本文筆者向大家介紹一種行之有效的特殊方法──構(gòu)造關(guān)于“”的二次方程解題。即若直線 與曲線相交于不同兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)于的齊次方程：

。

兩邊除以便可構(gòu)造出關(guān)于的二次方程，、是這個(gè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根，當(dāng)問(wèn)題涉及或可轉(zhuǎn)化為或時(shí)，我們便可利用根與系數(shù)的關(guān)系解題。本文筆者將運(yùn)用這一方法來(lái)解決圓錐曲線與周直角、等腰三角形相關(guān)的定點(diǎn)定值問(wèn)題。

性質(zhì)1  已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，、是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

    （1） 若，則直線過(guò)定點(diǎn)；

（2）若直線、與軸圍成以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，則直線的斜率為定值。

證明  將拋物線按向量平移得拋物線，

即。又點(diǎn)在拋物線上，故，代入上式得①。

拋物線上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)、分別對(duì)應(yīng)拋物線上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，代入①得，。當(dāng)時(shí)，兩邊除以得，。因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以是這個(gè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根。

    （1）若，因?yàn)槠揭魄昂蟠怪标P(guān)系不變，所以，即，整理得。由此知點(diǎn)在直線上，即直線過(guò)定點(diǎn)，從而直線過(guò)定點(diǎn)。

（2）依題意知直線的傾斜角互補(bǔ)且斜率存在，由平移性質(zhì)知直線的傾斜角也互補(bǔ)且斜率存在，所以，即，于是。

因?yàn)?/span>，所以，故直線的斜率為定值。

性質(zhì)2  已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）若，則直線AB過(guò)定點(diǎn)；

（2）若直線與軸圍成以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，則直線的斜率為定值。

證明  將橢圓按向量平移得橢圓，

即。又點(diǎn)在橢圓上，所以，代入上式得①。

橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入①得。當(dāng)時(shí)，兩邊除以得，。因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以是這個(gè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根。

（1）若，由平移性質(zhì)知，所以，

即，所以。由此知點(diǎn)

在直線上，即直線過(guò)定點(diǎn)，從而直線AB過(guò)定點(diǎn)即過(guò)定點(diǎn)。

（2）依題意知直線、的傾斜角互補(bǔ)且斜率存在，由平移性質(zhì)知，直線的傾斜角也互補(bǔ)且斜率存在，所以，即，由此得。又，所以，故直線AB的斜率為定值。

同理可證雙曲線有如下：

性質(zhì)3  已知點(diǎn)是雙曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，、是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）若，則直線AB過(guò)定點(diǎn)；

（2）若直線與軸圍成以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，則直線的斜率為定值。

綜合歸納以上性質(zhì)可得圓錐曲線有如下一般性結(jié)論：

性質(zhì)4  已知點(diǎn)是圓錐曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；

（2）若直線與焦點(diǎn)所在的軸成等角，則直線與的夾角為定值。