（2021·郴州）如圖1，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．
（1）證明：；
（2）如圖2，連接，，交于點(diǎn)．
①證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，總有；
②若，當(dāng)的長度為多少時(shí)為等腰三角形？

【分析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到邊角等量關(guān)系，再根據(jù)SAS證明全等即可。

（2）①由圖2可以發(fā)現(xiàn)△AEH≌△AFG，由于∠HAG=90°，若要證明∠HFG=90°，只需得到四邊形AHFG對(duì)角互補(bǔ)即可。

由于全等可以得到∠AHE=∠AGF，結(jié)論易得。

②當(dāng)△AGQ為等腰三角形時(shí)，需要進(jìn)行分類討論。需要分3種情況，但是由于點(diǎn)H在線段EF上運(yùn)動(dòng)，且不與點(diǎn)E、F重合，那么只需分為兩種情況討論即可。

即類型一：當(dāng)AQ=GQ時(shí)，∠AQG=90°。

還有類型二：當(dāng)AG=GQ時(shí)，∠GAQ=∠GQA=75°。

【答案】（1）證明：如圖1，

由旋轉(zhuǎn)得：，，
，
，
，
；
（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形中，，

，
點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，，
，，，
，，
，
，
；
②分兩種情況：
如圖3，時(shí)，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
當(dāng)的長度為時(shí)，為等腰三角形；
如圖4，當(dāng)時(shí)，，

，，
，
，
當(dāng)的長度為2時(shí)，為等腰三角形；
綜上，當(dāng)的長度為或2時(shí)，為等腰三角形．