《數(shù)學(xué)教育再探--在中國的講學(xué)》
[荷蘭] 弗賴登塔爾

1.3 數(shù)學(xué)化
1.3.1術(shù)語
在討論了數(shù)學(xué)的前后關(guān)系和內(nèi)外結(jié)構(gòu)之后，我們再回過頭來把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種活動(dòng)，來看看它的一個(gè)主要特征：數(shù)學(xué)化。是誰最先使用這個(gè)術(shù)語，用以描述根據(jù)數(shù)學(xué)家的需要和興趣整理現(xiàn)實(shí)性的這種過程呢？這種術(shù)語通常是先出現(xiàn)在非正式的談話和討論中，而后才出現(xiàn)在文獻(xiàn)著作里，因此沒有人能說出是誰的發(fā)明。不管怎么說，數(shù)學(xué)化是一個(gè)過程，只要現(xiàn)實(shí)世界在一系列因素的影響下進(jìn)行著變化、延拓和深化，這個(gè)過程就在持續(xù)著，這些因素也包括數(shù)學(xué)，而且數(shù)學(xué)反過來被變化著的現(xiàn)實(shí)所吸收。
以前用的術(shù)語，諸如公理化、形式化、圖式化等也許是在數(shù)學(xué)化之前提出的，其中公理化也許是在數(shù)學(xué)的行文中出現(xiàn)得最早。公理和公式古已有之，盡管在歲月的長河中，"公理"（或"公設(shè)"）的意義及公式的形式有所改變.過去幾個(gè)世紀(jì)里，人們認(rèn)為歐幾里得的幾何原本不是完美推導(dǎo)的典范，其原意也并非如此，看來今天有人仍這么認(rèn)為。我們現(xiàn)在使用的公理體系這個(gè)術(shù)語，是一種現(xiàn)代思想，把它歸為古希臘人的功勞（雖然他們是先驅(qū)）是一種時(shí)代的錯(cuò)誤。然而，重新組合某一領(lǐng)域的知識，以至于結(jié)論被當(dāng)作出發(fā)點(diǎn)，以及相反地把已證明的性質(zhì)作為定義來證明原始的定義--這種顛倒的構(gòu)造是一種久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它和古希臘數(shù)學(xué)一樣古老，或許更古老；盡管只是到了近代，人們才像熱衷于知識的組織和重組的古希臘人那樣，有意識地、有條理地、熱切地運(yùn)用它。今天雨后春筍似的公理體系是人們試圖重新組織數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的結(jié)果。這種技術(shù)就叫公理化。它被現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家深刻地理解和掌握。它早期顯著的例子是群。18世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們遇到了集合到自身映射的問題，映射通常由一些不變性質(zhì)去限制，從而導(dǎo)致去構(gòu)造這種映射。這樣他們開始熟悉了變換的集合，在構(gòu)造之下自動(dòng)地滿足一些熟知的假設(shè)，這種假設(shè)是后來群所需要的。1854年凱萊（Cayley）用這些假設(shè)統(tǒng)一定義了這種（有限）的對象，他稱作群。然而，直到1870年這一新概念才被一些領(lǐng)頭創(chuàng)造的數(shù)學(xué)家們完全認(rèn)可。之后又用到無限基的情況。在日常生活和符號語言中，公式是像公理一樣古老，甚或更古老的一種特殊形式。用日益有效的符號或符號法來改進(jìn)語言表達(dá)是一個(gè)長期的過程，它首先涉及到數(shù)學(xué)題材，后來才影響到表述這種題材所用的語言。這種對語言的整理、修正和轉(zhuǎn)化的過程就叫做形式化。
可以肯定，公理化可能會像公理一樣在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中流行，他們只是一項(xiàng)活動(dòng)過程中的精彩部分和最后的潤色，在這個(gè)過程中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是形式而不是內(nèi)容。公式和形式化也同樣如此。公理來源于范例或一系列范例，而公理化則意味著總結(jié)熟練的范例。人們早已習(xí)慣于把經(jīng)歷和行為示范性地推廣，從中抽象出定律和規(guī)則.形成與現(xiàn)實(shí)的體系相吻合的圖式。最后一步就是圖式化，它和公理化、形式化相對應(yīng)，尤其是當(dāng)考慮的是內(nèi)容而不是抽象的形式或語言的時(shí)候。
上面一段解釋，通過與公理化、形式化、圖式化作類比，說明了數(shù)學(xué)化一詞的來源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的內(nèi)容是屢見不鮮的，所以我才占一定的篇幅來說明它。我自己則堅(jiān)持這個(gè)術(shù)語應(yīng)該包括數(shù)學(xué)家的全部組織活動(dòng)，不管它是用于數(shù)學(xué)的內(nèi)容和表達(dá)，還是用于更通俗的直覺意義上，比如生活經(jīng)驗(yàn)，日常語言的表達(dá)。但是我們別忘了，在擴(kuò)展的現(xiàn)實(shí)性和發(fā)展語言的復(fù)雜性中，"生活"和"日常生活"的個(gè)體的與環(huán)境的依賴性。
1.3.2某些方面
建立模型
然而，一談到圖式化就有一種傾向，把"圖式"與形式化數(shù)學(xué)里的解題公式和步驟等問題等同起來。今天，在更廣泛的意義上說，"圖式"一詞似乎被更時(shí)興的"模型"所替代--這是一個(gè)很有價(jià)值的術(shù)語，然而不幸的是，由于人們的濫用和誤用而降低了其含義。我一直反對這樣做，至少在我看來是這樣的。
數(shù)學(xué)總是被應(yīng)用于自然和社會，然而長期以來，人們只是過多地考慮它的應(yīng)用，而很少想到應(yīng)用它的方法以及它為什么能用。記數(shù)實(shí)際上是由生活得來的常識，土地測量員的工作好像是說他們用的界釘和標(biāo)桿就是幾何上的點(diǎn)和線，還有外幣兌換員，商人及藥劑師好像都在表明比例是自然界和社會的一個(gè)顯而易見的特征。甚至古巴比倫王國的天文學(xué)家很早就習(xí)慣于用線性內(nèi)插或外插法，來試著數(shù)值化地描述天文現(xiàn)象，也就是用分段線性函數(shù)和鋸齒形函數(shù)的方法，后來的希臘人最終把它們變成測角函數(shù)。但是測角函數(shù)不會從他們仰望的天空里掉下來，其基本理論是天體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是環(huán)形的。為了解釋這種假設(shè)和一些互相矛盾的現(xiàn)象，產(chǎn)生了一個(gè)我們現(xiàn)在稱之?quot;模型"的東西來描述天體的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)模型包括了圓、本輪（epicycles）和外心的新發(fā)明，不管對它們進(jìn)行幾何上還是數(shù)值上的處理都需要用到測角函數(shù)。這個(gè)模型持續(xù)了近兩千年。開普勒（Kepler）沒有給出新模型，而是提出了行星運(yùn)動(dòng)的三大數(shù)學(xué)定律，后來牛頓（Newton）由此得出了萬有引力理論的一系列結(jié)果。牛頓自己不肯設(shè)計(jì)簡單的機(jī)械模型來解釋地球引力。隨著時(shí)間的推移，物理學(xué)家們才勉強(qiáng)地接受地球引力的吸引本身就是一個(gè)模型，它超過了一般意義上的經(jīng)驗(yàn)，是第一個(gè)近代的模型，其意義僅亞于惠更斯（Huygens）的光的波動(dòng)理論，歷史在不斷重復(fù)：根據(jù)19世紀(jì)的力學(xué)常識，人們提出了關(guān)于光傳播理論的一些彈性的模型，但由于研制惠更斯的波動(dòng)理論的失敗，物理學(xué)家們不得不接受馬克斯韋爾（Maxwell）的光的電磁理論模型。
建模是現(xiàn)代的產(chǎn)物，只是到了近代，人們才或多或少有意識地忽略了所有看起來不重要的干擾，把在模糊的自然界和環(huán)境中應(yīng)用的數(shù)學(xué)濃縮成了精確的數(shù)學(xué)，是它們破壞了理想情況。長期以來，簡單的幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)已足以滿足這種需要。但是什么是理想情況，什么又是不重要的干擾呢？伽利略（GaliIeo）首先給出了一個(gè)例子，說明了它們在特定含義下的區(qū)別：即勻速運(yùn)動(dòng)是理想情況，但又受到阻力的干擾，或像牛頓說的更一般意義上的外力干擾。這樣，這種方法就延續(xù)到了今天。即使有了精確的理論，也是經(jīng)過簡化后才使用，以使其更接近于實(shí)際的過程：這樣后者就有可能用更好的逼近或者反饋模型提煉出來。這種了不起的理想化方法的最偉大的例子當(dāng)屬達(dá)朗倍爾（d'Alembert）的繃緊的弦的振動(dòng)問題：通過忽略弦線的曲度，他能把微分方程線性化，而方程一旦線性化以后問題就輕易地解決了。實(shí)際上，通過線性化的手法重建物理上的模型已成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的一般手段。
在自然科學(xué)里，最早使用"模型"一詞也許是與眾所周知的太陽系模型相聯(lián)系的，它用一個(gè)機(jī)械裝置，（經(jīng)過粗略簡化以后）給出了在引力作用下行星和月亮運(yùn)動(dòng)的相互作用：由于它只是一個(gè)模型，所以只考慮到運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，而不牽涉天體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題：另外，由于實(shí)際的原因，代表天體的球形的半徑互相不成比例，和軌道大小相比也不成比例。還有人們熟知的盧瑟福－波耳（Rutherford-Bohr）原子模型，它把原子及其示意圖描述成一個(gè)小太陽系形狀，在可能的軌道上作一些奇特的限制模型的特征來自于軌道遵守的特定條件，以及關(guān)于從一個(gè)軌道向另一個(gè)軌道躍遷時(shí)的特定假設(shè)，和經(jīng)典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其中的質(zhì)子和中子像液體一樣被釋放出來--這種思想是簡單化模型的典型。另外一個(gè)典型是開放的宇宙體系的宇宙生成模型，它起初是對朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的星群的純運(yùn)動(dòng)學(xué)上的解釋。隨著時(shí)間的推移，由于加入動(dòng)力學(xué)和基本粒子物理的許多特點(diǎn)而豐富起來，當(dāng)然它仍被認(rèn)為是宇宙進(jìn)化的粗略的簡化模型。
這些都是理想化的模型，它們有的把數(shù)學(xué)的精確性引入到相對粗糙的物理現(xiàn)實(shí)中：或者是簡化現(xiàn)實(shí)，而心照不宣地承認(rèn)現(xiàn)實(shí)要比這些稱為模型的東西復(fù)雜得多。奇怪的是，數(shù)學(xué)上最早使用"模型"一詞卻正好相反：用塑料、電線或紙板做的抽象幾何形狀的具體模型。如果我沒弄錯(cuò)的話，弗里克斯·克萊因作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，他收集了大量的幾何模型，同時(shí)也是首先把"模型"一詞用于數(shù)學(xué)中的人。這里是指非歐氏幾何在射影幾何里的映象的問題--這是凱萊的發(fā)明，克萊因闡釋為模型，用來把看起來很抽象的非歐氏幾何映射到射影幾何的框架里，后者看上去要比前者具體些。盡管不像石膏模型那樣顯而易見，這個(gè)模型實(shí)際上要比它的原象易于想象?？巳R因的例子說明了公理體系中現(xiàn)代模型概念的根源：用一個(gè)合適的數(shù)學(xué)對象來明確形式公理中所暗含的東西.看起來就像用真實(shí)的內(nèi)容來填充公理的形式。舉例來說，一個(gè)特殊的群或一般函數(shù)上的變換群可以作為一般意義上公理化定義的群的模型。還有歐氏空間，尤其是三維空間，可以作為公理化定義的線性空間或度量空間的模型。僅就具體化而言，可以超過純數(shù)學(xué)的范圍，考慮把物質(zhì)的或僅僅是經(jīng)驗(yàn)型的空間作為公理化定義的某種原像的模型。
只是為了保持完整，我才提到了"模型"的這種應(yīng)用，它和我們開始所說的模型正好相反。實(shí)際上，在這里的行文中，我們沒有考慮公理體系的模型，盡管它在基礎(chǔ)研究中被大量使用，而是考慮理想化意義上的模型。用這種方法，我們能夠簡化一些復(fù)雜的條件，它們太復(fù)雜而無法付諸實(shí)際，或者是僅僅能用一些特定的數(shù)學(xué)理論來對付它們。
因?yàn)槲覀兊闹黝}是建模，并把它作為數(shù)學(xué)化的一個(gè)方面，需要強(qiáng)調(diào)的是，在這里的行文中應(yīng)包括一些真實(shí)的具體模型，像檢驗(yàn)飛機(jī)模型的風(fēng)洞，或流體動(dòng)力學(xué)理論的實(shí)驗(yàn)室模擬。換句話說，是用觀察結(jié)果而不是用數(shù)學(xué)來進(jìn)行評價(jià)的一些模型，盡管建造它們用到的數(shù)學(xué)知識也許比得到一些不那么真實(shí)的模型用的更多。我看甚至還應(yīng)該包括對這樣的真實(shí)模型的計(jì)算機(jī)模擬，它在進(jìn)行評價(jià)時(shí)比模擬活動(dòng)本身更少地依賴于數(shù)學(xué)。另外，我強(qiáng)烈反對給代數(shù)、微分、積分方程等體系貼上一?quot;模型"標(biāo)簽的做法--數(shù)學(xué)模型--因?yàn)橛腥讼矚g這么叫。根據(jù)我的術(shù)語觀，模型就是不可缺少的一種中介，用它把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)或理論來理想化或簡單化，從而更易于進(jìn)行形式的數(shù)學(xué)處理。因此我不喜歡在行民主文中用數(shù)學(xué)模型一詞，它讓人誤以為數(shù)學(xué)是直接地用于環(huán)境中，或者幾乎如此：實(shí)際上只是當(dāng)數(shù)學(xué)被緊緊地局限于周圍環(huán)境中才會發(fā)生這種情況。我之所以如此強(qiáng)調(diào)模型的中介作用，因?yàn)槿藗兺庾R不到它是不可缺少的：很多情況下，數(shù)學(xué)公式像秘訣樣用于復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)，而缺乏一種中介模型來檢驗(yàn)它們的用場。
概率和統(tǒng)計(jì)就是特別突出的例子。在概率論里，盛簽用的容器還有其他的隨機(jī)裝置，就是模型，人們用它把世界一切看起來由偶然因素決定的事情數(shù)學(xué)化，這包括：同種植物間的授粉，某個(gè)種族間的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是由擲簽來決定的--當(dāng)然有的合適，有的則不盡然。而概率在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的應(yīng)用也僅僅需要這么一個(gè)模型。然而，就我所知，在相關(guān)性和回歸系數(shù)的常規(guī)的一一或者應(yīng)該說是例行的一一應(yīng)用以及某些社會的特別是教育的研究中因素分析之間，還不存在模型。這些工具只是從其他科學(xué)里翻版過來的，在那里它們是在使用的時(shí)候有中介模型來驗(yàn)證的。
再回過頭來看看，我意識到對模型的談?wù)撘殉^了建模，而且使用了頗為通常意義下的術(shù)語；我猶豫這么久還沒接觸正題的原因.正是擔(dān)心這種情況發(fā)生。當(dāng)然，我本應(yīng)該讓讀者領(lǐng)略一系列合理化的模型，像諧振器、電力網(wǎng)、變換陣、傳播過程、游戲、引導(dǎo)裝置、人口動(dòng)力學(xué)、排隊(duì)論等等。其中有些例子有很大的變化范圍，如果希望他們能很好地利用的話，當(dāng)然值得讓學(xué)生們了解：另一方面，我把建模定義成理想化和簡單化一一不管我的定義多么地不精確，它還是切中了要害：把握某種（靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的）情境的要點(diǎn)，在豐富的相關(guān)情境中（我前面闡述過的）關(guān)注它們：并且隨著事物的進(jìn)展，會有更加豐富一些的內(nèi)容。那么，這就是我繼續(xù)考查數(shù)學(xué)化的其他方面的出發(fā)點(diǎn)。
尋找本質(zhì)
即在行文中找出哪些能表示成如下形式
·在一種情境之內(nèi)和交叉的情形
·在一個(gè)問題之內(nèi)和交叉的問題
·在一個(gè)過程之內(nèi)和交叉的過程
·在一個(gè)組織之內(nèi)和交叉的組織
·在一個(gè)圖式之內(nèi)和交叉的圖式
·在一個(gè)算法之內(nèi)和交叉的算法.
·在一個(gè)結(jié)構(gòu)之內(nèi)和交叉的結(jié)構(gòu)
·在一個(gè)公式之內(nèi)和交叉的公式
·在一個(gè)符號體系之內(nèi)和交叉的符號體系
·在一個(gè)公理體系之內(nèi)和交叉的公理體系
為什么有這么多種"……和交叉的……"呢？因?yàn)檎页鲆话愕奶卣?、相似、類比，同?gòu)才能夠行
·概括
成為一種下意識的習(xí)慣或是多多少少有意識的行為。從一個(gè)簡單的
·范例
不經(jīng)意的經(jīng)驗(yàn)，并且只靠一些范例（盡管不是很多）來強(qiáng)化就能得出一般性，人們往往是不相信的。現(xiàn)在，
·概括范例.
是對
·舉例說明一般概念的顛倒。假如過分地說，這正是我稱為"違反教學(xué)法的顛倒"的一個(gè)例子，后文中還會牽涉到。然而，
·示范性地探討未確定的一般性
是一種有價(jià)值的
·啟發(fā)式活動(dòng)
這和流行的啟發(fā)式教學(xué)有所不同，后者被認(rèn)為是一種預(yù)先設(shè)置好的工具。
當(dāng)強(qiáng)調(diào)單一的范例的作用時(shí)，我突然想到一些新鮮的思維對象和運(yùn)算，而對象和運(yùn)算通過日常練習(xí)能夠程序化，并最終導(dǎo)致成為
·合理化和捷徑
這就會導(dǎo)致
·不斷發(fā)展的
組織化
圖示化
結(jié)構(gòu)化
尤其考慮到一些拙劣的語言和符號，就會產(chǎn)生
·不斷進(jìn)步的
形式化
算法化
符號化
數(shù)學(xué)化一個(gè)十分重要的方面就是
·反思自己的活動(dòng)
從而促使
·改變看問題的角度
并伴隨著局部結(jié)果的
·顛倒
和整體的
·公理化
說重一些，這也是違反教學(xué)法的顛倒的一個(gè)例子。
1.3.3例子
1.在數(shù)軸上找出16和72的中間值！
據(jù)我觀察，孩子們把兩個(gè)點(diǎn)均勻地相向移動(dòng)：開始一個(gè)一個(gè)單位地移，后來步子大一些，最多的每次移10個(gè)單位；（得出的）捷徑是把它們的差平均分，再把其中一半加到較小的數(shù)上，開一般術(shù)語來描述就是表達(dá)式a＋ （b－a），通過代數(shù)運(yùn)算有更一般的表達(dá)式 （a＋b）。
在我說明把兩個(gè)數(shù)朝反向移動(dòng)仍保持中間值不變以后，孩子們最后把較小的數(shù)變成O，同時(shí)把較大的數(shù)變成a＋b，這樣也能證明求中間值的一般表達(dá)式。
如果不僅僅局限于只是找到求兩個(gè)數(shù)的中間值的方法，還可以通過不斷改進(jìn)的圖式化來逐步發(fā)展。為了找到這種圖式的一般性，一個(gè)范例看來就足夠了，即使擴(kuò)大到整數(shù)域上也是如此?？鋸埖卣f，"我把兩個(gè)己知數(shù)加起來，然后被2除"這種一般的結(jié)果，可以通過用代數(shù)語言"兩個(gè)己知數(shù)的和的一半"來進(jìn)一步公式化，這樣就能促使代數(shù)語言的產(chǎn)生和運(yùn)用。
另一種概括的系列就是對多于兩個(gè)的數(shù)提出同樣的問題，從而建立平均數(shù)這樣一個(gè)思維對象和求平均數(shù)的圖式。只有在得出"給定的數(shù)的和被所給的數(shù)的個(gè)數(shù)來?quot;這個(gè)形式的概括或者它的代數(shù)表達(dá)式之后，人們才能滿意。另一方面，一旦內(nèi)容確定以后，人們應(yīng)該找出哪些情形下所設(shè)想的加法用起來自然，或?qū)@種情形來說含義比較含蓄。比如：加的不是（單純的）年齡、尺寸、價(jià)格等，而是食物的日常消費(fèi)，工作時(shí)間，某人一周或一月總和求每筆單位資金的消費(fèi)，或者由時(shí)速求出每秒的速度。
如果僅僅作為圖式化和形式化的代表，再仔細(xì)研究平均數(shù)的概念就沒有必要了。而下面我要再提出一個(gè)"中間值"概念的概括，即平面圖形或立體圖形的"中心"，數(shù)學(xué)化的很多方面需要回答下文中要提出的問題。
2.如果一個(gè)水龍頭1小時(shí)能把水池灌滿，另一個(gè)需要2小時(shí)才能把這個(gè)水池灌滿，那么這兩個(gè)水籠頭同時(shí)灌需要多長時(shí)間能自灌滿水池？這種古老的問題（還有其他像兩個(gè)工人一起勞動(dòng)、兩個(gè)人起吃一定數(shù)量的食物等等）如果不跟數(shù)學(xué)化的廣泛背景結(jié)合起來，并且用傳統(tǒng)的圖式來解決的話，這問題看起來就很可笑。我提出問題后，孩子們把滿的水池分成兩部分，假想每個(gè)水龍頭負(fù)責(zé)其中的一部分：三分之二的部分由"大"的水龍頭承擔(dān)，另外的三分之一由"小"的水龍頭承擔(dān)，于是兩部分都能在2/3小時(shí)內(nèi)灌滿。即使給一些更大的數(shù)，孩子們?nèi)詧?jiān)持按這種形象化的比例來推算，并舉例論證：比如，認(rèn)為用幾個(gè)慢的水龍頭來取代一個(gè)快的。這顯然背離了傳統(tǒng)認(rèn)可的簡化為1小時(shí)的圖式，即：如果兩個(gè)水龍頭能分別用a小時(shí)和b小時(shí)把水池灌滿，那么1小時(shí)內(nèi)，第一個(gè)水龍頭灌池子的1/a，第二個(gè)灌去1/b，于是它們在1小時(shí)內(nèi)一共灌1/a+1/b，整個(gè)水池在 = 小時(shí)內(nèi)灌滿。而按照孩子們的推理，對應(yīng)地把整個(gè)水池按b：α的比率分開，兩個(gè)水龍頭分別灌，那么第一個(gè)水龍頭應(yīng)該灌整個(gè)池子的b/（a＋b），它就是按原來的a小時(shí)灌滿時(shí)，所應(yīng)乘的因子。
然而奇怪的是，當(dāng)用兩個(gè)人以不同的速度相向而行的問題采取代這類問題的時(shí)候，對這類問題很熟悉的成年人，往往不注意它與其他問題的同構(gòu)性，而去用線性的路程－時(shí)間簡圖來求解問題。這看起來好像是在兩個(gè)人之間分配距離，只是為了得到幾何策略而不是求數(shù)量關(guān)系，就像水龍頭灌水、工作、食物等一樣。
像"速度"這樣的思維對象，有兩種截然相反的基本的圖式化和形式化的辦法：每段時(shí)間所走的路程和每段路程所花費(fèi)的時(shí)間；后者在比較運(yùn)動(dòng)成績的時(shí)候經(jīng)常用到。這種雙向圖式化的另一個(gè)例子是耗油問題：為了知道用一箱油能否走完某段距離，司機(jī)要算出來一箱油能走多遠(yuǎn)。
這種雙向圖式化牽涉到各種現(xiàn)象，并且它的因素之間有著重要聯(lián)系。如果能夠意識到這些，水池和水龍頭之類的問題就不會再讓人看起來覺得可笑。調(diào)和的相加和求平均（即變成倒數(shù)之后）實(shí)際上是一個(gè)重要的圖式，要得到它，當(dāng)然需要詳細(xì)的圖式化去引導(dǎo)。
3.在學(xué)校里教學(xué)能被9整除的數(shù)的特征，很難說是數(shù)學(xué)知識.只不過是在驗(yàn)證它的正確有效性罷了。以算盤為模型的定位系統(tǒng)，可以成為一種圖式化：如果用算盤上的算珠代表所給出的數(shù)，那么把一個(gè)算珠移到另一個(gè)檔上，數(shù)的改變量就是9的倍數(shù)；因此，如果所有的算珠都移到個(gè)位上，就得出這個(gè)數(shù)和它的所有位上的數(shù)之和被9除同余。這種推理可以推廣到其他定位系統(tǒng)。
4.對圖示化而言，百分?jǐn)?shù)這個(gè)工具由于用途廣泛而不宜在此進(jìn)行詳細(xì)論述，我們僅給出一個(gè)特征，來說明它的極度重要性，它涉及到一種重新組織的轉(zhuǎn)換：
增加或減少p％，即達(dá)到原來的（1＋ ）倍或（1－ ）倍。
5.鐘表的兩個(gè)指針什么時(shí)候重合？用無窮級數(shù)、簡單的代數(shù)學(xué)、線性草圖都能解決這個(gè)問題，而一旦得出結(jié)果，就有一條捷徑得出恰當(dāng)?shù)膱D式：時(shí)針每轉(zhuǎn)一圈，分針轉(zhuǎn)了12圈，于是在12小時(shí)內(nèi)追上時(shí)針11次，并且保持相同的時(shí)間間隔。這是一個(gè)用途很廣泛的圖式，應(yīng)用到其他問題里能解釋一些天文現(xiàn)象。
6.生日宴會上有十個(gè)小孩，男孩比女孩多兩個(gè)。
一個(gè)盛著牛奶的桶共重10千克，牛奶比桶重2千克。院子里有雞和兔子：13個(gè)腦袋，36條腿。
孩子們最初想用嘗試錯(cuò)誤法來解答這些問題，但是遇到大數(shù)目時(shí)效率就顯得很低；而后就開始利用更顯而易見的形形式式的圖式來解決有關(guān)的問題。比如用"假設(shè)"來進(jìn)行推理：假設(shè)每個(gè)女孩找一個(gè)男孩……假設(shè)每個(gè)兔子是一只雞的話……這樣不斷地進(jìn)行概括，就產(chǎn)生了代數(shù)。
7.如果你還不熟悉的話，就停下來想想下面的問題：在一群人中任意5個(gè)人里總有兩個(gè)人的歲數(shù)相同，請證明在他們的17個(gè)人中總有5個(gè)人的歲數(shù)相同，你或許會想出很多圖式來解決這個(gè)問題，但最終的結(jié)果會使你改變看問題的觀點(diǎn)：實(shí)際上17個(gè)人中間至多有4個(gè)年齡層次。
8.一堆火柴100根，兩個(gè)游戲者輪流每次拿掉1－10根，能拿走最后一根火柴的人為勝。這里只要知道秘訣就能取勝，這幾乎人人都知道。現(xiàn)在來玩另外一種游戲：
一堆火柴，輪流每次從中拿走2的方冪（2 ）根，也是能拿走最后一根的人取勝。如果只有1根或2根火柴，那么最先拿的人獲勝；如果是3根的話，他就輸；如果有4根則能勝，5根也是如此；先拿走2根，剩下3根另外一個(gè)人怎么拿都輸。如果有6根，不管他拿1根，2根還是4根，他都把有利形勢讓給了對方，自己則只好輸?shù)簟?根和8根的情況，分別拿走1根或2根則都能贏（剩6根）。但9根又是一個(gè)不利的情況。繼續(xù)分析，就能猜到：對輪到拿的人來說，如果火柴根數(shù)是3的倍數(shù)，則處于失敗境地，其他情況則不會輸。你能證明嗎？結(jié)果表明要考慮模3的算術(shù)。2的方冪模3余2或1。因此那些2的高次冪都沒什么關(guān)系，而是最后歸結(jié)成取1根還是2根的問題--這是古老游戲的一種細(xì)微的變形。
另外一種變形：只允許拿走素?cái)?shù)根（還包括l）。
我們來列出輪到拿的人所處的有利位置和不利位置的情況。
顯然，
1、2、3、5、6、7、9、10、11、…是有利的，
4、8、12…是不利的。
實(shí)際上，以12為例，不管你從中拿哪個(gè)素?cái)?shù)，你都把有利位置讓給了對方；而把上一行的數(shù)分別減去1、2或3，都能把對方送到下面一行。這表明要考慮模4的算術(shù)，在這里只需用3來代替10，就退化成古老的游戲。還有一種變形：每次可拿1根或4根，那么
1、3、4、6、8、9、11、…是處于有利位置；
2、5、7、10、12、…是處于不利位置。
被5除，余1、3、4則有利，余0、2則不利。
實(shí)際上，如果輪到拿的人處于第一種狀況，他就能采取任何拿走4根或者1根的行動(dòng)，這樣就能保持有利的狀況。
這里給出的游戲相互之間表現(xiàn)出了相似的特征。它們的相似性背后又有什么更深的屬性呢？它們能作為更一般的游戲的范例嗎？如果這樣的話，怎樣更一般的闡述呢？
在我們做過的游戲里，與其說是示范性地開始，倒不如說展開問題的一般方法是：先找出最后的結(jié)果，再來證明它--即違反教學(xué)法的顛倒。我們給出的是開放的結(jié)果，而不是最后的結(jié)論。
9.一系列圓盤，編號為1、2、3，…盤的一面是黑色，另一面是白色。開始所有的黑面都朝上，先把編號為偶數(shù)的盤翻過來，然后把編號能被3整除的圓盤翻過來，接著把編號能被4整除的圓盤翻過來，等等。最后哪些圓盤的黑色一面仍朝上？人們總是先做實(shí)驗(yàn)，然后找素?cái)?shù)因子及一些有類似特征的，只是在最后才找到捷徑：對于數(shù)n的任意非平凡因子k，都有相應(yīng)的因子 ，只是當(dāng)n是一個(gè)平方數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才保持一致。從這一點(diǎn)出發(fā)，才能得到簡潔的論述。
10.下面的例子說明，圖式化得來的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軐?dǎo)致重復(fù)計(jì)數(shù)等思想的產(chǎn)生：立方體的八個(gè)頂點(diǎn)處有三條邊相交，似乎說明應(yīng)該得到8×3條邊，而實(shí)際上只有12條邊。
11.通過骰子上的五個(gè)點(diǎn)（圖2）畫一條折線，每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過且只經(jīng)過一次，能得到多少不同的圖形？
首先，必須對"不同的圖形"的概念圖式化，可以用全等的方法來區(qū)別。其次，計(jì)數(shù)的過程必須通過適當(dāng)?shù)姆诸悂順?gòu)造，舉例說，考慮五個(gè)點(diǎn)的中間一個(gè)：把它作為起點(diǎn)，作為（折線的）第一站、（折線的）第二站……，再對四個(gè)角上的點(diǎn)繼續(xù)以同樣方式處理。

12.除了前面的問題外，數(shù)學(xué)化另外一個(gè)重要的方面可以用例子來說明，?quot;棋盤上的谷粒"這一著名問題：為了估算2 ，用10 代替2 ，這就是數(shù)值圖式化的一個(gè)例子。
13.至此，我忽略了數(shù)學(xué)化的語言特點(diǎn)。為了有所選擇，我參考了[87，第4章，p.15]。選擇即意味著放棄，我不愿這樣做，只好如此了。
14.我也沒充分注意到觀點(diǎn)的改變。像[87，第4章，p16]的例子所顯示的那樣，這是一個(gè)十分豐富的課題，這個(gè)課題需要更加系統(tǒng)地去處理，我還不敢妄為。對此我可以補(bǔ)充很多，但我不愿。
15.一個(gè)木桶，上蓋封住，有4個(gè)洞，呈正方形（圖3）。

在洞的正下方有四個(gè)圓盤，一面黑色，一面白色，而顏色是看不見的。游戲者允許選擇打開1個(gè)或2個(gè)洞，把相應(yīng)的圓盤翻過來。操作一次之后，繞著桶的豎軸隨意地旋轉(zhuǎn)木桶，使游戲者找不到他剛選擇的孔洞，如此隨意重復(fù)下去，一旦四個(gè)圓盤的上面的顏色已經(jīng)一致，則響鈴示意游戲結(jié)束。
找一個(gè)方案，保證最后能讓所有圓盤顯示相同的顏色！
這個(gè)例子蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)化特征。為了讓愿意自己獨(dú)立解決這個(gè)問題的讀者不至于失望，我把答案歸到附錄里。

1.3.4 數(shù)學(xué)化--橫向的和縱向的
1978年，特萊弗斯（Treffers）在他的論文里把橫向和縱向數(shù)學(xué)化區(qū)別開來--不是嚴(yán)格的，而是帶有適當(dāng)?shù)谋Ａ簦簷M向數(shù)學(xué)化，能使一個(gè)問題的領(lǐng)域變得易于進(jìn)行數(shù)學(xué)上的處理（這里指狹義的、形式的數(shù)學(xué)），而相對的縱向數(shù)學(xué)化卻或多或少影響到復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理過程。長期以來，我不愿接受這種劃分。我關(guān)注的是兩種活動(dòng)在理論上的等價(jià)性，以及由此決定的實(shí)用中的同等地位；我怕這種區(qū)分破壞了它們之間的這種關(guān)系。根據(jù)特萊弗斯的術(shù)語觀，那些熱衷于教育的數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)化限制在它的縱向因素；而致力于數(shù)學(xué)教學(xué)的教育家卻把數(shù)學(xué)化限制在它的橫向因素，而多少次他們的做法并沒使我感到喪氣！最終我接受了這種分的思想，甚至到了極力推崇的地步；我還給它們的形成加上了某些細(xì)微的差異，但我認(rèn)為，在某種意義上還是尊重了特萊弗斯的初衷。我接受這種劃分，還因?yàn)樗鼘?shù)學(xué)教育的影響，尤其是在規(guī)定教育方式的時(shí)候。在我討論數(shù)學(xué)教育的理論框架時(shí)（見3.1.2）還會詳細(xì)地解釋。
我們給這種劃分的特征作如下規(guī)定：橫向數(shù)學(xué)化把生活世界引向符號世界。在生活世界里，人們生活、活動(dòng)，同時(shí)也受苦受難；在符號世界里，符號生成、重塑和被使用，而且是機(jī)械地、全面地、互相呼應(yīng)地；這就是縱向數(shù)學(xué)化。在生活世界里，經(jīng)歷的就是現(xiàn)實(shí)（其意義前邊講過），而符號世界則是關(guān)于它的抽象化。當(dāng)然，這兩種世界的界限十分模糊，可以互為擴(kuò)張和縮小--同時(shí)以另一個(gè)為代價(jià)。有些東西在某一事例中屬于生活世界，而在另一件事中屬于符號世界（路線圖、地圖、幾何圖形、帳單、目錄單、要填的表格，等等）。自然數(shù)屬于生活世界，而抽象的加法需要符號圖式。抽象的加法可以被結(jié)合到生活世界，而加法的可交換性的認(rèn)識（由此而產(chǎn)生的乘法）還需要經(jīng)過處理的模型以及在符號世界里所理解的等價(jià)意義。對一個(gè)數(shù)學(xué)專家來說，數(shù)學(xué)對象可能是他生活的一部分，而對于初學(xué)者來說卻完全不同。橫向和縱向數(shù)學(xué)化的區(qū)別依賴于特定的情境，牽涉到人和他周圍的環(huán)境。除了這些一般性，不同層次的例子則是解釋它們之間區(qū)別的最好辦法。
1.3.5 例子
1.數(shù)數(shù) 為了數(shù)數(shù)，一個(gè)沒有結(jié)構(gòu)的事物或事件的集合必須進(jìn)行結(jié)構(gòu)化--手工的、視覺上的、聽覺上的或在大腦里--而對大體上結(jié)構(gòu)化了的集合必須揭示或強(qiáng)化其已有的結(jié)構(gòu)。這就需要橫向數(shù)學(xué)化。而另一方面，如何在這個(gè)（新創(chuàng)造的或揭示的）結(jié)構(gòu)中運(yùn)用數(shù)數(shù)的次序則是縱向數(shù)學(xué)化，它依據(jù)結(jié)構(gòu)本身，可以采馭不同復(fù)雜程度的方法：例如可以用乘法來給一個(gè)能用矩形結(jié)構(gòu)表示的（即能排成幾行幾列的）集合數(shù)數(shù)。
2.多些或少些 同時(shí)構(gòu)造兩個(gè)給定的集合也許是橫向數(shù)學(xué)化，而找出誰是誰的子集則是縱向的。或者換一種情況，給兩個(gè)集合數(shù)數(shù)是橫向數(shù)學(xué)化，而說出數(shù)數(shù)的順序，聽聽哪個(gè)數(shù)在前邊，就是縱向的。
3.相加 一個(gè)問題需要把5個(gè)和3個(gè)想象中的石頭彈子加起來，它可以用"手指的圖式"來進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化，而數(shù)手指的辦法則是縱向的。換一種說法即是，用5＋3的算術(shù)和來表示前一個(gè)問題是橫向數(shù)學(xué)化，而解答結(jié)果則可以通過縱向地一個(gè)一個(gè)數(shù)、或用4＋4來代替，或用記憶等辦法來得到。
4.相加 如果直到10的自然數(shù)都屬于生活世界，那么用（10－2）＋（5＋2）=10＋5的辦法求解8＋5就是縱向數(shù)學(xué)化，而礁霰患郵慕峁乖蚴峭ü嵯蚧竦玫摹?br> 5.交換律 如果2和9是可見的或在大腦中結(jié)合成線性結(jié)構(gòu)的集合，并且它們的結(jié)合可以被倒過來讀的話，那么用9＋2代替2＋9可以歸到橫向數(shù)學(xué)化里。交換律一旦被普遍使用，就能被縱向說明了。
6.加法 當(dāng)在如下情形中使用加法時(shí)，它就是屬于縱向數(shù)學(xué)化的一個(gè)符號：當(dāng)A到B及B到C之間的距離己被步測之后，則從A經(jīng)B到C的距離就不用再重新步量，而只需把前面兩個(gè)數(shù)值相加即可。
7.乘法 8的5倍可以用5行8列的矩形圖式來橫向數(shù)學(xué)化，而縱向數(shù)學(xué)化則可能得到如下的序列8、16、24、32、40。
8.乘法 人們最終認(rèn)識到對相同被加數(shù)的加法，并把它獨(dú)自作為一種運(yùn)算--這種過程以橫向數(shù)學(xué)化開始，并以縱向數(shù)學(xué)化結(jié)束。
9.除法 當(dāng)需要把一些物品分給一群人的時(shí)候（例如圍成一桌打牌時(shí)的發(fā)牌），可以把這些物品一個(gè)一個(gè)地發(fā)下去，也可以每回分給每個(gè)人等量的物品，直到分完為止；這是分配問題的橫向數(shù)學(xué)化。縱向數(shù)學(xué)化則在于尋找愈來愈大的份額（直到剛好合適），從而來縮短分發(fā)的過程。這些過程是逐步圖式化的一個(gè)顯著的例子（在這個(gè)例子中是逐步的算法化，最終導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的長除算法）。
10.組合學(xué) 如果A、B之間有3條路相連，B、C之間有4條路，那么從A經(jīng)B到C共有多少種不同的走法？橫向數(shù)學(xué)化在于找出問題的結(jié)構(gòu)，這可以從某種巧妙的計(jì)算開始，而最終用乘積的手段來完成縱向數(shù)學(xué)化。依具體情況的不同，這種"道路的圖式"在其他情形中的應(yīng)用既可能是橫向的也可能是縱向的數(shù)學(xué)化。把3和4同用字母代替則是縱向的數(shù)學(xué)化。
11.比率 對一些從幾何上或代數(shù)上看起來具有某種相似性的一類問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，會出現(xiàn)橫向與縱向的思路交替發(fā)生的情況，開始時(shí)會這樣敘述：在這里大小加倍的東西，在另一邊也必然加倍。
12.比 把足球比分2：1和3：2等價(jià)起來是不對的，把它們和4：3、5：4等繼續(xù)比較下去就能看出來，這是縱向數(shù)學(xué)化搗的鬼。為了找出一個(gè)公正的比較辦法，要用到橫向引入，并從縱向得到幾何的圖式或比例表。
13.直線性 比率可以通過上面得到圖式和線性函數(shù)的直線圖象進(jìn)一步縱向數(shù)學(xué)化，日常生活的很多情形都能如此，它們通過橫向數(shù)學(xué)化與比率聯(lián)系起來。揭示固定的比率和平直度之間的關(guān)系是縱向數(shù)學(xué)化的一大功績，這也正是比率值和圖象的陡峭程度之間的關(guān)系。對商業(yè)事務(wù)中牽涉到的一個(gè)固定的或成比例的比率進(jìn)行的橫向數(shù)學(xué)化，總是伴隨著縱向數(shù)學(xué)化發(fā)生，它把商業(yè)事務(wù)的特點(diǎn)和圖像的特點(diǎn)聯(lián)系起來。
14.垛積數(shù) 用于幾何（形狀）給出的垛積數(shù)，它們的大小和關(guān)系就屬于橫向數(shù)學(xué)化問題。例如（圖4），前n個(gè)奇數(shù)的和等于n的平方，又如（圖5）：第n－1個(gè)三角形數(shù)和第n個(gè)三角形數(shù)的和等于n的平方。長期以來，這都是橫向的經(jīng)驗(yàn)，而且一旦把這種敘述和關(guān)系表達(dá)成公式進(jìn)行處理，縱向數(shù)學(xué)化就占了主導(dǎo)。證明這種關(guān)系的歸納步驟具有縱向的特征，即使在很長的時(shí)間內(nèi)它將像橫向的那樣起作用。在證明中所用的完全歸納法語言也表現(xiàn)出縱向的數(shù)學(xué)化。

15.帕斯卡三角 這種情形和上一個(gè)例子類似：一旦給出了帕斯卡三角，它的元素間的大量關(guān)系是橫向數(shù)學(xué)化獲得的。二項(xiàng)式系數(shù)的一般的代數(shù)表達(dá)式需要縱向數(shù)學(xué)化；眾所周知，很多組合問題都和帕斯卡三角有關(guān)。