于這一關(guān)系式看來并不懷疑。

一些現(xiàn)代論著也曾經(jīng)注意到《周髀算經(jīng)》中“勾之損益寸千里”是以天地為平行平面作為前提的，但作者們首先想到的是這一前提的謬誤（這一前提當(dāng)然是謬誤的），而他們在指出這“自然都是錯(cuò)誤的”之后，也就不再深究，轉(zhuǎn)而別顧了。

指出《周髀算經(jīng)》中的錯(cuò)誤，在今天來說確實(shí)已經(jīng)沒有多少意義；然而，如果我們分析討論“勾之損益寸千里”及其前提“天地為平行平面”在《周髀算經(jīng)》的蓋天學(xué)說中究竟有什么樣的地位和意義，卻是大有意義之事。

公理與定理

在西方歷史上，建立科學(xué)學(xué)說有所謂“公理化方法”（axiomaticmethod），意指將所持學(xué)說構(gòu)造成一個(gè)“演繹體系”（deductivesystem）。這種體系的理想境界，按照科學(xué)哲學(xué)家J.Losee的概括，有如下三要點(diǎn)：

A.公理與定理之間有演繹關(guān)系；

B.公理本身為不證自明之真理；

C.定理與觀測結(jié)果一致。

其中，B是Aristotle特別強(qiáng)調(diào)的。而Euclid的《幾何原本》被認(rèn)為是公理化方法確立的標(biāo)志。但是在天文學(xué)上，由于這一學(xué)科的特殊性，應(yīng)用公理化方法會(huì)有所變通：

在理論天文學(xué)中，那些遵循著“說明現(xiàn)象”傳統(tǒng)的人采取了不同態(tài)度。他們擯棄了Aristotle的要求——為了能說明現(xiàn)象，只要由公理演繹出來的結(jié)論與觀測相符即可。這樣，公理本身即使看起來是悖謬的甚至是假的，也無關(guān)緊要。

也就是說，只需前述三要點(diǎn)中的一、三兩點(diǎn)即可。這個(gè)說法確實(shí)可以在天文學(xué)史上得到證實(shí)，Aristotle的“水晶球”體系、Ptolemy的地心幾何體系，以及中世紀(jì)阿拉伯天文學(xué)家種種奇情異想的宇宙幾何模型，都曾被當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家當(dāng)作公理（在這里類似于現(xiàn)代科學(xué)家所謂的“工作假說”）來使用而不問其真假。

現(xiàn)在再來看《周髀算經(jīng)》中的蓋天學(xué)說，就不難發(fā)現(xiàn)，“天地為平行平面”和“勾之損益寸千里”兩者之間，正是公理與定理的關(guān)系。仔細(xì)體味《周髀算經(jīng)》全書，“天地為平行平面”這一前提是被作為“不證自明之真理”，或者說，是被作為蓋天學(xué)說系統(tǒng)的公理（亦即基本假設(shè)）之一的。

至于“天地為平行平面”之不符合事實(shí)，也應(yīng)從兩方面去分析。第一，如上所述，從公理化方法的角度來看，即使它不符合事實(shí)也不妨礙它作為公理的地位。第二，符合事實(shí)與否，也是一個(gè)歷史性的概念——我們今天知道這一公理不符合事實(shí)，當(dāng)然不等于《周髀算經(jīng)》時(shí)代的人們也已經(jīng)如此。

剩下的問題是“定理與觀察結(jié)果一致”的要求。我們現(xiàn)在當(dāng)然知道，由公理“天地為平行平面”演繹出來的定理“勾之損益寸千里”與事實(shí)是不一致的。演繹方法和過程固然無懈可擊，然而因引入的公理錯(cuò)了，所以演繹的結(jié)果與事實(shí)不符。但對此仍應(yīng)從兩方面去分析。第一，演繹結(jié)果與觀測結(jié)果一致仍是一個(gè)歷史性概念，在古人觀測精度尚很低的情況下，“勾之損益寸千里”無疑在相當(dāng)程度上能夠與觀測結(jié)果符合。第二，也是更重要的，從公理演繹出的定理與客觀事實(shí)不符，只說明《周髀算經(jīng)》所構(gòu)造的演繹體系在描述事實(shí)方面不太成功，卻絲毫不妨礙它在結(jié)構(gòu)上確實(shí)是一個(gè)演繹體系。

“日照四旁”與宇宙尺度

《周髀算經(jīng)》作為一個(gè)演繹體系，并不止一條公理。它的第二條公理是關(guān)于太陽光照以及人目所見的極限范圍，見卷上第4節(jié)：

日照四旁各十六萬七千里。

人所望見，遠(yuǎn)近宜如日光所照。

這是說，日光向四周照射的極限距離是167,000里，而人極目遠(yuǎn)望所能見到的極限距離也是同樣數(shù)值。換言之，日光照不到167,000里之外，人也不可能看見167,000l里之外的景物。從結(jié)構(gòu)上看，這條原則也屬于《周髀算經(jīng)》中的基本假設(shè)，亦即公理。因?yàn)檫@條原則并非導(dǎo)出，而是設(shè)定的。

以往學(xué)者們在這個(gè)問題上的研究，主要是根據(jù)《周髀算經(jīng)》所交代的有關(guān)數(shù)學(xué)關(guān)系式，試圖去說明此167,000里之值因何而取。盡管各種說明方案在細(xì)節(jié)上互有出入，但主要結(jié)論是一致的，即認(rèn)為這個(gè)數(shù)值是《周髀算經(jīng)》作者為構(gòu)造蓋天宇宙模型而引入的，或者說是湊出來的。然而這里必須注意，拼湊數(shù)據(jù)固然難免脫離客觀實(shí)際，同時(shí)卻也不能不承認(rèn)這是作者采用公理化方法（或者至少是“準(zhǔn)公理化方法”）構(gòu)造蓋天幾何模型的必要步驟之一。而且還應(yīng)該注意到，《周髀算經(jīng)》引入日照四旁167,000里之值后，在“說明現(xiàn)象”方面確實(shí)能夠取得相當(dāng)程度的成功。正如程貞一、席澤宗所指出的：

由這光照半徑，陳子模型（按即指《周髀算經(jīng)》的蓋天宇宙模型）大致上可解釋晝夜現(xiàn)象及晝夜長短隨著太陽軌道遷移的變化。……同時(shí)也可以解釋北極之下一年四季所見日光現(xiàn)象。

應(yīng)該看到，在將近兩千年前的中國，構(gòu)造出這樣一個(gè)幾何模型，并且能大致上解釋實(shí)際天象，實(shí)在已屬難能可貴。

《周髀算經(jīng)》的蓋天宇宙模型是一個(gè)有限宇宙：天、地為圓形的平行平面，兩平面間相距80,000里；而此兩平面大圓形的直徑為810,000里。810，000里之值在《周髀算經(jīng)》中屬于導(dǎo)出數(shù)值。原書中有兩處相似的推導(dǎo)，一處見卷上第4節(jié)：

冬至?xí)?，夏至夜，差?shù)所及，日光所逮觀之，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。

日冬至所照過北衡十六萬七千里，為徑八十一萬里，周二百四十三萬里。

北衡即外衡，這是蓋天模型中冬至日太陽運(yùn)行到最遠(yuǎn)之處，以北極為中心，此處的日軌半徑為238,000里；太陽在此處又可將其光芒向四周射出167,000里，兩值相加，得到宇宙半徑為405,000里，故宇宙直徑為8i0,000里。注意這里宇宙直徑是在《周髀算經(jīng)》所設(shè)定的“日照四旁”167,000里之上導(dǎo)出的。

結(jié)語

周髀算經(jīng)》的蓋天學(xué)說，作為一個(gè)用公理化方法構(gòu)造出來的幾何宇宙模型，和早于它以及約略與它同時(shí)代的古希臘同類模型相比，在“說明現(xiàn)象”方面固然稍遜一籌，然而我們在《周髀算經(jīng)》全書的論證過程中，確實(shí)可以明顯感受到古希臘科學(xué)的氣息。從科學(xué)思想史的角度來說，公理化方法在兩千前的遙遠(yuǎn)東方，畢竟也嘗試了，也實(shí)踐了，這是意味深長的。

周髀算經(jīng)》之后，構(gòu)造幾何模型的公理化方法就在古代中國絕響了。特別令人疑惑的是，《周髀算經(jīng)》的幾何宇宙模型究竟是某種外來影響的結(jié)果，還是中國本土科學(xué)中某種隨機(jī)出現(xiàn)的變異？而且，不論是上述哪一種情形，為何它曇花一現(xiàn)之后就歸于絕響？可惜這些令人興奮的問題已經(jīng)超出了本文的范圍。