作者汪洋。本文參與遇見數(shù)學＃數(shù)學蒲公英＃第2次征文活動，參與鏈接請點擊這里. 

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1637年，費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：

“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信我發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里的空白處太小，寫不下?！?其內(nèi)容可用字母表示為 （  的整數(shù)，，， 為正整數(shù)）無整數(shù)解。

雖然這個問題在1995年，被懷爾斯徹底解決了，但是深奧難懂。中國的費馬粉絲，一定好奇，這種美妙的證法是真的嗎？還是老費自以為的呢？或者說根本就是一個謊言。首先，我敢保證謊言是不可能的。老費的人品一定沒有問題，就憑老費在數(shù)學領域里諸多的貢獻（如微積分，解析幾何，概率論，數(shù)論），與驕人的成就。他沒有動機說這個謊。那么至多就是一個“自以為”的美妙的證法了。

那么老費當時的美妙證法會是什么樣子呢。因為他給出  為  時猜想是成立的，（當時用的是無窮遞降法）。這樣上述方程中的  就只需證明為素數(shù)  不成立即可了。問題好象得到了大大的簡化。上述問題變?yōu)榱?nbsp;，其中  是大于  的素數(shù)。方程沒有整數(shù)解。然而即使是這樣，他的無窮遞降法好象不能用歸法證明對所有的素數(shù) ，方程都沒有整數(shù)解。

我們再看看他在數(shù)論里的思維軌跡，他還有一個得意之作。那就是費馬小定理。費馬于 1636 年發(fā)現(xiàn)。剛好是他提出大理定的頭一年。費馬小定理:如果  是素數(shù)，且  則有，。在一封 1640 年 10 月 18 日的信中他第一次使用了上面的書寫方式。同年他把目光投向了一類多項式的因式分解。

 ，很明顯這在實數(shù)范圍是不能分解因式的。于是他令  。即  ，他試了五個數(shù)， 時，均為素數(shù)。于是他下結論，所有此形數(shù)均為素數(shù)?，F(xiàn)在我們知道此形數(shù)就是著名的費馬數(shù)?？上С饲懊娴奈鍌€數(shù)，目前為止，其余的費馬數(shù)都是合數(shù)。如 1732 年(老費 1665 年逝世的，都離世六十七了)，歐拉算出 。

當然，老費這么大的數(shù)學家，不至于如此草率，驗證了四五個數(shù)就得出一個結論。這樣就有侮辱他的味道了。當  大于  以后，費馬數(shù)異常的大。在那種純手工的年代，繼續(xù)驗證成為不可能，老費一定是給出了一個“自以為”的完美證明，才下這樣的結論的。

那么這個證明是什么呢?會不會老費在這兩起數(shù)學事件中犯了同一個我們今人所知道的錯誤呢。這種可能性很大!!!

上述這個同余式被用來檢測一個數(shù)是否是素數(shù)的方法。叫素性檢測。通常都令  為 ，即 ， 其中  是大于  的素數(shù)。

有趣的是，不難證明:  
因此老費認為，所有的費馬數(shù)是素數(shù)了。

現(xiàn)在我們知道，費馬小定的逆定理，并不一定成立，而且如果  不是素數(shù)，且 有 。則稱  為偽素數(shù)，又叫卡邁克爾數(shù)。

最早發(fā)現(xiàn)的偽素數(shù) ，是薩魯斯（Sarrus)在 1819 年發(fā)現(xiàn)的。而且是最小的一個。因為: 。

而此時費馬老先生己經(jīng)逝世有 154 年了。所以他一定不知道，自己的小定理的逆定理并不成立。

另外他與數(shù)學家梅森交往甚密。1640 年 6 月，費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個非常重要的性質(zhì)。我相信它們將成為今后解決素數(shù)問題的基礎”。這封信討論了形如的數(shù)（其中  為素數(shù)），我們可以記為:
有趣的是不難證明:


現(xiàn)在我們再來觀察一下費馬方程: 

作一下變形:



其中可證明:  與  的公約數(shù)為  或 。所以第二個式中，必定要包含有  個相同的因子。我們記


則還可證明:


顯而易見，這是一類用現(xiàn)代思維看起來的偽素數(shù)。實際上，在老費的眼中，他誤以為是素數(shù)，或者跟梅森數(shù)一樣，不含有多個相同的素因子。這樣就”證明”了自己的猜想。我想他在給梅森的信中所指的三個非常重要的性質(zhì)就是指，費馬小定理，費馬數(shù)及費馬大定理。并且視他們均是跟素數(shù)問題相關的。

綜上猜測的依據(jù)有三：一，從時間流上來看，并不矛盾。因為費馬大定理在費馬小定理后一年發(fā)現(xiàn)。二，從意識流上來看，也有一至性。因為后面的費馬數(shù)，梅森數(shù)都跟費馬小定有關，即不是素數(shù)就是偽素數(shù)。三，從他留下的文字信息中可以推測這個過程一定不是特別的長。但書邊寫不下，后又沒有在其它地方寫下來。說明當時覺得這個證明美妙，但難度并不大。而且只是費馬小定理的一個應用。自覺意義不大。于是其它的地方也懶得寫了。同時在給梅森的信中也提到，“發(fā)現(xiàn)的三個非常重要的性質(zhì)“，跟素數(shù)有關。

當然以上未必是歷史的真相，純屬本人猜測。但本文中另一個附加的價值就是找到了兩類偽素數(shù)的通式。即梅森數(shù)與費馬數(shù)不是素數(shù)就是偽素數(shù)。我想老費比我先找到吧，只是那時“偽素數(shù)”還沒有冠名而己。

其實真相是什么早以不重要，費馬大定理的提出，推動了數(shù)論的發(fā)展才是老費“自以為”作出的最大的貢獻。