1.任何一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。如正數(shù)a的算術(shù)平方根是  ，則a的另一個(gè)平方根為﹣  ；最簡(jiǎn)形式中被開方數(shù)不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即  ；

3. 負(fù)數(shù)的平方根也有兩個(gè)，它們是共軛的。如負(fù)數(shù)a的平方根是  。

4. 有理化根式：如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化根式，也稱互為有理化因式。

5. 無理數(shù)可用連分?jǐn)?shù)形式表示，如:  。

6. 當(dāng)a≥0時(shí)，  ；  與  中a取值范圍是整個(gè)復(fù)平面。

7.  任何一個(gè)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式；利用此性質(zhì)可以進(jìn)行因式分解。

8. 逆用可將根號(hào)外的非負(fù)因式移到括號(hào)內(nèi)，如 （a>0） ，  （a<0），  ﹙a≥0﹚ ，  （a<0）。

9.注意：  ，然后根據(jù)絕對(duì)值的運(yùn)算去除絕對(duì)值符號(hào)。

10.具有雙重非負(fù)性，即不僅a≥0而且  ≥0。

擴(kuò)展資料：

二次根式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：

（1）利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規(guī)律探索性問題；

（2）利用二次根式解決長(zhǎng)度、高度計(jì)算問題，根據(jù)已知量，求出一些長(zhǎng)度或高度，或設(shè)計(jì)省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個(gè)過程需要用到二次根式的計(jì)算，其實(shí)就是化簡(jiǎn)求值。

定義

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根。a可以是具體的數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式。

即：若  ，則  叫做a的平方根，記作x=  。其中a叫被開方數(shù)。其中正的平方根被稱為算術(shù)平方根。

關(guān)于二次根式概念，應(yīng)注意：

被開方數(shù)可以是數(shù) ，也可以是代數(shù)式。被開方數(shù)為正或0的，其平方根為實(shí)數(shù)；被開方數(shù)為負(fù)的，其平方根為虛數(shù)。

最簡(jiǎn)二次根式

最簡(jiǎn)二次根式條件：

1.被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；

2.被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。

二次根式化簡(jiǎn)一般步驟：

1.把帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)；

2.把開方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解因式；

3.把根號(hào)內(nèi)能開得盡方的因式或因數(shù)移到根號(hào)外；

4.化去根號(hào)內(nèi)的分母，或化去分母中的根號(hào)；

5.約分。 

算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)  的平方根統(tǒng)稱為算術(shù)平方根，用  （a≥0）來表示。

負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根為0。

2018-03-02

同類二次根式

定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同。這樣的二次根式叫做同類二次根式。

性質(zhì)：一個(gè)二次根式不能叫同類二次根式，至少兩個(gè)二次根式才有可能稱為同類二次根式?！疽袛鄮讉€(gè)根式是不是同類二次根式，須先化簡(jiǎn)，把非最簡(jiǎn)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后判斷。】

例題   下列各式中，哪些是同類二次根式？

解析：

評(píng)析：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式的關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)

，化簡(jiǎn)后被開方數(shù)完全相同的二次根式才是同類二次根式．

二次根式計(jì)算的方法

2019-07-25

加減法

1、同類二次根式

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。 化簡(jiǎn)：根號(hào)12等于4的根號(hào)3

2.合并同類二次根式

把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。

3.二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并。

例如：（1）

（2）

乘除法

二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變，再把結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式。

1、乘法運(yùn)算

用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。

推廣

（a≥0，b≥0）

2、除法運(yùn)算

用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算術(shù)平方根。

擴(kuò)展資料：

運(yùn)算方法

1、確定運(yùn)算順序。

2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律。

3、正確使用乘法公式。

4、多數(shù)分母有理化要及時(shí)。

5、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化（但最后結(jié)果必須是分母有理化的）。

6、字母運(yùn)算時(shí)注意隱含條件和末尾括號(hào)的注明。

7、提公因式時(shí)可以考慮提帶根號(hào)的公因式。

怎樣運(yùn)算二次根式

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1.二次根式的加減運(yùn)算：
先把式子中各項(xiàng)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再參照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算，去括號(hào)與合并同類二次根式。
2.二次根式的乘法：
（1）法則：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）
（2）類型：
（i）單項(xiàng)二次根式乘以單項(xiàng)二次根式；
（ii）單項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式；
（iii）多項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式
在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，有時(shí)可以應(yīng)用乘法公式，使計(jì)算簡(jiǎn)便。
3.二次根式的除法：
（1）法則：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）

（2）類型：
（i）單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式（應(yīng)用運(yùn)算法則計(jì)算）
（ii）多項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式（轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式）
（iii）除數(shù)是二個(gè)二次根式的和或是一個(gè)二次根式與一個(gè)有理數(shù)的和（把分母有理化進(jìn)行運(yùn)算，或與分式的運(yùn)算類比思考，約去分子，分母中的公因式）。

2007-07-23

二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法

　　二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法：

　?、傧葘⑹街械亩胃竭m當(dāng)化簡(jiǎn)

　?、诙胃降某朔梢詤⒄斩囗?xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 （ ， ）

　?、蹖?duì)于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算．

　?、芏胃降募訙p法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng)．

　　⑤運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式．

　　化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法

　　二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍的效果，下面通過具體的實(shí)例進(jìn)行分類解析．