我常喜歡說的一句話是“要經(jīng)得起追問”。什么是追問？詢問推理背后的原因。數(shù)學(xué)大概是最經(jīng)得起追問的一門學(xué)科。在不斷的追問過程中，我們把推理的每一步以及其依賴得前提都說清楚，我們從最初的命題跨越到一系列的定理，有時(shí)邏輯鏈還追溯到一些小引理上去。是的，你可以打破砂鍋問到底，不斷的追問為什么，于是最終我們停留在一些公認(rèn)的基礎(chǔ)事實(shí)上，這就是公理。
小學(xué)的時(shí)候，我的語文老師向我們介紹了哥德巴赫猜想和陳景潤的故事。實(shí)際上她說不出哥德巴赫猜想的內(nèi)容是什么，她以為那個(gè)猜想就是要證明1+1=2。不過受她的影響，也就是那時(shí)候，我開始追問了，什么是1，什么是2？為什么1+1=2？這個(gè)問題可以被回答的。這就是自然數(shù)的皮亞諾公理：
- 0是一個(gè)自然數(shù)；
- 每個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)后繼自然數(shù)，記作S(a)；
- 不存在后繼為0的自然數(shù)；
- 不同的自然數(shù)有不同的后繼。即若a≠b，則S(a)≠S(b)；
- 如果一個(gè)命題對自然數(shù)0成立，并且假定它對自然數(shù)n成立時(shí)，能推出它對n的后繼仍成立，則原命題對所有自然數(shù)都成立。
對有程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的同學(xué)來說，這個(gè)公理實(shí)際上刻畫了一個(gè)單向鏈表的模型，當(dāng)然是無限長的。其他人則可以認(rèn)為是一個(gè)無限長的火車。我要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，0只是一個(gè)符號，后繼只是一個(gè)名詞。我們不要被概念化的名詞和符號限制住，否則公理化就本末倒置了，這些名詞和符號正是由公理規(guī)定的。是的，公理化既沒有回答我們0是什么，也沒有告訴我們，1是0的后繼。正確的邏輯順序是這樣的：先有了0是一個(gè)自然數(shù)，那么由公理2，0就有一個(gè)后繼S(0)，于是這個(gè)后繼被人為的記成1。當(dāng)然你也可以記成別的符號，但這不是關(guān)鍵，不管那是什么符號，它本質(zhì)上和1沒有區(qū)別。公理化不規(guī)定每個(gè)自然數(shù)的“后繼”是如何被確定的，但是這個(gè)“后繼”必須滿足關(guān)于“后繼”的第2，3，4條公理。
有了自然數(shù)以后，我們可以用遞規(guī)來定義加法：（這里的S(x)仍然代表x的后繼）
- a + 0 =a
- a + S(b) = S(a+b)
于是，小時(shí)候的謎團(tuán)解開了：1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2.
我知道大家對于上面“什么是1”，“什么是0”的回答一定不滿意，因?yàn)槟歉緵]有回答嘛。但是，我還會繼續(xù)下去，嘗試著回答“什么是點(diǎn)”，“什么是直線”這個(gè)更難回答的問題。
什么是點(diǎn)，這個(gè)問題大概也只有數(shù)學(xué)家會去思考了。有些人會說，平面幾何里，點(diǎn)就是一個(gè)很小的實(shí)心圓。這個(gè)回答太不好了，不僅因?yàn)楹苄∈且粋€(gè)模糊的概念，更糟的是，他把更復(fù)雜的“圓”扯了進(jìn)來。如果我們追問，那什么是圓呢？估計(jì)他們就要歇菜了。
歐幾里德用了如下的一組公理來規(guī)范平面幾何：
- 兩個(gè)點(diǎn)決定一直線。
- 線段能無限延伸成直線。
- 給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓。
- 所有的直角都相等。
- 過直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線不相交。
這組公理也許又讓大家失望了，它并沒有回答什么是點(diǎn)，什么是直線。公理1在沒有定義點(diǎn)和直線的情況下，直接給出了他們的關(guān)系：兩點(diǎn)決定一直線。在這里，“決定”這個(gè)詞就和之前的“后繼”一樣，我們不知道（或者說不關(guān)心）兩點(diǎn)是如何決定一條直線的，只是，我們承認(rèn)有某種方式來決定，僅此而已。于是換句話說，點(diǎn)，直線，都只是抽象的對象而已。這五條公理雖然很大程度上有著形象化的描述（比如延伸，直角），但是，經(jīng)過一定的規(guī)范，我們完全可以把它們作為一個(gè)抽象的對象去思考，完全脫離幾何背景來思考，證明出相同的定理。
第5條公理在幾何學(xué)里有不尋常的地位，對它的質(zhì)疑直接導(dǎo)致了非歐幾何的產(chǎn)生。這里我將給大家介紹一個(gè)不同于歐氏幾何的全新的平面幾何學(xué)，它滿足以上的4條公理，但不滿足第5條公理。
在這個(gè)問題上，我不會用很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言來描述，我盡量選擇最通俗的說法解釋這個(gè)模型。
假設(shè)有一個(gè)平面?，F(xiàn)在我們畫上一條直線，我們不妨把它叫地平線。地平線把平面分成上下兩個(gè)部分。
首先，上半平面的點(diǎn)叫“點(diǎn)”。
很遺憾，在新的幾何里，地平線上的點(diǎn)和下半平面的點(diǎn)，我們不承認(rèn)它們是“點(diǎn)”。
“直線”有兩種：一種是垂直于地平線的射線，另一種是圓心在地平線上，任意長為半徑的上半圓周。
如圖就是兩條“直線”
需要注意的是，“直線”是由“點(diǎn)”構(gòu)成的，既然地平線上的點(diǎn)不是“點(diǎn)”，那么射線或者是上半圓周作為新的“直線”都是不包含地平線上的那個(gè)端點(diǎn)的。我們可以驗(yàn)證一下，兩“點(diǎn)”決定一“直線”仍然成立！
接下來我們跳過對距離的度量（因?yàn)檫@要牽扯到復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算），直接介紹平行的概念：因?yàn)檫@里的“平行”和“不相交”不再等同（實(shí)際上這里的“平行”要求兩條“直線”可以充分接近卻不相交），所以我認(rèn)為這里用圖代替文字來說明“平行”會更簡潔。
過“直線”外一“點(diǎn)”，有且僅有兩條“直線”與已知直線“平行”
這是另一種“平行”的情況，也可以作出兩條“直線”平行于已知“直線”
很明顯，過直線外一點(diǎn)可以作兩條平行線的概念意味著“平行”不再具有傳遞性。平行線被認(rèn)為是不相交的，在這里它們也是不相交的，雖然它們看起來交于地平線上的一點(diǎn)，但是一開始就已經(jīng)說過了，地平線上的點(diǎn)不是“點(diǎn)”。
“角度”被定義為兩條“直線”交點(diǎn)處切線的夾角。那么，“垂直”就有了：“角度”為90度的兩“直線”“垂直”。
如圖：兩“直線”“垂直”
關(guān)于這個(gè)幾何模型就介紹到這里，實(shí)際上以上是雙曲幾何中的“龐加萊半平面模型”。不知道大家對于“什么是點(diǎn)”，“什么是直線”是否有了新的認(rèn)識呢？是的，“點(diǎn)”和“直線”都只是一些名詞而已，重要的是它們之間的關(guān)系決定了它們可以是什么。
實(shí)際上，自然數(shù)已經(jīng)被人們用集合論的語言重新定義過了，而歐幾里德平面幾何也通過解析幾何的方式重新進(jìn)行了定義（并且使之更完善）。不過，這種從關(guān)系出發(fā)，不牽絆于名詞的想法在數(shù)學(xué)中是極其重要的。文末，大家還關(guān)心“什么是點(diǎn)”，“什么是直線”嗎？管它的，只要你滿足公理，愛是什么是什么。
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后記：讀完本文后你可以做的事：
利用遞歸給出自然數(shù)中奇數(shù)和偶數(shù)的定義。
利用皮亞諾的五條公理證明：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和必為奇數(shù)。
仿照加法，寫出乘法和冪次的遞歸定義。
查閱自然數(shù)和有理數(shù)的集合論定義。
在半平面模型下，驗(yàn)證一下在雙曲幾何中的三角形內(nèi)角和是否等于2個(gè)直角。
查閱雙曲幾何的另一個(gè)模型：龐加萊圓盤模型。 | 
