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巧用向量求空間角 （西北師范大學(xué)2003級(jí)教育碩士班 馬 ?。?/span>
空間的角是立體幾何重點(diǎn)中的重點(diǎn),同時(shí)是高考的重要內(nèi)容.縱觀二十多年高考試題,涉及空間角的題比比皆是.引入空間向量后,對(duì)于計(jì)算空間角提供了一種較為簡便的方法,體現(xiàn)了向量的工具性.本文就利用向量求解空間角的問題作一探討. 角這一幾何量本質(zhì)上是對(duì)直線與平面位置關(guān)系的定量分析，其中轉(zhuǎn)化的思想十分重要，三種空間角都可轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解． 一、兩異面直線所成的角 異面直線所成的角α利用它們所在的向量，轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ問題，但θ∈［0，π］，α∈（0，π/２），所以 ｃｏｓα＝｜ｃｏｓθ｜＝｜a·ｂ｜/(｜ａ｜｜ｂ｜)． 例1如圖1，三棱柱ＯＡＢ-Ｏ1Ａ1Ｂ1，平面OＢ1⊥平面ＯＡＢ，∠Ｏ1ＯＢ＝60°，∠ＡＯＢ＝90°，且OB＝ＯＯ1＝２，ＯＡ＝ ，求異面直線A1B與AO1所成角的大?。?span lang="EN-US">2002年上海春季高考試題第19題） 思路分析：用平移A1B或ＡＯ1的方法求解，是很困難的，于是我們很自然地想到向量法求解．充分利用∠ＡＯＢ＝90°，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題計(jì)算．  評(píng)議：求兩條異面直線所成角的大小，通常采用平移法產(chǎn)生相應(yīng)的平面角，并借助解三角形求解．這時(shí)免不了要作輔助線和幾何推理．這里運(yùn)用向量法，無論是解法1（向量直接運(yùn)算法），還是解法2（向量坐標(biāo)運(yùn)算法），都免去了這些手續(xù)，顯得便當(dāng)快捷． 二、直線和平面所成的角  ∴ θ＝３0°． 例4三棱錐PABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3． 
一般來說，當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具，應(yīng)該說不僅會(huì)降低了學(xué)習(xí)的難度，而且增強(qiáng)了可操作性，為學(xué)生提供了嶄新的視角，豐富了思維結(jié)構(gòu)，消除了學(xué)生對(duì)立體幾何學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的畏懼心理障礙，更有利于新課改、新理念、新教材的教學(xué)實(shí)驗(yàn)． |
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