轉化思想是常用的數(shù)學思想方法之一，它包括生疏問題熟悉化、復雜問題簡單化、未知問題已知化、實際問題數(shù)學化等，還包括數(shù)與形的相互轉化、斜與直的相互轉化、邊與角的相互轉化、函數(shù)與方程的相互轉化等.可以說，轉化在數(shù)學中無處不在，沒有轉化，就沒有數(shù)學.

本文擬以一類看似等腰三角形的存在性問題為例，通過導角，轉化為其他存在性問題，以體現(xiàn)轉化在數(shù)學中的重要作用，增強學生分析與解決問題的能力與手段，提升解題技能.

一、例題呈現(xiàn)

例1.如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，P是邊BC上的一動點（P與B、C不重合），過點A作AQ⊥AP，交CD的延長線于點Q，交AD于點E，若BP＝x，CQ＝y(tǒng).

（1）試寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）當x為何值時，△APE為等腰三角形？  

 一題一思：本題第（1）問識別相似，利用比例式列出方程，得到函數(shù)關系式；也可采取“見直角，造一線三直角”策略，如圖5，構造Rt△ABP∽Rt△QGA，事實上Rt△QGA ≌Rt△ADQ，它們是“一伙的”.

第（2）問看似等腰三角形的存在性問題，這里以角為分類標準，第①類轉化為中點問題，結合“平行線分線段成比例公理”瞬秒；第②類轉化為相似問題，借助比例列方程；第③類轉化為全等問題，利用勾股定理列方程.由此可見，等腰三角形僅僅是個華麗的外表，透過表象看本質(zhì)，通過導角轉化，這類問題可轉化為其他存在性問題.轉化與化歸思想是解決很多數(shù)學問題的重要工具，需靈活使用.

一題一思：本題表面看上去是一個等腰三角形存在性問題，但通過導角轉化，第①類變?yōu)榻谴嬖趩栴}，巧施正切來處理；第②類變?yōu)榻瞧椒志€的存在性問題，巧作雙垂來解題；第③類變?yōu)榈妊鱋CE的存在性問題，借助“三線合一”巧施比.真可謂“問山不是山，轉化妙無窮”；

“先定性分析，后定量計算”是解決此類問題的上乘之法.所謂“定性分析”，即為“導角轉化”；所謂“定量計算”，即為“導邊列式”.解題時，莫要著急求邊長，可以先從角的角度進行分析，看看能不能轉化成其他常規(guī)問題.

一題一思：上述三種情形，解法一脈相承，都是狠抓不變角，巧施三角比，設邊長，寫坐標，代入簡析式，順利解題.

本題看似等腰三角形的存在性問題，但通過導角轉化，演變?yōu)楸硎军c坐標問題.事實上，轉化的力量遠不止如此，第③種情形還可演變?yōu)榻堑拇嬖谛詥栴}：

另外，借助相似轉化，本題還有以下更為出彩的演變：

如圖15，延長AD交x軸于點P，易知△ABD∽△POA，要使△ABD為等腰三角形，只需△POA為等腰三角形，“雙動點”立馬變?yōu)椤皢蝿狱c”，動點個數(shù)減少，問題必然簡化，只要求出點P的坐標，利用直線AP與雙曲線聯(lián)立，即可求得交點D的坐標，下略.

轉化何其妙！看似等腰三角形的存在性問題，可以轉化為其他存在性問題，也可以轉化為其他等腰三角形的存在性問題.

結合上述第①類的解答過程，筆者還想到了反比例函數(shù)的圖像中一個有趣的小結論：

這又是聯(lián)想的力量！數(shù)學何其美妙，只要思考，處處存精彩！

例4.如圖17，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.點P在線段CB上，以1cm/s的速度從點C向點B運動，連接AP，作PD⊥AP交AB于點D，設運動時間為t.

（1）當t為何值時，△PDB是等腰三角形；

（2）在整個運動過程中，求點D運動的路徑長.

一題一思：這里的第（1）問看似等腰三角形的存在性問題，若能從角的角度，先作定性分析，立知只有一種情形，根本無需分類.等腰三角形僅僅是一個幌子，只是提供了導角轉移的條件.但現(xiàn)實中，多數(shù)學生的第一反應是分類，還想表示三邊，結果只能無功而返.

第（2）問，雖與本文關聯(lián)不大，但也是不可多得的好問題.“見直角，取中點”，識別“SSA”本質(zhì)，利用“斜大于直”，列不等式，求最值，從而順利解題.

例5.如圖19，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，作PE⊥PB，交射線DC于點E.當△PCE為等腰三角形時，求AP的長.

一題一思：看似等腰三角形的存在性問題，這里因射線DC導致分兩類的等腰三角形均為鈍角三角形，卻都只有一種可能性，“等腰”依然是個幌子，僅提供了導角轉化的依據(jù).這就是所謂定性分析，它可以大大減少思維成本，簡化思考過程，真可謂“情況不明，導角先行”.

例6.如圖22，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，P是弧AB上一點（異于A、B），作PH⊥OA于點H，G為△OPH的重心.當△PGH為等腰三角形時，求PH的長.

一題一思：這是一道有關重心的圓中等腰三角形存在性問題，先行導角，可排除一種可能，而剩下的兩種情形中，第①類口算，第②類則結合方程思想進行求解.

例7.如圖24，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，點E在射線DC上，把△ADE沿AE折疊，點D的對應點為F，連接CF、DF.當△CDF為等腰三角形時，求DE的長.

簡析：（1）由折疊易知AF＝AD＝3，故點F在以A為圓心，以3為半徑的⊙A上運動（事實上，點F在一個半圓上運動）；

當△CDF為等腰三角形時，點F必在所謂“兩圓一線”上運動，即分別以點C、D為圓心，以CD為半徑的兩個圓以及CD的垂直平分線；

如圖25，利用⊙A與所謂的“兩圓一線”找交點，即可找到符合條件的點F共有四個；

下面逐一畫圖、求解：

一題一思：對于這樣的“兩定一動”型等腰三角形存在性問題，可利用所謂“兩圓一線”作圖法，先找到需要的點，然后分類計算，方能“不重不漏”.這也是一種重要的軌跡意識，即所謂的“交軌法”.

從上述的解答過程，可以看出：本題看似等腰三角形的存在性問題，但它僅僅是一個導角工具，四種情形基本都是利用導角進行轉化，借助比例實現(xiàn)口算.

例8.如圖30，已知直線l經(jīng)過點A(4,0)和點B(0,4)，P是x軸上一動點，連接PB，將線段PB繞點P順時針旋轉45°得到線段PC，直線PC與直線AB交于點Q.在點P運動的過程中，是否存在某一位置，使△PBQ為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

簡析：（1）畫圖分析，可知：當點P位于點A的左側時，△PBQ中始終有內(nèi)角∠BPQ＝45°，要使△PBQ為等腰三角形，45°可能為其底角，此時必為等腰直角三角形；45°也可能為其頂角，則另外的兩個底角均為67.5°；

當點P位于點A右側時，△PBQ中始終有內(nèi)角∠BPQ＝135°，要使△PBQ為等腰三角形，135°只能為其頂角，另外的兩個底角為22.5°；

據(jù)此，本題分以下四種情形依次求解：

一題一思：本題主要難在畫圖，是否能夠通過畫圖找到滿足條件的所有情形，是解題的關鍵，因此利用鉛筆、直尺、橡皮多畫圖、多感知，是解決此類動態(tài)難題的金鑰匙.拿這題舉例，通過畫圖，才能感知到“當點P位于點A的左側時，目標△PBQ始終含45°不變角，進而以45°角為底角或頂角，繼續(xù)畫圖找尋符合條件的三種情形；當點P位于點A的右側時，目標△PBQ始終含135°不變角，進而135°角只能作為頂角，繼續(xù)畫圖找尋最后那唯一的情形”.畫圖意識、分類思想是兩大法寶，需認真體會、感悟.

當然，本題一旦通過畫圖分類，找到了四種情形，接下來也僅僅需要導角轉化，基本都可以實現(xiàn)口算.由此可見，看似等腰三角形的存在性問題，難在畫圖，重在導角啊！

一題一思：本題難度較大，區(qū)分度大，思維量高，需要具備足夠的分析能力.

第（2）問考查了平移變換.抓住等角，導角轉化，巧施比例，即可獲解；另外，圖形的任何變換（平移、翻折、旋轉以及位似等），本質(zhì)都是點的變換——“集體行動，步調(diào)一致”.因此，這里只利用了點F的平移便求出了平移距離.

第（3）問難在畫出各種旋轉后符合題意的圖形，若采取常規(guī)解法，逐一畫圖解決，難以找全、找準.上述解法有兩大亮點：一是相似轉化策略，即導角轉移，將目標△DPQ轉化為△QA′B； 二是相對運動策略，即動靜互化，原來旋轉的△ABF保持不動，而原來靜止的直線BD轉起來.結合這兩大策略，原本難以尋找的等腰三角形變成了熟知的“兩定一動”型等腰三角形存在性問題，借助“兩圓一線”法畫出圖形，問題也就變?yōu)榱恕凹埨匣ⅰ?

此外，本題中還有一個重要的策略需引起關注，那就是“不斷地給問題換馬甲”，即重新包裝問題，不斷地對問題進行“翻譯”，逐步演變?yōu)榕c之等價的新問題，以至于最終成為常規(guī)問題，這種核心結構的識別、提取與翻譯，是解決難題尤其是動態(tài)難題的一大絕招.

關于“相似轉化”以及“相對運動”，筆者還聯(lián)想到了下面兩道中考真題：

一題一思：旋轉的本質(zhì)是圖形上的每一個點繞旋轉中心在同心圓上作同步運動，故而旋轉出隱圓.最后一問，這里給出了兩種解法，孰優(yōu)孰劣，一比見高下.

在常規(guī)解法中，首先作出點D所在的軌跡圓⊙A，而DE始終為⊙A的切線且DE＝3，要使△KDE的面積取最值，只要使DE邊上的高取得最值，其嚴格的推理過程如下：

而“相對運動”的非常規(guī)解法，讓人眼前一亮，簡直嘆為觀止.“敵不動我動”，“山不轉水轉”，整個世界都是運動的，所有運動都是相對的.在解題中，若能巧施“相對運動”策略，尤其是在復雜的動態(tài)問題中，譬如多元素在動或多個動點在動，變動為靜，化靜為動，或許就能收到奇效，以至于化繁為簡，化難為易.總之，這是一種重要的解題策略，需引起重視與關注.

“金豬報喜”，“十全十美”，再舉一道2019年中考真題：

一題一思：看似一個普通的等腰三角形存在性問題，但因為涉及直線相交，導致分類復雜，本題首先難在分類畫圖上，這需要學生耐住性子，認真畫圖，圖形越準確，分析越有利，在鉛筆畫圖中，逐步接近目標，慢慢調(diào)整圖形，才有可能找到全部四種情形.

“點D在直線CB上”，第一反應就是分類，至少分三大類，即①點D在CB的延長線上；②點D在CB上；③點D在BC的延長線上.每種情形下，只要能認真規(guī)范畫圖，就會立即意識到，這里的等腰△DFG總是一個鈍角三角形，這樣就不會因為“等腰問題”導致二次分類，故而沒有想象中的那么復雜.

另外，本題第四種情形，等腰△DFG的頂點F跑到了直線BC的下方，這種情形特別容易丟掉，無論是命題人，還是解題人，不靠幾何畫板等數(shù)學工具，也是難以發(fā)現(xiàn)的，正如一位浙江的老師說，這是人腦與電腦之間的PK（浙江酈秀麗老師）.

真正在每種情形下認真分析題意后，還會發(fā)現(xiàn)這個等腰“不等腰”，也就是說，這里的等腰三角形僅僅是個“幌子”，它只是提供兩條腰長相等而已，每種情形下，都是抓住不變角，巧設邊長，導邊導比，最后利用基本相似型，或A字型或8字型，列出方程，進而得解.換言之，這是一道“假等腰”問題，本質(zhì)考的卻是相似計算.

更要人命的是，即便想到了正確的思路，本題的計算量也忒大了.答案擺在那，不管用什么方法，計算量是少不得的，這在有限的考場上，實屬一個難以下咽的硬骨頭.筆者建議學生，能拿幾分是幾分，切勿好高騖遠，急于求成，而應穩(wěn)定情緒，戒驕戒躁，把自己能想到的情形考慮到，把自己能夠計算的結果算出來，足矣！

若是畫圖能力不夠，但是有超強的計算能力，本題還可以采取“暴力計算”：

理論上，上述代數(shù)解法行得通，但計算量實在讓人無語，即便這里采取了一定的巧設處理，仍寧可放棄，不做“冤大頭”，考場上應將節(jié)省下來的時間投入到前面的作答中.

中考里，請切記：“不要盲目地迎難而上，而應從容地繞道而行”！這樣的答題策略會讓你得高分，雖然不是滿分；反過來，一味地想追求滿分，到頭來可能頭破血流拿低分，得不償失！

轉化多奇妙！看似等腰三角形的存在性問題，可以轉化為角問題、角平分線問題、全等問題、相似問題或其他等腰三角形的存在性問題等；反過來，看似其他類存在性問題，也可能會轉化為等腰三角形問題.

上述很多問題的解決都得益于導角分析與相似轉化.為體現(xiàn)這兩點的重要性，筆者最后提供一道課堂上與之相關的好題，以期達到拋磚引玉之效：

一題一思：第（1）問，重在兩個基本相似形的識別，即斜A字形與母子型相似，然后導邊，利用比例進行轉化；

（2）看似相似三角形的存在性問題，這里先定性分析，推導角的大小關系，排除多種可能，最后聚焦為唯一的情形，竟轉化為了等腰問題，再次讓人感嘆轉化的神奇與美妙.

以上十道例題與三道引例，讓筆者感嘆如下的解題經(jīng)驗：遇到難題，情況不明，導角先行，即所謂“先定性分析，后定量計算”.看似等腰三角形的問題，通過導角轉化，可變?yōu)槠渌悊栴}；看似其他類問題，借助導角分析，又可能變?yōu)榈妊切螁栴}.總而言之，轉化妙無窮，導角力無邊！

 看似本文結尾了，卻又何嘗不是新的開始，愿新年里，大家齊飛！