12分高考答題必刷題型，“空間向量分析點到線的距離問題”

立體幾何大題

立體幾何在各地高考中，基本都占據(jù)20分以上的比例，在解答方法上，小題技巧相對比較豐富，但大題解答上有明顯的規(guī)律可循。

我們整理了一整套的利用空間向量分析空間位置問題的內容，以便同學們能更好的應對高考內容。

這次我首先帶了“點到面距離的分析”內容。

空間向量定義

立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題:一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行;二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。

要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念.在線段ab的兩個端點中，我們規(guī)定了一個順序，a為起點，b為終點，我們就說線段ab具有射線ab的方向，具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點要畫箭頭表示它的方向，以a為起點，以b為終點的有向線段記為 ，需要學生注意的是：的字母是有順序的，起點在前終點在后，所以我們說有向線段有三個要素：起點、方向、長度.
既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用點(起點)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現(xiàn)在所學的向量一般指后者.

異面直線夾角

計算異面直線夾角的大體思路是：
建立空間直角坐標系，然后在每條直線上取兩個相異點，首尾相連，定位這條直線上的“方向向量”。
接著用有序實數(shù)對表示出這兩個向量，就是（x，y，z）的形式。然后利用向量數(shù)量積（點乘）的運算公式，得到cos〈向量a，向量b〉=向量a·向量b/|向量a|·向量b|，得到兩個方向向量的夾角。
由于方向向量的選取方向不盡相同，這里所得的方向向量的余弦值可以為正、負、零。但是我們所需要的是異面直線的夾角，而不是方向向量的，由于異面直線的取值范圍（上文給出）的約束，他的余弦值肯定為非負數(shù)，所以要取他的絕對值，作為異面直線的夾角的余弦值。
有了異面直線的余弦值，就可以利用反三角函數(shù)來表示出角的大小。
以上是解題的大體思路。（注意與線面角、二面角思路的異同）

從思路中我們不難發(fā)現(xiàn)，需要落實到卷面上的是：嚴格的建系、點坐標和向量的坐標表示形式、設異面直線的夾角為θ、向量夾角的計算公式以及結果、cosθ=|cos〈向量a，向量b〉|

希望你在看了我的回答之后能有所啟發(fā)。如還有疑問，可以問問周邊同學或老師。你一定會弄明白這個問題的。關于立體幾何、空間向量這類的問題，高考是要盡量拿滿分的。

法向量定義

法向量是空間解析幾何的一個概念，垂直于平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。一般不選擇零向量為平面的法向量。由于空間內有無數(shù)個直線垂直于已知平面，因此一個平面都存在無數(shù)個法向量（包括兩個單位法向量）。垂直于平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。每一個平面存在無數(shù)個法向量。

平面法向量的具體步驟：（待定系數(shù)法）

1、建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?/p>

2、設平面法向量 n=（x，y，z）

3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為 a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根據(jù)法向量的定義建立方程組① n*a=0 ② n*b=0

5、解方程組，取其中一組解即可。

點到面的距離

點到平面的距離：設v是平面α的法向量，P為α外一點，A為α內任一點，P到平面α→的距離為d，

則d=|v·PA|／|v|
解析：設已知一平面α的法向量v=(x1,y2,z1)，P為平面外一點，向量AP=(x2,y2,z2)
∵cos<向量v,向量PA>=|向量v·向量PA |/|向量v|·|向量PA |
又cos<向量v,向量PA>=d/|向量v|
即，D到平面α的距離為向量在平面法線上的投影
∴d=|向量v·向量PA |/|向量PA |

運用空間向量解決立體幾何問題的步驟

(1)建系：根據(jù)題中的幾何圖形的特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系；

(2)定坐標：確定點的坐標進而求出有關向量的坐標；

(3)向量運算：進行相關的空間向量的運算；

(4)翻譯：將向量中的語言“翻譯”成相應的立體幾何中的語言，完成幾何問題的求解．

同步訓練

本題主要考查空間異面直線所成的角的向量求法，考查點到平面距離的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.

本題主要考查了平面與平面平行的判定，利用向量求點到平面的距離，考查轉化思想以及空間想象能力．

本題考查了線面垂直的判定定理應用，利用法向量法求點到平面距離，屬于中檔題.

本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力．

本題考查向量法求異面直線所成的角、點到面的距離，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意運算的準確性．

本題考查了線面平行，點到平面的距離，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

方法點撥：

(1)計算幾何體的最值往往有兩種方法：一是恰當選用變量，建立目標函數(shù)，通常利用函數(shù)的性質求解，如果函數(shù)解析式符合基本不等式條件(或可以轉化為基本不等式形式)，可以用基本不等式定理(均值定理)求解；二是利用化歸與轉化思想將立體幾何中的極值問題轉化為平面幾何中的最值問題．

(2)利用法向量可以求兩個平面的夾角：建立坐標系，寫出點與向量的坐標；求出平面的法向量，進行向量運算求出兩個法向量的夾角；根據(jù)法向量的夾角與兩個平面的夾角之間的關系，確定兩個平面的夾角.．

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