我們?cè)诮獯鹣嗨频牧?xí)題時(shí)，往往會(huì)遇到要證的問(wèn)題與相似三角形聯(lián)系不上或者說(shuō)圖中根本不存在相似三角形的情況，這時(shí)'作平行線構(gòu)造相似三角形”是解決這類(lèi)幾何證明題的一種重要的方法.常見(jiàn)的情況有:(1)由比例式作平行線;(2)有中點(diǎn)時(shí)，作中位線;(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形.

技巧一.巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形

1.如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q.求BP:PQ:QD.

【分析】條件，D是AC的中點(diǎn)，E、F是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以連接D，F(xiàn)兩點(diǎn)，一方面，DF是△AEC的中位線，另一方面，得到△APQ∽△FDQ，所以DF這條輔助線很重要，同時(shí)我們看到PE是△BFD的中位線，則DF=2PE，AE=2DF，線段PE，AE在同一條線上，又通過(guò)DF聯(lián)系起來(lái)，則AE=4PE，或設(shè)PE=K，則DF=2K，則AE=4K，AP=3K，∴AP/DF=PQ/QD=3K:2K=3:2，而PE是△BFD的中位線，∴BP=PQ+QD，∴BP:PQ:QD=5:3:2.如圖.

另外，由于E，F(xiàn)為邊BC的三等分點(diǎn)，想到平行線分線段成比例，所以過(guò)E，F(xiàn)分別作EM∥BD，交DC于M，F(xiàn)N∥BD，交DC于N，則BD∥EM∥FN，如圖

則，DM:MN:NC=1:1:1，由于D為AC的中點(diǎn)，∴QD:FN=AD:AN=3:5，PD:EM=AD:AM=3:4，而FN是△CME的中位線，EM=2FN，設(shè)FN=m，EM=2m，則QD=3m/5，則PD=3m/2，PQ=PD一QD=3m/2一3m/5=9m/10，而B(niǎo)D:FN=DC:NC=3，則BD=3m，∴BP=BD一PD=3m一3m/2=3m/2，∴BP:PQ:QD=(3m/2):(9m/10):(3m/5)=5:3:2.

技巧二.過(guò)頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形

2.如圖，在△ABC中，AC=BC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BF:AF=3:2，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求BE/CE的值

【分析】BF:AF=3:2，與要求的BE/CE連不上關(guān)系，那么在不拆B(yǎng)E和CE的條件下，利用平行線進(jìn)行比的轉(zhuǎn)換，由于D為CF的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB交AE的延長(zhǎng)線于M，如圖

則可證△ADF≌△MDC，∴AF=CM，由于CM∥AB，∴BE/CE=AB/CM=AB/AF，∵BF:AF=3:2，所以AB:AF=5:2，∴BE/CE=5:2=5/2.

另，過(guò)F作FM∥BC，交AD于M，則可證△ADE≌△FDM，∴CE=MF，又BE/MF=AB/AF=5:2，∴BE:CE=5:2=5/2.

另，過(guò)B點(diǎn)作BM∥AE，交DF的延長(zhǎng)線于M，如圖

則BE/CE=MD/CD，而MF/DF=FB/AF=3/2，∴MF=3DF/2，設(shè)DF=CD=m，則MF=3m/2，∴MD=MF+DF=3m/2+m=5m/2，∴BE/CE=MD/CD=5m/2:m=5/2.

另，過(guò)A作AM∥BC，交DF的延長(zhǎng)線于M，如圖

則AM/CB=MD/CD，AM/CB=AF/FB=2/3=MF/CF，設(shè)MF=2m，則CF=3m，則CD=DF=1.5m，∴CB/CE=(MD×CF)/(CD×MF)=(DF+MF)×CF/CD×MF=(1.5m+2m)×3m/1.5m×2m=7/2，∴(CB一CE)/CE=(7一2)/2=5/2.

另，并不是BE線段不可拆，過(guò)點(diǎn)F作FM∥AE，交BC于M，如圖

則FB/AF=MB/EM=3/2，(MB+EM)/EM=(3+2)/2=5/2，由于D是CF的中點(diǎn)，∴CE=EM，而MB+EM=BE，∴BE/CE=5/2.

技巧三.過(guò)一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形

3.如圖，在△ABC中，AB>AC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使AD=AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，求證:BP/CP=BD/EC.

【分析】由于要證BP/CP=?，一般不破壞線段的情況下，可過(guò)C點(diǎn)作與BP鄰邊的平行線，再充分利用AD=AE這一條件，看能否證出.過(guò)C作CM∥AB交DP于M，如圖

則△BPD∽△CPM，∴BP/CP=BD/CM，而CM∥AB，∠1=∠2，又∠3=∠4，由于AD=AE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴EC=CM，∴BP/CP=BD/EC.同樣過(guò)C點(diǎn)作CM∥DP交AB于M，也可證出如圖，同學(xué)們自己證一下.

技巧四.過(guò)一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形

4.如圖，在△ABC中，M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=AB/4，連接EM并延長(zhǎng)交BC的線長(zhǎng)線于D，求證BC=2CD.

【分析】欲證BC=2CD，也即CD/BC=1/2，過(guò)C點(diǎn)作CF∥BE交ED于F，則△DCF∽△DEB，如圖

∴CD/BD=CF/BE，∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，易證△AEM≌△CFM，∴CF=AE=AB/4，∴CF=AE=BE/3，∴CD/BD=CF/BE=1/3，∴CD/BC=1/2，即BC=2CD.

另，過(guò)C點(diǎn)作CF∥DE交AB于F，如圖

【分析】由CF∥DE，可得BC/BD=BF/BE，而M為AC的中點(diǎn)，則可得AE=EF，又AE=AB/4，∴BC/BD=BF/BE=2/3，∴BC/(BD一BC)=2/(3一2)，即BC/CD=2，∴BC=2CD.

另，過(guò)E作EF∥BD交AC于F，如圖

【分析】由于EF∥BD，則可得EF/BC=AF/AC=AE/AB=1/4，而M為AC的中點(diǎn)，AF=FM，∴EF/CD=FM/CM=1/2，即EF=CD/2，由EF/BC=1/4，可得BC=2CD.

另，過(guò)A作AF∥BD交DE的延長(zhǎng)線于F，如圖

【分析】

∵AE=AB/4，∴AE/BE=1/3，由AF∥BD，可得AF/BD=AE/BE=1/3，而M是AC的中點(diǎn)，可證△AMF≌△CMD，∴AF=CD，∴CD/BD=1/3，則CD/BC=1/2，∴BC=2CD.

另，過(guò)A點(diǎn)作AF∥ED，交BD的延長(zhǎng)線F，

【分析】由于M為AC的中點(diǎn)，∴D為CF的中點(diǎn)，即CD=DF，又BE/AB=BD/BF=3/4，∴BD/(BF一BD)=3/(4一3)，即BD/DF=3，也就是BD/CD=3，則BC=2CD.

【總結(jié)】作平行線構(gòu)造相似三角形，是常用的方法，通過(guò)一題多解，體會(huì)輔助線的好處，以及怎樣作輔助線解題更簡(jiǎn)潔，同時(shí)體會(huì)有些比例關(guān)系不明朗時(shí)，可設(shè)未知數(shù)表示線段，使比例關(guān)系明朗，清晰.

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