如果你在合肥淮河路步行街上隨機(jī)采訪一些年輕的小哥哥小姐姐，問他們印象里最深刻的數(shù)學(xué)定理是什么？曉然菌相信，有相當(dāng)一部分人會回答是勾股定理。

什么是勾股定理？簡而言之就是，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。用數(shù)學(xué)語言來表示就是：

說起勾股定理，那可真是串起了遙遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)發(fā)展史。中國的數(shù)學(xué)啟蒙很早很早，中國的上古數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載了周公與商高的這樣一段對話：

“以為勾的廣三，股修四，徑隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩?！?/p>

翻譯一下就是，邊長分別是3,4的直角三角形，那么斜邊長就是5。這也是“勾三股四弦五”的最早由來。不過雖然中國人發(fā)現(xiàn)這組最小的勾股數(shù)時(shí)間很早，但是針對于這個定理本身的證明卻要遲的多。一直到魏晉時(shí)期，我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽才在《九章算術(shù)注》里給出詳盡證明。后世的中國數(shù)學(xué)家也有不少研究過這個定理，并且給出了不少相當(dāng)明了的證明，下面我們來看下東漢數(shù)學(xué)家趙爽的證明方法。

值得一提的是2002年在北京舉行的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會，這是數(shù)學(xué)界最高級別的會議，在會上就頒發(fā)4年一度的數(shù)學(xué)界最高獎——菲爾茲獎，那一屆大會的會標(biāo)就是趙爽的弦圖。

勾股定理如此熱鬧，吸引著各行各業(yè)對數(shù)學(xué)有高度興趣的人士來參與，甚至美國總統(tǒng)也來湊熱鬧。

加菲爾德，美國第20任總統(tǒng)，用梯形面積來證明勾股定理，簡約而不簡單。我們來欣賞一下總統(tǒng)的大作吧。

事實(shí)上，直到今天，人們已經(jīng)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了400多種證法。證明的思路包羅萬象，仿佛你從任意一個數(shù)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)都有可能抵達(dá)證明的終點(diǎn)。不過在這里，可千萬不要用三角函數(shù)的方式來證明。這是絕對錯誤的，為什么呢？因?yàn)槿呛瘮?shù)就是從勾股定理推導(dǎo)出來，如果用結(jié)論去證明一個過程，那不就是典型的循環(huán)論證了么，因此可千萬要避免。

如此精彩的一個定理，肯定不會只是一個文明的發(fā)現(xiàn)。勾股定理在東方和西方的文明中都留下了記載。

說到西方古文明，那么古希臘首屈一指，尤其是在數(shù)學(xué)上的成就，是后人們很久都難以企及的。在西方世界，誰最先發(fā)現(xiàn)了這個定理已經(jīng)無法考證，但是現(xiàn)在我們一般都把這個定理的發(fā)明歸于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，所以西方社會也把勾股定理稱作畢達(dá)哥拉斯定理。這是一個由畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，在這個學(xué)派里，他們多是自然科學(xué)家，把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個組成部分，他們認(rèn)為整數(shù)是描述整個世界的語言。因?yàn)閷?shù)字的極度癡迷，畢達(dá)哥拉斯也研究了很多種數(shù)字，比如素?cái)?shù)，完全數(shù)，三角形數(shù)等等。

據(jù)說當(dāng)年，因?yàn)閼c祝畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，整個學(xué)派殺了一百頭牛來慶祝這個成果的誕生。因此歷史上又稱這個定理為百牛定理。足見當(dāng)時(shí)的學(xué)派人士是多么心思若狂。不過在這里，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派真是成也定理，敗也定理。這是怎么回事呢？

勾股定理的表達(dá)式很簡單，就是兩個數(shù)的平方和等于另外一個數(shù)的平方。如果這三個數(shù)都是整數(shù)那自然是很好了，但是直角三角形并不總是三條邊都是整數(shù)，那遇到一個沒辦法開完根號的邊長，又該如何表示呢？比如兩條直角邊都是1，斜邊長是多少。這不就是根號2么，但是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平對于數(shù)字的研究僅限于整數(shù)和小數(shù)，諸如根號幾這一類沒法開完根號的數(shù)字，他們是難以理解的，或者說是難以接受的。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不愧是對數(shù)字崇拜到了極點(diǎn)，在“萬物皆數(shù)”的引導(dǎo)下， 他們固執(zhí)地認(rèn)為，所有的數(shù)字都可以表示成兩個整數(shù)的比。一直都相干無事，大家也都相信這樣的真理。然而，在一片祥和寧靜的世界里總要有人來打破，并且創(chuàng)造出一些新的東西來。

大約在公元前500年左右，同樣是學(xué)院派人士的希帕索斯，這位同志就由畢達(dá)哥拉斯定理推論出一個問題來：直角邊是1的等腰直角三角形的斜邊長度是多少，貌似不能表示出來。咱們學(xué)派不是說所有的數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)之比么？可是這個根號2怎么辦呢？好像就是不可以啊。希帕索斯并不是一個有太多成就的數(shù)學(xué)家，我們現(xiàn)在用反證法很容易證明出根號2不是任何整數(shù)之比，但是他的這個疑問卻難倒了當(dāng)時(shí)的很多人。他把疑問傳達(dá)給學(xué)派的同學(xué)們，同學(xué)們面面相覷，雖有疑問卻都不能圓滿解決。這可怎么辦？凡是畢老師堅(jiān)持的我們都認(rèn)為是真理，凡是畢老師堅(jiān)持的信仰我們都要毫不猶豫地去維護(hù)。好吧，那就只有犧牲你了，希帕索斯同學(xué)。

在很久以前總有一幫愚昧的人，問題解決不了，那就解決提出問題的人。就這樣希帕索斯被同學(xué)們丟入大海溺亡，當(dāng)然這種事情是不可以在光天化日之下進(jìn)行的。偷偷地做了，就這樣，希帕索斯應(yīng)該是第一個為數(shù)學(xué)而犧牲的人了。人是沒了，但是流言卻四起，學(xué)派的信仰也發(fā)生了動搖，甚至在學(xué)院內(nèi)部也禁止傳播發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的行為。不過真理的發(fā)展就像車輪一樣，總會不斷向前，靠強(qiáng)制手段和高壓政策是絕對不可能把真理完全封閉起來的。

由希帕索斯發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起軒然大波，這也被稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，而勾股定理的發(fā)現(xiàn)是這次危機(jī)的直接導(dǎo)火索事件。人們也開始意識到，數(shù)學(xué)的海洋實(shí)在太廣了，用哲學(xué)來解釋數(shù)學(xué)根本就是天方夜譚，數(shù)學(xué)只相信客觀事實(shí)和理性思維，在這里，一切多美妙和諧的所謂信仰都要經(jīng)過這兩種考驗(yàn)，才能安然地與數(shù)學(xué)融合起來。像遠(yuǎn)古時(shí)代的畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，用現(xiàn)代人的眼光來看，實(shí)在太有民科氣質(zhì)了。

很多人在曉然菌文章下面都喜歡評論：你天天都說哥德巴赫猜想，黎曼猜想這些問題，這些問題就算解決了有什么用？那就再回答一次吧，因?yàn)楹猛姘?。我們再次回到勾股定理的問題來，這里是兩個數(shù)字的平方和等于另外一個數(shù)字的平方，我們都知道滿足這樣條件的勾股數(shù)有無數(shù)組。那我們稍微改變一形式，兩個數(shù)字的立方和等于另外一個數(shù)字的立方。請問這樣的整數(shù)組有多少個呢？這里簡單把2次方改成3次方，在奧數(shù)題目中經(jīng)常遇到這種伎倆，最后都會用一種巧妙的方法來解決，這里的小改動是否也有小伎倆來解決呢？答案是沒有，這是一個亙古的難題。

許多同學(xué)已經(jīng)知道了，這就是著名的費(fèi)馬大定理，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道這是沒有整數(shù)解的。

大約1637年，費(fèi)馬同志提出了這個猜想，當(dāng)然他不是根據(jù)勾股定理來推出這個猜想的，但是這兩個問題的數(shù)學(xué)表達(dá)方式如此相似，好像同胞兄弟一般，吸引著無數(shù)大師的研究熱情。

其實(shí)當(dāng)年費(fèi)馬提出的可不僅是只有3次方，而是3次，以及3次以上都是沒有整數(shù)解的。在那個沒有后來懷爾斯用到的橢圓曲線，模函數(shù)的年代，只能采用最常規(guī)的辦法，先從最小的3開始，看看能否用數(shù)學(xué)歸納法推廣到全體整數(shù)。這種常規(guī)思維容易讓人想到，那就開始做吧。

可是沒想到，這個看似只是一個奧賽題難度的小問題，在最初的130多年里毫無進(jìn)展。1770年，歐拉才出手證明了n=3的情況。在300多年的證明過程中，柯西，拉梅，庫默爾，熱爾曼等大師級專家獻(xiàn)身其中，不斷取得進(jìn)步。

1637年，費(fèi)馬在書本空白處提出費(fèi)馬猜想。

1770年，歐拉證明n=3時(shí)定理成立

1823年，勒讓德證明n=5時(shí)定理成立。

1832年，狄利克雷試圖證明n=7失敗，但證明 n=14時(shí)定理成立。

1839年，拉梅證明n=7時(shí)定理成立。

1850年，庫默爾證明2<n<100時(shí)除37、59、67三數(shù)外定理成立。

1955年，范迪維爾以電腦計(jì)算證明了 2<n<4002時(shí)定理成立。

1976年，瓦格斯塔夫以電腦計(jì)算證明 2<n<125000時(shí)定理成立。

1985年，羅瑟以電腦計(jì)算證明2<n<41000000時(shí)定理成立。

1987年，格朗維爾以電腦計(jì)算證明了 2<n<101800000時(shí)定理成立。

1995年，懷爾斯證明 n>2時(shí)定理成立。

費(fèi)馬大定理這段接力起伏的攻堅(jiān)過程堪稱是一部浩瀚精彩的大戲，一直到1993年，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯宣布徹底證明費(fèi)馬大定理，并在1995年經(jīng)過驗(yàn)證。人們歷經(jīng)358年，這一偉大的問題才真正成為了定理。

小小的勾股定理是數(shù)學(xué)史上第一個數(shù)與形結(jié)合的定理，我們很難再找到一個如此經(jīng)典的數(shù)學(xué)命題了，有著如此新穎的爆發(fā)力。其實(shí)到了今天勾股定理的新證明仍然在出現(xiàn)，并且是以各種不同的角度來證明的，實(shí)在讓人感到意外。如果你有足夠創(chuàng)意，你可以。