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【題記】 魏爾斯特拉斯，對數學嚴格化做出重要貢獻的一位早期的德國數學家，他的一句讓人出乎意料的話是：一個真正的數學家必須有詩人的心靈。 在所有的藝術形式中，建筑也許是與數學最相似的。嚴格的工程準則防止建筑倒塌，設計中蘊含幾何，最終細節(jié)非常復雜，但是整個建筑的架構愿景才是最重要的。 《數學課程標準》明確指出：“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。……要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系?！薄ⅰ敖處熃虒W應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教。” 從上面的這些話語中，我們體會到一點就是——數學教學的前提：從兒童已有經驗出發(fā)！ 在我們思考這一問題的時候，有必要區(qū)分我們據說的“家庭（生活）數學”和“學校數學”。 “家庭（生活）數學”是在真實世界的情境中為了真實的目的而學習（不是教?。?，它總是包括實際的物體而幾乎很少進行文字記錄。這種數學包括數星星、數樓梯的游戲，怎樣分糖果和處置零花錢，等等。 與之相對，“學校數學”通常是為了自身目的而進行，與任何真實或具體的環(huán)境無關，而且?guī)缀蹩偸前ㄓ涗洸⑹褂梦淖址枴Ｋ械氖聦嵍急砻?，兒童對家中遇到的相關數學問題充滿信心，但當他們面對學校的數學時情況則截然不同。許多的國際、國內研究以及我們的教學實際都表明：在小學結束時，大批的學生通過的訓練是能使用學校教給的紙筆方法進行數學運算的，但關鍵是，其中的許多人對實際任務仍然缺乏理解。 一個極端的例子就是：一條船上有75頭牛，32只羊，問船長有多少年齡？據說答船長年齡是75－32＝43歲的，中國孩子約有92.3%，法國孩子約占65%。對于這個百分比，我不太相信，但這種情況的大量存在卻是不爭的事實！ 我們的數學教學由于不是以兒童的生活經驗為出發(fā)點，而是以所謂的課程邏輯結構為準繩，結果是不是把孩子教得越來越“笨”了呢？ 中國正處在經濟的轉型時候，強烈的功利主義、技術主義價值取向將充滿趣味的數學變得枯燥無味，知識之學、技藝之學的至高無上的觀念，使數學教學變成了高度工具化、技術化的應試訓練。 這種數學教育，忽視甚至輕慢真實的生活狀態(tài)，以正統(tǒng)甚至霸權的書本教材來俘獲學生，將學生從現實感中“懸置”起來。學生本來是生活在現實中，但一旦進入數學學習狀態(tài)，教師和教材又很容易地形成與生活的“間離感”，致使學生學習數學的過程成了對活生生的世界“陌生化”的過程，親歷的生活往往成為另類。 學生在沒有任何“感受”“體驗”“探究”生活數學的機會，數學學習的靈性、思維的靈感火花又從何而來？ 我們現在教學的一大“奇觀”是：我老師的老師是那樣教我的老師的，我的老師是那樣教我的，我現在也就這樣教我的學生……這樣一代又一代教下去！？這就是傳承數學文化嗎？ 我至今還清楚地記得我怎樣背誦乘法口訣表、怎樣坐在屋檐下的小方桌上鉆研一頁又一頁數學難題的情景。記得小學我學分數的計算法則“除以一個分數，等于乘以這個分數的倒數”時，我只知道那樣去做，至于為什么，我則是一無所知。況且一方面沒有人問過我它背后有什么邏輯，另一方面它背后是否隱藏著什么含義對當時的我來說，也并不重要，重要的是能得到了正確答案和好的成績，進而得到表揚與獎勵。如此而已。 這已是很多年以前的事了。而現在我又和孩子們一道重新學習小學數學——這是多么非同尋常的經歷啊！ 現在，數學領域已經發(fā)生戲劇性的變化，和我們的小學時代相比，紙筆計算已經縮減為數學訓練的一小部分。傳統(tǒng)的數學教學已經讓位于更高的期望。難道現在還要重蹈我們那個時代的覆轍嗎？ 當今的孩子，已經生活在一個充斥著計算器和電腦的時代里，他們需要具備比以往更強的分析能力、實踐應用能力、創(chuàng)造力和靈活性。我們已經深深地懂得讓孩子擁有“數學家”的眼光和思維習慣與擁有閱讀、寫作、音樂、舞蹈、科學等方面能力是同等的重要！ 因此，要解決如何使正規(guī)數學更加靠近兒童的問題，其實就是就研究如何讓我們的數學教學更加基于兒童的生活經驗的問題，這是一切教學的前提。沒有這一前提，我們就會重蹈昨天的覆轍！ 下面，有必要列舉一下現行學校數學的幾個關鍵特征，其中的每一項可能都是導致兒童在學校學習中失敗的原因，而我們的改進措施也是要針對下面的每一項而進行。值得注意的是，由于我們的新課程改革還處于實驗初期階段，作為一個用現行教材教學的老師而言，我們要做的不是推翻現行教材，而是以孩子全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展為目標，以新課程的理念來不斷改進、增刪、重組等手段“揚棄”現行教材。 首先，學校數學一般剝離了任何真實、有意義且富有支持性的環(huán)境。 套用一句流行的說法就是：掐頭去尾，專燒中段。與此相對應，我們要做的就是盡量還數學以本來面目，續(xù)頭續(xù)尾，使之數學成為“真實的數學”。 例如，形體圖形面積和體積教學，教師通常采用的方式是簡單地公式推導，而后則是輔之以套用公式的大量演算。其實，只要我們稍做一下有心人，就會使之呈現一片新天地。 如“長方形面積”的教學，它的面積推導是從數方格開始的?？墒牵覀冊S多老師往往有這一環(huán)節(jié)上不肯花時間，有的老師還別出新裁用多媒體演示代替學生的操作實踐，緊接著馬上就把推導出結論──即“長方形的面積＝長×寬”這一公式匆匆給學生了。其實在這里，用多媒體代替學生的操作實踐是十分不利于學生發(fā)展的，大量的題目演算也不能代替兒童的“切身體驗”?？瓷先ィ瑢W生通過大量演算，是掌握了這一知識點了，其實不然。我們通過一個生活問題情境就能分出不同教學的高下：在一個用50×50厘米地磚鋪就的大廳里，如何快速算出它的面積呢？有操作體驗的學生馬上想到數地磚的方法，而忽視操作教學的學生想到是只是要量出長和寬才能算出它的面積。 而且，“數方格”方法對后續(xù)知識的學習也有很大的幫助。有這樣一道題：4個棱長是1厘米小正方體組成一個大的長方體，它的表面積最大可能是多少平方厘米？而對于此類問題，高年級一些同學在解決時往往很容易出問題，其主要原因是學習中操作少、體驗少，于是腦中儲存的表象也少，加上老師指導時也只是從題目到題目，教學效果自然不佳。 如果老師從中年級到高年級一直“注重從兒童的生活經驗出發(fā)”，再注意引導舉一反三──仍然用數方塊的方法，則很快就能解決問題：如下圖，4個小立方塊組成一個大的長方體，有兩種可能的情況。第一種情況從一個側面能看到的面是9個，所以表面積是18平方厘米，第二種情況從一個側面能看到的面是8個，所以表面積是16平方厘米。顯然第一種情況表面積較大。 其次，學校數學通常要求兒童使用生疏的“紙筆”策略 而這些策略并非是兒童自身發(fā)展的心智策略的簡單的書面翻版。與之相對應，我們應當讓兒童通過自己的學習方式來理解數學，盡量通過歸納法而不是通過演繹法來學習數學。 下面是英國數學家艾莉森講述的一件案例。這件案例很好地說明了學校數學傳統(tǒng)教學方式存在的問題。以下是她和她的七歲的女兒學習實錄： 女兒：媽媽，給我一些需你們做減法的題。 媽媽：你怎么開始呢？ 女兒：將TU放在頂端，然后將兩個數字分別放在兩個字母下面，像這樣…… （女兒寫下： 媽媽：四十二減二十七，你怎樣做呢？ 女兒：不對，是四二減二七。 媽媽：你的意思是什么？ 女兒：就是一道算術題。 媽媽：但如果你沿街走，看見一扇門上寫著42，你不能把它說成四二。 女兒：不，當然不。但這與剛才說的沒有關系。 媽媽：那么剛才說是什么意思呢？ 女兒：什么也不是，無聊，那只是一個算術題。 （通過這個階段，女兒蘇珊娜開始表達清楚自己的意見。接著，媽媽讓她嘗試展開如何處理這個算術題的全過程。女兒蘇珊娜使用分解方法并很快找到了正確答案， 它把答案讀作“十五”。） 媽媽：好的，蘇珊娜，你能用四十二減去二十七嗎？ 女兒：十五。 媽媽：你是否使用了剛才寫下來的計算方法？ 女兒：沒有。27＋3＝30,30＋10＝40,40＋2＝2，我在頭腦中全部運算完了是15。 媽媽：看看這道題的答案。 女兒：數字是一樣的，但計算方式卻不同。 （接下來，艾莉森能夠在Unirix立方體的幫助下協(xié)助蘇珊娜找出不同的計算方法卻得出了相同的答案。因此，“借位方式做減法”的方法的神秘和無意義的過程開始與蘇珊娜和她的理解的真實數學發(fā)生關系，這樣她就有可能明白學校數學的意思是什么。）［以上摘自（英）David Whitebread主編 趙萍等譯的《小學教學心理學》，中國輕工業(yè)出版社，2002年1月第1版］ 但不是每名兒童都有幸遇上數學家母親。我們的兒童要么就是老師和父母的一遍又一遍的極富耐心地、生硬地指導下學會了這樣演算方式，至于為什么就不知道了。還有一些學生，則可能在老師或父母“你怎么這么笨，這么簡單的問題都不會！”指責下種下了“數學真難”的種子，最終結出“我不是學數學的料”的果子──他們最終放棄數學。 其實，每個孩子心智發(fā)展水平和學習方式是有較大差異的（即使是在同一年齡層次），我們又何必強求孩子用一套成人設定的固定步驟、以同一種方式、同樣的要求來教他們呢？我們應當大膽提倡的方法是讓孩子用自己的心智大人的指導下建構自己的學習方式和自己的數學策略，并把重點放在過程上而不是學習結果上。在這里，我想重點談談教學中的“歸納法”。 人類學習中“歸納法”對兒童教學有著重要的啟示。作為人類，能從多種多樣的經驗中識別出模式和規(guī)則而完成這一主動加工過程，并且似乎更有能力進入歸納過程中（從一系列特殊個案中推出具有普遍性規(guī)則或模式），而對演繹法（與從特殊到一般相反的過程）相對來說準備較少。 例如，人們在度量很多個圓的周長和直徑之后問題，發(fā)現它們的比值總是近似地等于3.14，于是提出了圓周率是3.14的猜想。后來，數學家從理論上證明了圓周率的數值為π，果然和3.14很接近。這種“歸納猜想”的方法，如果用于小學數學教學，并從兒童原有的知識經驗、生活背景出發(fā)，定會收到良好的效果。 又如，在教學“質數和合數”時，我并沒有按課本編排的體系去進行，而是重新組織了“有結構的材料”，進行“師生共探”式教學。具體過程如下： ①復習約數和概念，然后讓學生依次寫出1～20各數的約數。(請注意：課本上不是按規(guī)律出示1～20各數的，而是隨意出出示了幾個數，這似乎不利于學生進行對知識的“建構”) ②仔細觀察1～20各數的約數的特點，將它們進行分類。只有一個約數的數有：1；只有兩個約數的數有：2、3、5、7、11、13、17、19；有兩個以上約數的數有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。(培養(yǎng)學生分類、歸納和綜合能力) ③請同學們發(fā)揮自己的想象，開動腦筋，幫其中的兩組數各取一個名字。(滿足學生“創(chuàng)造”的欲望) ④教師在此基礎上歸結總結出：什么是質數、什么是合數，接著又引導學生對自然數進行分類(分為1、質數和合數)。(由于學生通過自己的親身研究，積累了豐富的有關質數與合數的感性材料，因此抽象和概括出相關的數學概念可以說是水到渠成。) ⑤辨析練習：分辨一組數中哪些是質數，哪些是合數 。(即時鞏固很有必要) ⑥再次共探，引導學生嘗試制作100以內的質數表。學生拿出教師課前印發(fā)的1～100自然數表，引導學生按要求劃去2、3、5、7的倍數，但要保留它本身，看看剩下的數是些什么數？再簡單介紹了“篩法”的由來(它是公元前三年左右由著名數學家 埃拉托色提出的，也稱為埃拉托色篩法)。(這一段教學，再次引發(fā)了學生的探究興趣，使學生感受到數學奇妙無比) ⑦把共同探究延伸到課外。請同學們以小組為單位，共同探究制作出200、500或1000以內數的質數表，并總結制作方法，稍后，將給表現出色的小組予以表揚，將以表現優(yōu)異的同學的名字來命名為“××法”。 在日常教學中，我們每個數學老應當經常捫心自問：我的數學教學（從內容到形式，從手段到方法）是從兒童已有的生活經驗出發(fā)的嗎？ 只有這樣，才能逐步做到了“以學生為主體”“以學生的發(fā)展為本”！ （本文曾發(fā)表于《教研參考》，略有改動。） |
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