編者注：原文標(biāo)題From Triangles to Manifolds，發(fā)表于The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349。中譯文發(fā)表于《自然雜志》第2卷，譯者乃北大數(shù)學(xué)教授尤承業(yè)。

陳省身先生是國際知名的幾何學(xué)家，在國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟設(shè)立有以他命名的Chern Medal, 以示對獲獎(jiǎng)人終身成就的表彰。陳省身先生一生致力于推動(dòng)幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，不僅培養(yǎng)了丘成桐、格里菲斯、賽蒙斯等杰出學(xué)生，還積極促進(jìn)著幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的普及與教育。本文就是他一篇有名的通俗文章。他晚年定居南開，90歲高齡還為本科生講授了微積分和微分幾何，有興趣的讀者，可以參看這里的鏈接：

• 什么是幾何學(xué)——在復(fù)旦大學(xué)的演講

• Notices訪談陳省身

• 高斯-博內(nèi)定理及麥克斯韋方程

• 央視大家欄目訪談陳省身

• 微積分第1講：微分與積分

• 微積分第2講：對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

• 微積分第三講：曲線論

• 曲面論（第一講）

• 曲面論（第二講）

• 曲面論（第三講）
  

——林開亮

幾何大師陳省身

一、幾何

我知道大家想要我全面地談?wù)剮缀巍缀问鞘裁?，這許多世紀(jì)以來它的發(fā)展情況，它當(dāng)前的動(dòng)態(tài)和問題，如果可能，窺測一下將來。這里的第一個(gè)問題是不會有確切的回答的。幾何這個(gè)詞的含義，在不同的時(shí)期，不同的數(shù)學(xué)家有不同的看法。在歐幾里得(Euclid)看來，幾何由一組從公理引出的邏輯推論組成。隨著幾何范圍的不斷擴(kuò)展，這樣的說法顯然是不夠的。

1932年，大幾何學(xué)家維布倫(O.Veblen)和懷特海德說(J.H.Whitehead)^[1]：

“數(shù)學(xué)的一個(gè)分支之所以稱為幾何，是因?yàn)檫@個(gè)名稱對于相當(dāng)多的有威望的人，在感情和傳統(tǒng)上看來是好的?！?/span>

這個(gè)看法，得到了法國大幾何學(xué)家嘉當(dāng)(E. Cartan)的熱情贊同^[2]。而分析學(xué)家, 美國大數(shù)學(xué)家伯克霍夫(G. Birkhoff)^[3]則認(rèn)為：

“令人擔(dān)憂的是, 幾何學(xué)可能最終只不過是分析學(xué)的一件華麗的直觀外衣”。

最近，我的朋友韋伊(A. Weil)^[4]說：

“從心理學(xué)角度來看，真實(shí)的幾何直觀也許是永遠(yuǎn)不可能弄明白的。在以前，它主要意味著三維空間中形象的了解力。而現(xiàn)在，高維空間已經(jīng)把比較初等的問題基本上都排除了，形象的了解力至多只能是部分的或象征性的。某種程度的觸覺的想象也似平牽涉進(jìn)來了?！?/span>

現(xiàn)在，我們還是拋開這個(gè)有點(diǎn)玄乎的問題，來看一些具體問題為好。

二、三角形

三角形是最簡單的幾何圖形之一，它有許多很好的性質(zhì)。例如它有唯一的一個(gè)內(nèi)切圓，并有唯一的一個(gè)外接圓。又例如九點(diǎn)圓定理，本世紀(jì)初幾乎每個(gè)有一定水平的數(shù)學(xué)家都知道這個(gè)定理。三角形的最引人深思的性質(zhì)與它的內(nèi)角和有關(guān)。歐幾里得說，三角形的內(nèi)角和等于180度，或π弧度。這個(gè)性質(zhì)是從一個(gè)深刻的公理——所謂的平行公理——推出的。想繞開這個(gè)公理的努力都以失敗終告，但這種努力卻導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。在非歐幾何中，三角形的內(nèi)角和小于π弧度(雙曲非歐幾何)或大于π弧度(橢圓非歐幾何)。雙曲非歐幾何是高斯(Gauss)、鮑耶(JanosBolyai)和羅巴契夫斯基(Lobachevsky)在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的。這一發(fā)現(xiàn)是人類知識史上最光輝的篇章之一。

三角形的推廣是n角形，或叫n邊形。把n角形割成n-2個(gè)三角形，就可看出它的內(nèi)角和等于(n-2)π。這個(gè)結(jié)果用外角和來敘述更好：

任何n角形的外角和等于2π，三角形也不例外。

三、平面上的曲錢，旋轉(zhuǎn)指數(shù)與正則同倫

應(yīng)用微積分的工具，就可以討論平面上的光滑曲線，也就是切線處處存在且連續(xù)變化的曲線。設(shè)C是一條封閉的光滑定向曲線，O是一定點(diǎn)。C上每一點(diǎn)對應(yīng)著一條通過O點(diǎn)的直線，它平行于C在這點(diǎn)的切線。

如果這點(diǎn)按C的定向跑遍C一次，對應(yīng)的直線總計(jì)旋轉(zhuǎn)了n圈。我們稱整數(shù)n為C的旋轉(zhuǎn)指數(shù)。見圖1。

微分幾何中的一個(gè)著名的定理說：

若C是簡單封閉曲線，也就是說C自身無交叉點(diǎn)，則n=±1。

很明顯，應(yīng)該有一個(gè)定理把n角形外角和定理與簡單封閉光滑曲線的旋轉(zhuǎn)指數(shù)定理統(tǒng)一起來。要解決這個(gè)問題，就要考慮范圍更廣的一類簡單封閉分段光滑曲線。計(jì)算這種曲線的旋轉(zhuǎn)指數(shù)時(shí)，很自然地要規(guī)定切線在每個(gè)角點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的角度等于該點(diǎn)處的外角(圖2)。這樣，上面的旋轉(zhuǎn)指數(shù)定理對這種曲線也成立。應(yīng)用于n角形這一特殊情形，就得到n角形外角和等于2π（從幾何上說曲線轉(zhuǎn)一圈）這個(gè)結(jié)論。

這個(gè)定理還可進(jìn)一步推廣到自身有交叉點(diǎn)的曲線。對一個(gè)常規(guī)的(generic)交叉點(diǎn)，可規(guī)定一個(gè)正負(fù)號。于是，如果曲線已適當(dāng)?shù)囟ㄏ?，它的旋轉(zhuǎn)指數(shù)等于1加上交叉點(diǎn)的代數(shù)個(gè)數(shù)。見圖3，例如8字形曲線的旋轉(zhuǎn)指數(shù)為0。

幾何學(xué)中乃至數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念是形變或稱同倫。兩條閉光滑曲線稱為正則同倫的，如果其中一條可通過一族閉光滑曲線變形成另一條的話。因?yàn)樾D(zhuǎn)指數(shù)在形變過程中是連續(xù)變化的，而它又是整數(shù)，所以一定保持不變。這就是說，正則同倫的曲線具有相同的旋轉(zhuǎn)指數(shù)。著名的格勞斯坦——惠特尼定理^[5]說，上述命題的逆命題也成立，即：

具有相同旋轉(zhuǎn)指數(shù)的閉光滑曲線一定是正則同倫的。

這里，在研究平面上的閉光滑曲線時(shí)用了數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型手法，就是考察全部這樣的曲線，并把它們加以分類。此處就是正則同倫類。這種手法在實(shí)驗(yàn)科學(xué)中是行不通的，因此它是理論科學(xué)和實(shí)驗(yàn)科學(xué)方法論上一個(gè)根本性的差別。

格勞斯坦——惠特尼定理表明，旋轉(zhuǎn)指數(shù)是正則同倫類的唯一不變量。

四、三維歐氏幾何

現(xiàn)在，從平面轉(zhuǎn)向有著更加豐富內(nèi)容和不同特色的三維歐氏空間。在空間曲線中(除平面曲線外)，最美妙的也許要算圓柱螺旋線了。它的曲率、撓率都是常量，并且它是唯一的能夠以一維運(yùn)動(dòng)群為自同構(gòu)的曲線。圓柱螺旋線可按撓率的正負(fù)分成右手螺旋線和左手螺旋線兩類，它們有本質(zhì)的區(qū)別。見圖4。

一條右手螺旋線是不可能與一條左手螺旋線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而全等，除非用鏡面反射。螺旋線在力學(xué)中起了重要的作用。DNA分子的克里克——沃森模型是雙螺旋線，從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來看，這也許并非純屬巧合。雙螺旋線有一些有趣的幾何性質(zhì)。特別是，如果用線段或弧段分別把兩條螺線的兩端連接起來，就得到兩條閉曲線，它們在三維空間中有一個(gè)環(huán)繞數(shù)L(圖5)。

最近在生物化學(xué)中，由波爾(W.Pohl)和羅伯茨(G.Roberts)提出一個(gè)有爭論的問題，即染色體的DNA分子是不是雙螺旋線的？如果是這樣，那么它就有兩條閉線，它們的環(huán)繞數(shù)是10的5次方量級的。分子的復(fù)制過程是：分開這兩條閉線，并且把每一條閉線補(bǔ)上它在分子中的補(bǔ)充線(即相補(bǔ)的線)。由于環(huán)繞數(shù)這么大，波爾和羅伯茨表明，從數(shù)學(xué)上看，復(fù)制過程會有嚴(yán)重的困難。因此(至少對于染色體而言)，分子的這種雙螺旋線構(gòu)造是受到懷疑的^[6](1979年1月26日補(bǔ)充：近來的一些實(shí)驗(yàn)表明，DNA分子的雙螺旋結(jié)構(gòu)的一些數(shù)學(xué)困難，可以通過酶的活動(dòng)而克服(參見F.H.C.Crick,Is DNA really a double helix? preprint,1978)。環(huán)繞數(shù)L可由懷特(J.H.White)公式^[7]

T+W=L

決定，這里T是全撓率，W是擰數(shù)。后者可用實(shí)驗(yàn)來測定，并且在酶的作用下會變化。這個(gè)公式是分子生物學(xué)中一個(gè)重要的基本公式。

DNA分子一般是很長的。為了要把它們放到不大的空間中，最經(jīng)濟(jì)的辦法是擰它們，使它們卷起來。上面的討論可能啟示著一門新科學(xué)——隨機(jī)幾何學(xué)——正在誕生，它的主要例子來自生物學(xué)。

在三維空間中，比起曲線來，曲面有重要得多的性質(zhì)。1827年高斯的論文《曲面的一般研究》，標(biāo)志著微分幾何的誕生。它提高了微分幾何的地位，把原來只是微積分的一章提高成一門獨(dú)立的科學(xué)。其主要思想是：曲面上有內(nèi)蘊(yùn)幾何，它僅僅由曲面上弧長的度量決定。從弧長元素出發(fā)，可規(guī)定其他幾何概念，如兩條曲線的夾角和曲面片的面積等。于是平面幾何得以推廣到任何曲面上，這曲面只以弧長元素的局部性質(zhì)為基礎(chǔ)。幾何的這種局部化是既有開創(chuàng)性又有革命性的。在曲面上，相當(dāng)于平面幾何中的直線的，是測地線，就是(足夠靠近的)兩點(diǎn)之間的“最短”曲線。更進(jìn)一步說，曲面上的曲線有“測地曲率”，這是平面曲線的曲率的推廣。測地線就是測地曲率處處為0的曲線。

設(shè)曲面求∑是光滑的，并取了定向。于是在∑的每一點(diǎn)p，有一個(gè)單位法向量v(p)，它垂直于∑在p點(diǎn)的切平面(圖6)。

v(p)可看作以原點(diǎn)為球心的單位球面S上一點(diǎn)，從p到v(p)的映射，即可視為高斯映射：

g:   ∑ →  S      (2)

在該映射下，S面積元與相應(yīng)的∑的面積元之比值，叫做高斯曲率。高斯絕妙定理說，曲面∑的高斯曲率僅僅依賴于∑的內(nèi)蘊(yùn)幾何。而且事實(shí)上，在某種意義下，高斯曲率刻劃了這個(gè)幾何。顯然，平面的高斯曲率是0。如同平面幾何中那樣，我們在求和上考慮一個(gè)由一條或幾條分段光滑曲線所圍成的區(qū)域D。D有一個(gè)重要的拓?fù)洳蛔兞?/span>

稱做D的歐拉示性數(shù)。它可以很容易地下定義。用“適當(dāng)”的方法將D分割成一些多角形，以v，e，f分別表示頂點(diǎn)、邊以及面片的數(shù)目，

(雖然早在歐拉之前就有人知道這個(gè)歐拉多面體定理，但似乎歐拉是第一個(gè)認(rèn)識公式(3)中這個(gè)“交錯(cuò)和”的重要意義的人。)

在曲面論中，高斯—博內(nèi)公式是:

如果D是一個(gè)平面區(qū)域，高斯曲率就為0，如果它還是單連通的；就有

在這種情況下，上式就簡化成第三節(jié)中討論過的旋轉(zhuǎn)指數(shù)定理。從第二節(jié)中的三角形的內(nèi)角和出發(fā)，現(xiàn)在我們走得何其遠(yuǎn)呀！

我們推廣閉平面曲線的幾何，考慮的空間中閉定向曲面。旋轉(zhuǎn)指數(shù)的推廣，是公式(2)中的高斯映射g的映射度d。d的確切意義是深刻的。直觀地說，它是映射下的象g(∑)覆蓋單位球面S的代數(shù)次數(shù)。

在平面上，旋轉(zhuǎn)指數(shù)可以是任何整數(shù)，而d則不同，它是由曲面∑的拓?fù)渌耆珱Q定了的:

對于嵌入空間中的單位球面(即∑為單位球面的情況)，其映射度d等于1，它與球面的定向無關(guān)。斯梅爾(S.Smale)^[8]得到了一個(gè)驚人的結(jié)果:兩個(gè)相反定向的單位球面是正則同倫的。說得形象一點(diǎn)：可以通過正則同倫把單位球面從內(nèi)向外翻過來。在曲面的正則同倫過程中，必須保持曲面在每一點(diǎn)處都有切平面，但允許自身相交。

五、從坐標(biāo)空間到流形

17世紀(jì)，笛卡爾引進(jìn)了坐標(biāo)，引發(fā)了幾何學(xué)的革命。用外爾(H.Weyl)^[9]的話來說，

“以坐標(biāo)的形式把數(shù)引進(jìn)幾何學(xué)，是一種暴力行為。 ” 

按他的意思，從此圖形和數(shù)就會如同天使和魔鬼那樣爭奪每個(gè)幾何學(xué)家的靈魂。在平面上，一點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)(x，y)，兩個(gè)分量是它到兩條互相垂直的固定直線(坐標(biāo)軸)的代數(shù)距離。

一條直線是其坐標(biāo)滿足線性方程ax+by+c=0的點(diǎn)的軌跡。這樣產(chǎn)生的后果是從幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化。解析幾何的大門一旦敞開，別的坐標(biāo)系也就紛紛上場。其中有平面上的極坐標(biāo)，空間的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)，以及平面和空間的橢圓坐標(biāo)。后者適用于共焦的二次曲面的研究，特別是橢球的研究。地球就是一個(gè)橢球。

還需要有更高維數(shù)的坐標(biāo)空間。雖然我們原來只習(xí)慣于三維空間，但相對論要求把時(shí)間作為第四維。而描寫質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位置和速度)則需要六個(gè)坐標(biāo)(速矢端線)，這是一個(gè)比較初等的例子。全體一元連續(xù)函數(shù)組成一個(gè)無窮維空伺，其中平方可積的函數(shù)構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間，它有可數(shù)個(gè)坐標(biāo)。在這里我們考察具有規(guī)定性質(zhì)的函數(shù)的全體，這種處理問題的手法在數(shù)學(xué)中是基本的。

由于坐標(biāo)系的大最出現(xiàn)，自然地需要有一個(gè)關(guān)于坐標(biāo)的理論。一般的坐標(biāo)只需要能夠把坐標(biāo)與點(diǎn)等同起來，即坐標(biāo)與點(diǎn)之間存在一一對應(yīng)，至于它是怎么來的，有什么意義，這些都不是本質(zhì)的。

如果你覺得接受一般的坐標(biāo)概念有困難，那么你有一個(gè)好隊(duì)友。愛因斯坦從發(fā)表狹義相對論(1908年)到發(fā)表廣義相對論(1915年)花了七年時(shí)間。他對延遲這么久的解釋是^[10]：

“ 為什么建立廣義相對論又用了七年時(shí)間呢？主要原因是，要擺脫‘坐標(biāo)必須有直接的度且意義’這個(gè)舊概念是不容易的?！?/span>

在幾何學(xué)研究中有了坐標(biāo)這個(gè)工具之后，我們現(xiàn)在希望擺脫它的束縛。這引出了流形這一重要概念。一個(gè)流形在局部上可用坐標(biāo)刻劃，但這個(gè)坐標(biāo)系是可以任意變換的。換句話說，流形是一個(gè)具有可變的或相對的坐標(biāo)(相對性原則)的空間?；蛟S我可以用人類穿著衣服來做個(gè)比喻。“人開始穿著衣服”是一件極端重要的歷史事件。“人會改換衣服”的能力也有著同樣重要的意義。如果把幾何看作人體，坐標(biāo)看作衣服，那么可以像下面這樣描寫幾何學(xué)的進(jìn)化史:

綜合幾何      裸體人

坐標(biāo)幾何      原始人

流形            現(xiàn)代人

坐標(biāo)如衣服：《大話西游》里有個(gè)經(jīng)典的坐標(biāo)變換（換衣服）

即使對于數(shù)學(xué)家來說，流形這個(gè)概念也是不簡單的。例如，阿達(dá)瑪(Hadamard)這樣一位大數(shù)學(xué)家，在講到以流形這概念為基礎(chǔ)的李群理論時(shí)就說^[11]：

“要想對李群理論保持著不只是初等膚淺、而是更深入的理解，感到有著不可克服的困難?！?/span>

六、流形：局部工具

在流形的研究中，由于坐標(biāo)幾乎已失去意義，就需要一些新的工具。主要的工具是不變量。不變量分兩類:局部的和整體的。前者是局部坐標(biāo)變換之下的不變量，后者是流形的整體不變量，如拓?fù)洳蛔兞?。外微分運(yùn)算和里奇(Ricci)張量分析是兩個(gè)最重要的局部工具。

外微分形式是多重積分的被積式。例如在x，y，z空間上的積分

的被積式

這里D是一個(gè)二維區(qū)域，P，Q，R是x，y，z的函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn)，如果上面的微分的乘法是反對稱的，也就是

這里記號表示外乘，那么D(設(shè)已有了定向)中變量的變換就會自動(dòng)地被照顧到了。

更有啟發(fā)性的辦法，是引進(jìn)二次的外微分形式

并且把積分式寫成為積分區(qū)D與被積式所組成的配對：

因?yàn)椋偃缭趎維空間中也如此照辦，斯托克斯定理就可寫成為

這里D是r維區(qū)域，是D的邊界，是r-1次外微分形式，是的外微分，它是r次形式。

公式(10)是多元微積分的基本公式，它說明，d與是伴隨算子。值得注意的是，邊界算子在區(qū)域上是整體性的，而外微分算子d作用在微分形式上是局部的。

這個(gè)事實(shí)使得d成為一個(gè)強(qiáng)有力的工具。d作用在函數(shù)(0次形式)和1次形式上，分別得到梯度和旋度。

一個(gè)微分流形的全部次數(shù)小于或等于流形的維數(shù)的光滑形式組成一個(gè)環(huán)，它具有這個(gè)外微分算子d。嘉當(dāng)在應(yīng)用外微分運(yùn)算到微分幾何的局部問題和偏微分方程方面最有成效。在龐加萊的開創(chuàng)工作的基礎(chǔ)上，德·拉姆(de Rham)建立了整體理論。這些工作我們將在下一節(jié)里討論。

盡管外微分運(yùn)算很重要，但它對于描繪流形上的幾何和分析特性卻是不夠用的。一個(gè)更廣的概念是里奇張量分析。

張量基于這樣的事實(shí)。一個(gè)光滑流形在每一點(diǎn)都可用一個(gè)線性空間——切空間——來逼近。一點(diǎn)處的切空間引導(dǎo)到相伴的張量空間。張量場需要有一個(gè)附加結(jié)構(gòu)——仿射聯(lián)絡(luò)——才能微分。如果流形具有黎曼結(jié)構(gòu)或洛倫茨結(jié)構(gòu)，那么相應(yīng)的列維—齊維他(Levi-Civita)聯(lián)絡(luò)就適用了。

七、同調(diào)

在歷史上，流形的整體不變量的系統(tǒng)研究是從組合拓?fù)鋵W(xué)開始的。它的想法是把流形剖分(剖分要滿足一定要求，我們不細(xì)說了)些成一些胞腔，研究它們是如何裝拼在一起的。

特別當(dāng)M是一個(gè)n維閉流形時(shí)，設(shè)a_k是k維胞腔的個(gè)數(shù)，k=0，1，…，n，那么作為公式(3)的推廣，M的歐拉—龐加萊示性數(shù)可定義為

邊緣是同調(diào)論中的基本概念。胞腔的整系數(shù)線性組合稱為一個(gè)鏈。如果一個(gè)鏈沒有邊緣(邊緣為0)，則稱作閉鏈。鏈的邊緣是閉鏈(圖7)。

在模k維邊緣鏈的意義下，線性無關(guān)的k維閉鏈的個(gè)數(shù)稱為M的k維貝蒂數(shù)，記作b_k，它是一個(gè)整數(shù)。歐拉—龐加萊公式說

貝蒂數(shù)是M的拓?fù)洳蛔兞?，因此歐拉數(shù)也是拓?fù)洳蛔兞?。換言之，貝蒂數(shù)與歐拉數(shù)都是與剖分的方式無關(guān)的，并且在M的拓?fù)渥儞Q下保持不變。這些，以及更一般的敘述，可以看作是組合拓?fù)鋵W(xué)的基本定理。

龐加萊和布勞威爾(L. E. J. Brouwer)為組合拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展開辟了道路。以維布倫、亞歷山大(Alexander)和萊夫謝茨(Lefschetz) 等為首的美國數(shù)學(xué)家的工作使得它于本世紀(jì)二十年代在美國開花結(jié)果。剖分的方法雖然是導(dǎo)出拓?fù)洳蛔兞康囊粋€(gè)有效途徑，但它也有“殺死”流形的危險(xiǎn)。明確地說，組合的方法可能使我們看不出拓?fù)洳蛔兞亢途植繋缀涡再|(zhì)的關(guān)系。實(shí)際存在著與同調(diào)論相對偶的上同調(diào)論。同調(diào)論依賴于邊緣算子，而上同調(diào)論立足于外微分算子d，它是一個(gè)局部算子。從d發(fā)展出的德·拉姆上同調(diào)論可概括如下：

算子d有一個(gè)基本性質(zhì)：重復(fù)運(yùn)用它時(shí)得到0次形式。也就是說，對任何k次形式α，(k+1)次形式dα的外微分是0。這相當(dāng)于“任何鏈(或區(qū)域)的邊緣沒有邊緣?！边@樣一個(gè)幾何事實(shí)(參見公式(10)).當(dāng)dα=0時(shí)，就稱α是閉的。當(dāng)存在一個(gè)(k-1)次形式β使得α=dβ時(shí)，就說α是一個(gè)恰當(dāng)形式。恰當(dāng)形式總是閉的。兩個(gè)閉形式如果相差一個(gè)恰當(dāng)形式，則說它們是上同調(diào)的?；ハ嗌贤{(diào)的閉k次形式的全體組成k維的上同調(diào)類。不平常的是，雖然k次形式、閉k次形式以及恰當(dāng)k次形式的數(shù)量都是極大的，但k維上同調(diào)類卻組成一個(gè)有限維的線性空間，而維數(shù)就是第k個(gè)貝蒂數(shù)b_k。

德·拉姆上同調(diào)論是層的上同調(diào)的先驅(qū)。后者由勒雷(J.Leray)^[12]始創(chuàng)，小嘉當(dāng)(H.Cartan)和塞爾(J.P.Serre)使之完善，并卓有成效地加以應(yīng)用。

八、向量場及其推廣

我們自然地要研究流形M上的連續(xù)向量場。這樣的一個(gè)向量場由M的每一點(diǎn)處的一個(gè)切向量組成，并且向量隨著點(diǎn)連續(xù)變動(dòng)。若M的歐拉—龐加萊示性數(shù)不等于0，則M上任一連續(xù)向量場中至少有一個(gè)零向量。舉個(gè)具體的例子，地球是個(gè)二維球面，示性數(shù)是2，因此當(dāng)?shù)厍蛏瞎物L(fēng)時(shí)，至少有一處沒有風(fēng)。對上述結(jié)果，有一個(gè)更加明確的定理。對于連續(xù)向量場的每一個(gè)孤立零點(diǎn)可規(guī)定一個(gè)整數(shù)，叫做指數(shù)，它在某種程度上刻劃向量場在這個(gè)零點(diǎn)附近的狀態(tài)，表明它是源點(diǎn)、匯點(diǎn)還是其他情形.龐加萊—霍普夫(Hopf)定理指出，當(dāng)連續(xù)向量場只有有限多個(gè)零點(diǎn)時(shí)，它的全部零點(diǎn)的指數(shù)和就是拓?fù)洳蛔兞?/span>

以上所述是有關(guān)M的切叢的。切叢就是M的全體切空間的集合。更一般地，如果一族向量空問以M為參數(shù)，并且滿足局部乘積條件，就稱為M上的一個(gè)向量叢。

一個(gè)基本問題是：這樣的叢在整體上是不是一個(gè)乘積空間?上面的討論說明了，當(dāng)歐拉數(shù)不等于0時(shí)，切叢不是乘積空間，因?yàn)槿绻浅朔e空間，就會存在一個(gè)處處不為0的連續(xù)向量場。空間之中存在局部是乘積而整體不是乘積這種空間(例如當(dāng)歐拉數(shù)不等于0時(shí)的M的切叢)決不是容易想象的，幾何學(xué)從而進(jìn)入更深刻的階段。

刻劃一個(gè)向量叢與乘積空間的整體偏差的第一組不變量是所謂上同調(diào)示性類。歐拉—龐加萊示性數(shù)是最簡單的示性類。在曲面∑沒有邊界時(shí)，高斯—博內(nèi)公式的形式(見第四節(jié))特別簡單

這里K是高斯曲率，dA是面積元。公式(4a) 是最重要的公式，因?yàn)樗颜w不變量歐拉數(shù)表示成局部不變量高斯曲率的積分。這也許是局部性質(zhì)與整體性質(zhì)之間的最令人滿意的關(guān)系了。

這個(gè)結(jié)果有一個(gè)推廣，設(shè)

是一個(gè)向量叢。切向量場的推廣是叢的截面，也就是一個(gè)光滑映射s: M→ E，使

是恒同映射。因?yàn)镋只是一個(gè)局部乘積空間，對截面s微分就需要有一個(gè)附加結(jié)構(gòu)，通常叫做一個(gè)聯(lián)絡(luò)。所導(dǎo)出的微分稱為協(xié)變微分，一般不是交換的。曲率就是協(xié)變微分非交換性的一種度量。曲率的適當(dāng)組合可得出一類微分形式，在德·拉姆理論的意義下，它代表上同調(diào)示性類，而高斯—博內(nèi)公式(4a) 是它的最簡單的例子^[13]。

我相信，向量叢、聯(lián)絡(luò)和曲率等概念是如此基本而又如此簡單，以致任何多元分析的入門教科書都應(yīng)包括這些概念。

九、橢圓型微分方程

當(dāng)n維流形M有黎曼度最時(shí)，則有一個(gè)算子*它把一個(gè)k次形式α變成一個(gè)(n-k)次形式*α。這相當(dāng)于對切空間的線性子空間取正交補(bǔ)。借助算子*和微分d，我們引進(jìn)余微分

和拉普拉斯算子

算子δ把一個(gè)k次形式變成一個(gè)(k-1)次形式，而 △ 把一個(gè)k次形式變成一個(gè)k次形式。如果一個(gè)形式α滿

它就稱為調(diào)和的。零次調(diào)和形式就是通常的調(diào)和函數(shù)。

方程(16)是一個(gè)二階橢圓型偏微分方程。如果流形M是閉的，公式(16)的全部解構(gòu)成一個(gè)有限維向量空間。根據(jù)霍奇(Hodge)的一個(gè)經(jīng)典定理，解空間的維數(shù)恰好是第k個(gè)貝蒂數(shù)b_k。再從公式(12) 推出，歐拉示性數(shù)可寫成

其中d_偶和的d_奇分別是偶次和奇次調(diào)和形式的空間的維數(shù)。外微分d本身是一個(gè)橢圓算子，上述公式可看作是用橢圓算子的指標(biāo)來表示M的歐拉數(shù)。對于任何線性橢圓算子來說，其指標(biāo)定義為解空間的維數(shù)減去伴隨算子的解空間的維數(shù)。

在用局部不變量的積分表示橢圓算子的指標(biāo)這一方面，阿蒂亞—辛格(Atiyah-Singer)指標(biāo)定理達(dá)到了頂峰。許多著名的定理，例如霍奇指標(biāo)定理、(Hirzebruch)指標(biāo)定理和關(guān)于復(fù)流形的黎曼—洛赫定理，都是它的特殊情形。這項(xiàng)研究的一個(gè)主要副產(chǎn)物，是確認(rèn)了考慮流形上偽微分算子的必要性，它是比微分算子更一般的算子。

橢圓型微分方程和方程組是與幾何十分緊密地糾纏著的。一個(gè)或多個(gè)復(fù)變量的柯西—黎曼微分方程是復(fù)幾何的基礎(chǔ)。極小流形是求極小化面積的變分法問題中歐拉—拉格朗日方程的解。這些方程是擬線性的?！白睢狈蔷€性的方程也許是蒙日—安培方程，它在好幾個(gè)幾何問題中都是重要的。近年來在這些領(lǐng)域里取得了很大的進(jìn)展^[14]。

由于分析這樣深入地滲透到幾何，前面提到過的分析學(xué)家伯克霍夫的評論看來更令人不安了。然而，分析學(xué)是繪制礦藏的全貌，而幾何學(xué)是尋找美麗的礦石的。幾何學(xué)建筑在這樣的原則上：并非所有的結(jié)構(gòu)都是相等的，并非所有的方程都是相等的。

十、歐拉示性數(shù)是整體不變量的源泉

概括起來，歐拉示性數(shù)是許多幾何課題的源泉和出發(fā)點(diǎn)。我想用下面的圖8來表示這關(guān)系。

十一、規(guī)范場論

本世紀(jì)初，由于愛因斯坦的相對論，微分幾何一度變成人們注視的中心。愛因斯坦企圖把物理現(xiàn)象解釋為幾何現(xiàn)象，并構(gòu)造一個(gè)適合于物理世界的幾何空間。這是一個(gè)十分艱巨的任務(wù)，也不清楚愛因斯坦關(guān)于引力場和電磁場的統(tǒng)一場論的學(xué)說是否已成為定論。前面提到過的向量叢的引進(jìn)，特別是向量叢中的聯(lián)絡(luò)和它們的示性類，以及它們與曲率的關(guān)系，開闊了幾何的視野。復(fù)線叢(纖維是一條復(fù)直線)的情況提供了外爾的電磁場規(guī)范理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。以對同位旋的理解為基礎(chǔ)的楊—米爾斯理論，是非交換的規(guī)范理論的第一個(gè)例子。

楊—米爾斯理論的幾何基礎(chǔ)，是帶有酉聯(lián)絡(luò)的復(fù)平面叢。近來，統(tǒng)一所有的場論(包括強(qiáng)、弱相互作用)的嘗試，已集中到一個(gè)規(guī)范理論上，也就是一個(gè)以叢和聯(lián)絡(luò)為基礎(chǔ)的幾何模型?？吹綆缀魏臀锢碓俅螖y起手來，是十分令人滿意的。叢、聯(lián)絡(luò)、上同調(diào)和示性類都是艱深的概念，在幾何學(xué)中它們都經(jīng)過長期的探索和試驗(yàn)才定形下來。物理學(xué)家楊振寧說^[15]：

“非交換的規(guī)范場與纖維叢這個(gè)美妙理論——數(shù)學(xué)家發(fā)展它時(shí)并沒有提及物理世界——在概念上的一致，對我來說是一大奇跡。 ”

1975年他對我講: 

“這既是使人震驚的，又是使人迷惑不解的，因?yàn)槟銈償?shù)學(xué)家是沒有依據(jù)地虛構(gòu)出這些概念來的。 ”

 這種迷惑是雙方都有的。事實(shí)上，維格納(E. Wigner)說起數(shù)學(xué)在物理中的作用時(shí)，曾談到數(shù)學(xué)的超乎常理的有效性^[16]。 如果一定要找一個(gè)理由的話，那么也許可用“科學(xué)的整體性” 這個(gè)含糊的詞兒來表達(dá)?；镜母拍羁偸呛苌俚?。

十二、結(jié)束語

現(xiàn)代微分幾何是一門年青的學(xué)科。即使不考慮相對論和拓?fù)鋵W(xué)給它的很大促進(jìn)，它的發(fā)展也一直是連續(xù)不斷的。我為我們說不清它是什么而高興。我希望它不要象其他一些數(shù)學(xué)分支那樣被公理化。保持著它跟數(shù)學(xué)中別的分支以及其他科學(xué)的許多領(lǐng)域的聯(lián)系，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神，它在今后長時(shí)期中仍將是一片肥沃的疆域。

用函數(shù)的自變數(shù)的數(shù)目或數(shù)學(xué)所處理的空間的維數(shù)來刻劃數(shù)學(xué)的各個(gè)時(shí)期，可能是很有意思的事。在這個(gè)意義上，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)是一維的，而20世紀(jì)的數(shù)學(xué)是n維的。由于多維，代數(shù)獲得了十分重要的地位。所有已知流形上的整體結(jié)果的極大多數(shù)是同偶數(shù)維相關(guān)的。特別地，所有復(fù)代數(shù)流形都是偶數(shù)維實(shí)流形。奇數(shù)維流形至今還是神秘的。我大膽地希望，它們在21世紀(jì)將受到更多的注意，并可在本質(zhì)上被搞清楚。近來，瑟斯頓(Thurston)^[17]關(guān)于三維雙曲流形的工作以及丘成桐、米克斯(Meeks)和舍恩(Schoen)關(guān)于三維流形的閉極小曲面的工作，都已經(jīng)大大地弄清楚了三維流形及其幾何。幾何學(xué)中的問題之首可能仍然是所謂龐加萊猜想：一個(gè)單連通三維閉流形同胚于三維球面。拓?fù)浜痛鷶?shù)的方法至今都還沒有導(dǎo)致這個(gè)問題的解決?？梢韵嘈?，幾何和分析中的工具將被發(fā)現(xiàn)是很有用處的。

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