ONE

問題引入

解法分析：對于等腰三角形的存在性問題，利用“兩圓一線”找交點，①已知邊為腰時，以已知邊的兩端點為圓心，已知邊為半徑畫圓找交點；②已知邊為底時，利用尺規(guī)作圖法作出已知邊的垂直平分線進(jìn)而找交點。

對于平面直角坐標(biāo)系中的等腰三角形存在性問題，有以下幾種做法：①如果點落在坐標(biāo)軸上，可以直接利用“等腰三角形的三線合一”或“兩邊”相等的性質(zhì)，直接求點的坐標(biāo)；②如果已知兩定點，還有一動點在直線上，則設(shè)出動點坐標(biāo)，再利用距離公式，分類討論。

③如果動點在拋物線上或動點個數(shù)不止一個，則不建議利用距離公式，這樣計算過程繁瑣且容易出現(xiàn)高次方程，可以利用圖中的相似三角形或其他圖形的特點進(jìn)行解決。

解法分析：對于直角三角形的存在性問題，利用“兩圓一線”找交點，①已知邊為直角邊時，分別過邊的兩段點作邊的垂線找點；②已知邊為斜邊，作以斜邊為直徑的圓找點（直徑所對的圓周角是直角）。對于平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形存在性問題，有以下幾種做法：①如果動點在直線上，則可以利用距離公式和勾股定理求解；

②如果動點落在拋物線上，則可以構(gòu)造“一線三直角模型”或利用“射影定理”求解。

two

例題講解

解法分析：本題的第(1)問是直角三角形的存在性問題，由于點N是拋物線上的一動點，因此可以通過構(gòu)造“一線三直角模型”進(jìn)行求解，此時以點C和點B為直角頂點進(jìn)行分類討論。

解法分析：本題的第(2)問是等腰三角形的存在性。由于點M在對稱軸上，因此可以利用距離公式解決。同時進(jìn)行分類討論，即BC=BM，BC=CM，BM=CM三種情況。

解法分析：本題的第三問是等腰直角三角形的存在性問題。既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。對于等腰直角三角形的存在性問題，要充分發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的45°角，一般利用對稱性或兩腰相等來求點的坐標(biāo)。

解法分析：本題是等腰三角形的存在性問題。需要分類討論，由于點P和點Q都是動點，且∠MPQ=45°，因此不能用距離公式計算。可以尋找圖中隱含的45°角，利用相似三角形或其他的等量關(guān)系求點的坐標(biāo)。

three

真題鏈接

2022虹口二模24題第(3)問

解法分析：本題的第二問是等腰直角三角形的存在性問題。需要分類討論，即∠MEN或∠EMN=90°兩種情況。觀察到∠BCO=45°，借助圖像特征，得到▲EMN的一邊垂直或平行y軸，再利用對稱性求出點的坐標(biāo)。

2021上海中考24題

解法分析：本題本題的背景是一次函數(shù)+二次函數(shù)+等腰直角三角形，且二次函數(shù)的對稱軸是直線x=0。第一問是常規(guī)的解析式的求法，毫無難度；第二問分了2個小問，問題的關(guān)鍵是A在直線PQ上，且AB⊥x軸，并且以AB為斜邊向左作等腰直角三角形，這是往年中考題中都不曾有的，這樣的應(yīng)用比較新穎。不論A是否與Q重合，關(guān)鍵都是利用等腰直角三角形的性質(zhì)，用A的坐標(biāo)表示C的坐標(biāo)。第二問的第①問為特殊點，用具體數(shù)字表示C點坐標(biāo)，比較簡單；第二問的第②問，需要根據(jù)A在直線PQ上，設(shè)出A點坐標(biāo)，再利用字母系數(shù)表示C點的坐標(biāo)，再將C點坐標(biāo)代入拋物線中，繼而求出點C坐標(biāo)。

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