折疊問題和存在性問題都是歷年中考的常見題型，也是考查多個知識點的綜合型試題，兩者一旦結(jié)合起來難度更大，因此此類綜合問題在考試中得分率較低，要想順利解決此類問題，往往需要以下的知識儲備：

1、折疊特征的認識；

2、直角特征的轉(zhuǎn)化——“斜直角結(jié)構(gòu)”；

3、依據(jù)特征分析轉(zhuǎn)化、作圖——分類討論；

4、特殊角、解直角三角形的能力需過關(guān).

以下是前兩個問題的進一步說明：

1. 折疊特征的認識

⑴折疊前后的圖形完全重合，是一種全等變換，通過折疊轉(zhuǎn)移邊，轉(zhuǎn)移角；

⑵對稱軸與對應點：①折疊前后的對應邊、對應角相等；②折痕（對稱軸）是對應點連線的垂直平分線，即折痕所在的直線就是折疊前后圖形的對稱軸，也是角的平分線.

⑶常見組合動作：

①設未知數(shù)、表示出其他的量，最終通過列方程來解決問題；

②矩形背景下通常折疊出等腰三角形（如下圖1中的△DEF和圖2中的△MAC）；

③二次折疊往往出現(xiàn)60°、90°角（如下圖3和圖4）；

④圓（如下圖5，點E是DC邊上的動點，把AD沿AE折疊，則D的對應點D＇就在以A為圓心，AD長為半徑的圓弧上）.

⑷①運動過程中，折痕過一個定點，則折疊后的對應點在圓上；

②運動過程中，折痕過兩個定點，以動點為頂點的角為90°，則動點在圓上.

2.斜直角結(jié)構(gòu)——“斜放置的直角放正”

上面的兩個圖中，若AB=BC，則△ABD≌△BCE；若AB≠BC，則△ABD∽△BCE.（這是一個很有用的模型，是“一線三等角”的一種特殊情況）

還有一種這樣的情況：

一般有兩種處理方法：一是過點D分別作DM⊥AC于M、DN⊥BC于N；二是過點D作DG⊥AB交AC于點G.由作法一可得△DEM∽△DFN，由作法二可得△DEG∽△DFB.

以上都是斜放置的直角常見的處理方法.

【典例1】

如下圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=√2+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上．若△MB′C為直角三角形，則BM的長為____________.

分析：本題中若△MB′C為直角三角形，應該分3種情況， 點M、B＇、C都有可能是直角頂點，但是由題意已知∠C=45°，所以不考慮點C作為直角頂點的情況，那么只有以點M和B＇為直角頂點的兩種情況.

分別畫出圖形對它們進行求解：

①當∠MB＇C=90°時

可設BM=x，則MB＇=x，MC=√2x，因為BC=√2+1，所以x+√2x=√2+1，于是解方程即可解得BM=1.

②當∠B＇MC=90°時

此時點B＇與頂點A重合，AM即是斜邊上的中線，因此不難得出BM=（1+√2）/2.

反思：對于此類題型，首先是要做到正確的分類，其次是針對每種情況畫出對應的圖形，然后標出數(shù)據(jù)想辦法求解，經(jīng)常用到的知識有勾股定理、相似三角形等，需要列出方程時，往往把比較短的線段設為未知數(shù).

【典例2】 如下圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7．點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為______．

分析：點D的對應點應該就在以A為圓心，以AD長為半徑的圓弧上，通過作圖，我們發(fā)現(xiàn)，與∠ABC的角平分線有兩個交點D?和D?，所以，這個問題應該分兩種情況來分別求解.最終答案為5/3或5/2.

反思：通過本題可以發(fā)現(xiàn)尺規(guī)作圖在分類情況中的作用，我們也能看到基本模型對解題的輔助作用，本題中也出現(xiàn)了一線三垂直的模型，如下圖，可以過D?作MN⊥AB，構(gòu)造△EMD?∽△D?NA求解.

【典例3】（2015河南中考15題）如下圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為____________.

分析：題中E是定點，EB是定長，因此，點B的對應點B′的軌跡就在以E為圓心，EB長為半徑的圓弧上（記為弧1）.若△CDB′為等腰三角形，則C、D、B′都可以為等腰三角形頂角的頂點，其中C和D是定點，B′是動點，完全符合“兩圓一線定等腰”的模型：若CB′=CD，以點C為圓心，CD為半徑作??；若DB′=DC，以點D為圓心，DC為半徑作??；若B′D=B′C，作CD的中垂線.它們與弧1的交點就是符合條件的點B′的位置.（如下圖共3個交點）

下面的任務就是逐個分析求解：

①當點D為等腰三角形頂角的頂點時，DC=DB＇=16（如下圖）；

② 當點B＇為等腰三角形頂角的頂點，即DC=DB＇時，此時點B＇應在DC的垂直平分線上，如下圖所示.

由題意可知，AE=3，BE=B＇E=13，AM=BM=8，ME=5.則在Rt△B＇ME中，由勾股定理可得B＇M=12，

則B＇N=16-12=4，由于DN=8，因此在Rt△B＇DN中，可求得B＇D=4√5；

③ 當點C為等腰三角形頂角的頂點，即CD=CB＇時，如下圖所示，因為EF是折痕，所以EF是線段BB＇的垂直平分線，又因為CB＇=CD=CB，EB=EB＇，可知EC也是線段BB＇的垂直平分線，也就是點F和C應該是重合的，這就和題設矛盾，因此這種情況不成立.

綜上所述，DB′的長為16或4√5.

反思：通過對本題的分析探究，再回想一下，本題是以什么標準進行分類的？我們是怎樣找到每一種情況點B＇的位置的？

【總結(jié)】

⑴折疊中的存在性問題首先要根據(jù)不變特征，確定分類標準；

⑵學習并掌握一些基本的幾何模型，對提升折疊和存在性問題的能力大有裨益，如常見的幾何模型有：一線三等角結(jié)構(gòu)、直角結(jié)構(gòu)、中點結(jié)構(gòu)、手拉手模型、旋轉(zhuǎn)模型、輔助圓的構(gòu)造等等；

⑶重視尺規(guī)作圖在分類討論問題中的作用，依據(jù)原理分析轉(zhuǎn)化作圖，是繼續(xù)做題的基礎，也在一定程度上解決了分類討論的問題，因此，無論題中要沒要求尺規(guī)作圖，我們都應有意識的用尺規(guī)來幫助我們分析問題，常見的作圖特征有：

①一定點一動點，兩點間距離確定，則動點在圓上；②兩定點一動點，滿足以動點為頂點的角為90度，則動點在圓上；③直角三角形中，直角頂點固定，斜邊運動但長度不變，則斜邊中點在圓上。

理論依據(jù)：①是圓的定義：“平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，定點就是圓心，定長就是半徑”；②和③是定理“直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑”的實際應用。

與折疊相關(guān)

①折痕運動但過定點，則折疊后的對應點在圓上；②對應點確定，折痕為對應點連線的垂直平分線。