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丘成桐:陳省身的幾何貢獻

 影落平湖 2016-10-09


撰文
丘成桐

我很榮幸?guī)煆囊晃粋ゴ蟮臄?shù)學(xué)家。陳省身對我的學(xué)術(shù)生涯,無論數(shù)學(xué)上還是個人修養(yǎng)方面,都有著深刻的影響。

回顧微分幾何的發(fā)展歷史,我認為嘉當(dāng)(E. Cartan)是微分幾何的祖父,陳省身是現(xiàn)代微分幾何之父。他們合力創(chuàng)造了一門美妙而豐富的學(xué)科,影響遍及數(shù)學(xué)與物理的每個分支。


(左)埃利·嘉當(dāng)(1869~1951)、(右)陳省身(1911~2004)

在去世前,陳省身說他就要去見古希臘那些偉大的幾何學(xué)家了。毫無疑問,他的成就堪與這些大幾何學(xué)家比肩。

我們現(xiàn)在來回顧幾何學(xué)發(fā)展史上的重要事件。從這些歷史事實,我們也可以看到這兩位偉大的幾何學(xué)家在數(shù)學(xué)史上的崇高地位。

  • 古希臘早期的畢達哥拉斯學(xué)派(Pythagoras,約公元前580~前500),發(fā)現(xiàn)并證明了:直角三角形的兩條直邊的平方和等于斜邊的平方。西方稱這一命題為畢達哥拉斯定理。中國古代也有同樣的發(fā)現(xiàn),因而在中國稱之為勾股定理。

  • 古希臘幾何學(xué)家歐幾里得(Euclid,約公元前330~前275),寫出了著名的《幾何原本》,建立了公理化的歐幾里得幾何體系。

  • 古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes,約公元前287~前212),用類似于現(xiàn)代積分學(xué)的方法,計算物體的面積與體積。


自左至右依次為:畢達哥拉斯(約公元前580~前500)、歐幾里得(約公元前330~前275)、阿基米德(約公元前287~前212)

  • 法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒(René Descartes,1596~1650)引入坐標(biāo),解析幾何誕生,代數(shù)與幾何走向融合。

  • 法國幾何學(xué)家德薩格(Gérard Desargues,1591~1661)創(chuàng)立了射影幾何。

  • 法國數(shù)學(xué)家費馬(1601~1665)在研究光學(xué)時,發(fā)現(xiàn)了變分原理。


自左至右依次為:笛卡兒(1596~1650)、德薩格(1591~1661)、費馬(1601~1665)

  • 英國數(shù)學(xué)家巴羅(I. Barrow,1630~1677)、牛頓(Isaac Newton,1642~1727)和德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646~1716)將微分與積分融合起來。(微分與積分的思想在古希臘,古印度,古代中國,阿拉伯等國就已萌芽。不過,這些早期的發(fā)展未能將微分與積分聯(lián)系起來。)


自左至右依次為:巴羅(1630~1677)、牛頓(1642~1727)、萊布尼茨(1646~1716)

  • 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler,1707~1783)發(fā)明組合幾何并發(fā)展變分法。

  • 德國數(shù)學(xué)家高斯(Carl Friedrich Gauss,1777~1855)開創(chuàng)了內(nèi)蘊幾何。

  • 德國數(shù)學(xué)家黎曼(Bernhard Riemann,1826~1866)1854年在為取得教師職位所做的演講中,提出了黎曼幾何的思想。


自左至右依次為:歐拉(1707~1783)、高斯(1777~1855)、黎曼(1826~1866)

  • 挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李(Sophus Lie,1842~1899)創(chuàng)建了變換群理論,并發(fā)現(xiàn)了切觸幾何。

  • 德國數(shù)學(xué)家克萊因(Felix Klein,1849~1925)在1872年宣布了埃朗根綱領(lǐng),把幾何定義為研究各種變換群作用下的空間。


(左)索菲斯·李(1842~1899)、(右)克萊因(1849~1925)

  • 例如,射影變換群對應(yīng)的幾何是射影幾何,主要的貢獻者包括龐斯萊(Jean-Victor Poncelet,1788~1867)、默比烏斯(August Ferdinand M?bius,1790~1868)、沙勒(Michel Chasles,1793~1880)和施泰納(Jakob Steiner,1796~1863)。

  • 還有仿射幾何與共形幾何,它們分別對應(yīng)于仿射群和共形群。


自左至右依次為:龐斯萊(1788~1899)、默比烏斯(1790~1868)、沙勒(1793~1880)、施泰納(1796~1863)

嘉當(dāng)和陳省身繼承了這些偉大幾何學(xué)家的事業(yè),憑著他們的幾何直覺創(chuàng)造了20世紀微分幾何的基礎(chǔ)。

法國數(shù)學(xué)家安德烈·韋伊(André Weil,1906~1998)在為《陳省身論文選集》撰寫的序言《我的朋友——幾何學(xué)家陳省身》一文中寫道:

真正的幾何直觀在心理上也許永遠說不清楚……無論如何,如果沒有嘉當(dāng)、霍普夫、陳省身和另外幾個人的幾何直覺,本世紀的數(shù)學(xué)決不可能有如此驚人的進展。我深信,只要數(shù)學(xué)繼續(xù)發(fā)展,就永遠需要這樣的數(shù)學(xué)家。

現(xiàn)代微分幾何的誕生

嘉當(dāng)?shù)墓ぷ?/strong>   嘉當(dāng)繼高斯、黎曼、李和克萊因之后完成了為現(xiàn)代微分幾何奠基的工作。通過把他關(guān)于李群和微分方程組不變量理論結(jié)合起來,他引入了現(xiàn)代規(guī)范理論。

嘉當(dāng)定義了廣義空間,包括了克萊因的齊性空間與黎曼的局部幾何。用現(xiàn)代術(shù)語來說,就是“纖維叢上的聯(lián)絡(luò)”。這推廣了列維-齊維塔平行性的概念。   

一般而言,我們有一個纖維叢 π : EM,其纖維  π-1(x )(x M ) 是有李群 G 作用的齊性空間。一個聯(lián)絡(luò)就是纖維上與群 G 作用相容的無窮小移動。

格拉斯曼引入了外形式,而嘉當(dāng)引進了外微分運算。他的 Pfaff 方程組理論和延拓理論創(chuàng)造了可以用來解決幾何中等價問題的不變量。

嘉當(dāng)用活動標(biāo)架構(gòu)造不變量的觀點對陳省身有很深的影響。陳非常欣賞活動標(biāo)架法,甚至他九十歲時還在國內(nèi)講授這個理論。


(左)韋伊(1906~1998)、(右)霍普夫(1894~1971)

霍普夫的工作   霍普夫(Heinz Hopf,1894—1971)最早開始研究微分拓撲,如流形上的向量場。他的學(xué)生斯蒂弗爾(E. Stiefel)推廣了霍普夫的定理,得到了斯蒂弗爾-惠特尼(Stiefel-Whitney)示性類。

1925年,霍普夫在他的論文中研究了超曲面情形的高斯-博內(nèi)定理。1932年,霍普夫強調(diào)指出被積函數(shù)可以寫成關(guān)于黎曼曲率張量分量的多項式。

這些工作深刻影響了陳省身后來的工作。

霍奇(W. V. D. Hodge)、龐特里亞金(L. S. Pontryagin)和惠特尼(H. Whitney)的工作   他們都是偉大的微分拓撲學(xué)家,后兩位在示性類上的貢獻直接影響了陳氏類的產(chǎn)生。

陳省身:整體內(nèi)蘊幾何之父

陳省身說過,黎曼幾何及其在微分幾何中的推廣有局部的特征。讓我感覺很神秘的是,我們確實需要一個整體的空間把每片鄰域連接起來。這可以用拓撲來完成。

嘉當(dāng)和陳省身都看到了纖維叢在微分幾何中的重要性。當(dāng)然,許多大數(shù)學(xué)家都研究過整體微分幾何,如科恩-沃森(Cohn-Vossen)、閔可夫斯基(H. Minkowski)、希爾伯特(D. Hilbert)、外爾(H. Weyl),但是他們的工作主要局限在三維歐氏空間中的曲面的整體性質(zhì)。

陳省身在內(nèi)蘊幾何與代數(shù)拓撲之間建立了橋梁。(嘉當(dāng)在微分幾何上的工作在本質(zhì)上更強調(diào)局部,除了他在對稱空間方面的工作。)

陳省身接受的教育

(南開大學(xué)和清華大學(xué))  

他在天津南開大學(xué)讀大學(xué)本科,接著在北京清華大學(xué)讀研究生。在此期間,他學(xué)習(xí)了庫利奇(J.L. Coolidge)的《非歐幾何》和《圓周與球面的幾何》,薩蒙(W. Salmon)的《圓錐曲線》和《立體解析幾何》,卡斯泰爾諾沃(G. Castelnuovo)的《解析幾何與射影幾何》,以及斯坦德(Otto Stande)的《線構(gòu)造》。

他的碩士生導(dǎo)師孫鎕研究射影微分幾何,該領(lǐng)域由維爾辛斯基(E.J. Wilczynski)于1901年創(chuàng)立,后來被富比尼(G. Fubini)和切赫(E. Cech)發(fā)展。

陳省身的碩士論文是關(guān)于射影線幾何,即研究三維射影空間中所有直線組成的空間的超曲面。他研究了線匯,即線的二維子流形以及它們的通過二次線體的密切。

陳省身接受的教育(布拉施克)  

1932年,布拉施克訪問北京。他做了題為“微分幾何中的拓撲問題”的演講,主要討論了微分同胚偽群及其局部不變量。陳省身開始考慮整體微分幾何,并且認識到代數(shù)拓撲的重要性。他讀了維布倫(O. Veblen)的書《位置分析》(Analysis Situs,1922)。

1934年,他去德國漢堡大學(xué)跟隨布拉施克學(xué)習(xí)。阿廷(E. Artin)、赫克(E. Hecke)和凱勒(E. K?hler)也在那里。布拉施克那時主要研究網(wǎng)幾何與積分幾何。陳省身開始研讀賽弗特-特雷法爾(Seifert-Threlfall)的《拓撲學(xué)講義》(1934)和亞歷山德羅夫-霍普夫(Alexandroff-Hopf)的專著《拓撲學(xué)》(1935)。

陳省身接受的教育(凱勒、嘉當(dāng))  

在漢堡大學(xué)時,凱勒在討論班上講解了他寫的小冊子《微分方程組理論導(dǎo)引》,就是現(xiàn)在所稱的凱勒-嘉當(dāng)理論。陳省身是這個討論班的忠實學(xué)生。   

1936~1937年,陳省身來到法國巴黎,跟隨嘉當(dāng)研究活動標(biāo)架法和等價方法,并且更深入研究了凱勒-嘉當(dāng)理論。他在巴黎逗留了十個月,每兩周與嘉當(dāng)會面一次。

陳省身于1937年夏回到中國。他用了幾年時間研究嘉當(dāng)?shù)墓ぷ鳌Kf,嘉當(dāng)一生中的論著超過三千頁,他至少讀過其中的百分之七八十。有一些文章他反復(fù)研讀過好多次。在戰(zhàn)爭年代的孤立環(huán)境下,很容易做到全身心地閱讀和思考。

陳省身評價嘉當(dāng)說:“他毫無疑問是本世紀最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他的學(xué)術(shù)生涯體現(xiàn)出了一種罕見的睿智與謙遜的融合。1940年,我努力研讀嘉當(dāng)?shù)闹鳎庾R到聯(lián)絡(luò)的概念將會發(fā)揮重要的作用,于是我寫了幾篇論文,對一個給定的幾何結(jié)構(gòu)配上聯(lián)絡(luò)?!?/span>

陳省身幾乎是唯一的能夠很好掌握嘉當(dāng)工作的幾何學(xué)家。甚至像外爾那樣的大師都認為嘉當(dāng)?shù)恼撝茈y讀。外爾說:“嘉當(dāng)無疑是微分幾何領(lǐng)域仍然健在的最偉大的人物……不得不承認的是,我發(fā)現(xiàn)嘉當(dāng)?shù)臅退拇蠖鄶?shù)論文一樣,艱深難讀……”

等價問題    

陳省身的大多數(shù)工作與等價問題有關(guān)。1869年,克里斯托費爾(E. Christoffel)和利普希茨(R. Lipschitz)解決了黎曼幾何中的等價問題,這個有著基本重要性的問題被稱為“形式問題”:為了確定兩個 ds2 是否只相差一個坐標(biāo)變換,克里斯托費爾引入了現(xiàn)在被稱為列維-齊維塔聯(lián)絡(luò)的協(xié)變微分。

嘉當(dāng)把這個問題推廣到更一般的情形,被稱為等價問題。

等價問題   給定分別在坐標(biāo) xk,x*l 下的兩組線性無關(guān)的線性微分形式 θi, θ*j,其中 1≤i, j, k, l n;給定一個李群,要求找到合適的條件,使得存在函數(shù) ,并且 θ*j 在經(jīng)過如上替換后,與相差 中的一個變換。

這個問題與局部不變量有關(guān),嘉當(dāng)給出了生成這些不變量的具體步驟。陳的大部分工作都與這個問題有關(guān)。

陳省身(1932—1943)  

在此期間,他研究了網(wǎng)幾何、射影線幾何,射影空間中子流形對的切觸不變量以及孤立子理論中的貝可?。ˋ.V. B?cklund)變換有關(guān)的曲面變換。陳省身后來在與格里菲思(P. Griffiths)和滕楚蓮的合作中,繼續(xù)這方面的研究。

陳省身在他的博士論文中研究了射影微分幾何。簡單來說,這個學(xué)科的一個基本問題是:找到子流形在射影變換群下的一族完全的局部不變量,并用與簡單幾何圖形的密切來給出幾何上的解釋。

射影幾何中的另一個典型問題是,用正規(guī)射影聯(lián)絡(luò)研究道路結(jié)構(gòu)的幾何。例如,索菲斯·李的學(xué)生特雷斯(Tresse)用空間(x, y, y')中的正規(guī)射影聯(lián)絡(luò)研究了由積分曲線 y'' = F(x, y, y')定義的道路。

陳省身把上面的工作推廣到 n 維。給定滿足一組微分方程的 2( n-1)維曲線族,使得在每一點給定一個方向,正好有一條這樣的曲線和它相切。陳定義了正規(guī)射影聯(lián)絡(luò),把結(jié)論推廣到子流形族。

1940~1942年期間,陳省身開始推廣由克羅夫頓(M.W. Crofton)和布拉施克發(fā)展起來的積分幾何。他注意到,這種幾何可以用具有相同李群 G 的兩個齊性空間來更好地加以理解。于是,有 G 的兩個子群 HK,滿足

兩個陪集 aH bK 稱為互相關(guān)聯(lián),如果它們在 G 中相交。用這種方法,他推廣了克羅夫頓的許多重要公式。1952年,他推廣了龐加萊、桑塔洛(L.A. Santaló)和布拉施克的運動公式。

韋伊評價陳省身的一篇有關(guān)文章:它把布拉施克學(xué)派的工作一舉推進到更高的水平。文章所顯現(xiàn)的非凡才能和深刻見解給我留下了很深的印象。             

陳省身對普林斯頓的訪問(1943)  

1943年,陳受到維布倫和外爾的邀請,從昆明前往普林斯頓。外爾是陳心目中的英雄。纖維叢理論發(fā)端于嘉當(dāng)和惠特尼的工作。斯蒂弗爾-惠特尼示性類只在模 2 同調(diào)上有定義。韋伊當(dāng)時剛剛發(fā)表了他關(guān)于高斯-博內(nèi)公式的論文,他把托德和埃格爾關(guān)于代數(shù)幾何中典則類的工作告訴了陳。這些工作秉承了意大利代數(shù)幾何學(xué)派的風(fēng)格,用到了一些未經(jīng)證明的結(jié)果。

陳省身所做的第一項基本重要性的工作就是給出了高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊證明。這個公式的簡約歷史可以敘述如下:

高斯在其開創(chuàng)性論文《關(guān)于曲面的一般研究》(Disquistiones Circa Superficies Curvas,1827)中,首先求出了關(guān)于測地三角形的公式:他考慮的是中的曲面,并且用了高斯映射。

博內(nèi)(O. Bonnet)在1848年的一篇論文(Mémoire sur la théorie générale des surfaces, J. De l’Ecole Poly. Tome 19, Cahier 32 (1848) 1-146.)中,把高斯的公式推廣到以一條任意曲線為邊界的單連通區(qū)域。

戴克(W. Dyck)在1888年(Beitr?gezur analysis situs, Math Annalen 32(1888) 457-512.),把高斯-博內(nèi)公式推廣到任意虧格的曲面。

1925年,霍普夫把公式推廣到  中的余維數(shù)為 1 的超曲面。1940年,艾倫多弗(C.B. Allendoerfer)和費恩雪爾(W. Fenchel)研究了可以嵌入到歐氏空間中的可定向閉黎曼流形。1943年,艾倫多弗和韋伊把公式推廣到閉黎曼多面體,也即一般的閉黎曼流形。但證明仍然要用到流形到歐氏空間的等距嵌入。

韋伊把他們的工作和陳省身的工作做了比較:基于外爾和其他一些人的工作,我們的依賴于“管子”的證明雖然的確要用到(當(dāng)時還不明了)球叢的構(gòu)造,也就是一個給定浸入的橫截叢,但不是內(nèi)蘊的。陳的證明第一次清楚地引入了內(nèi)蘊叢,也就是單位長度的切向量叢上的運算,讓整個領(lǐng)域的面貌煥然一新。

一個世紀前,高斯建立了內(nèi)蘊幾何的概念。陳的關(guān)于高斯-博內(nèi)定理的證明開創(chuàng)了全新的領(lǐng)域。整體拓撲通過纖維叢以及切球叢上的超渡,與內(nèi)蘊幾何建立了聯(lián)系。我們看到了整體內(nèi)蘊幾何揭開了嶄新的一頁。

以下我們來看,陳省身的證明甚至在二維情形都是全新的。

利用活動標(biāo)架,曲面的結(jié)構(gòu)方程可以寫為


這里 ω12 是聯(lián)絡(luò)形式,K 是高斯曲率。如果單位向量 e1 由一個整體定義的向量場 V 按如下給出:


其中在 V ≠ 0 處有定義。應(yīng)用斯托克斯公式可以得到


其中 B(xi是一個以 xi 為圓心的小圓盤,并且   可以用向量場 V xi 處的指標(biāo)來計算。根據(jù)霍普夫的一個定理,向量場的指標(biāo)之和等于空間的歐拉數(shù)。這樣曲面上曲率的積分就給出了歐拉數(shù)。

在高維的情況下,陳省身的證明中用到的是單位切球叢。曲率形式 Ωij 是反對稱的,其 Pfaffian 形式是


相應(yīng)的高斯-博內(nèi)公式是


為了證明高斯-博內(nèi)公式,必須找到單位球叢上的形式 Ⅱ,使得 Pf  的提升。雖說陳省身的證明受到霍普夫向量場定理的啟發(fā),但充分反映了陳省身過人的洞察力與精湛的運算技巧。霍普夫曾說過,陳的證明把微分幾何學(xué)帶入了一個嶄新的時代。特別是誕生了“超渡”的概念。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最了不起的工作之一。

陳類    

陳省身說:“我最早接觸示性類,是由于高斯-博內(nèi)公式,這是每個學(xué)過曲面論的人熟知的公式。早在1943年,當(dāng)我給出維高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊證明以后,我認識到,應(yīng)用曲面論中的正交標(biāo)架,那么經(jīng)典的高斯-博內(nèi)公式不過是高斯絕妙定理的一個整體性的結(jié)果。這個證明的代數(shù)方面是后來被稱為‘超渡’的構(gòu)造的第一個實例,超渡注定了會在纖維叢同調(diào)論和其他一些問題中扮演基本重要的角色。”

嘉當(dāng)關(guān)于標(biāo)架叢的工作,德·拉姆定理,它們始終隱藏在陳省身思想的背后。纖維叢是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心概念,它把許多重要的數(shù)學(xué)和物理對象統(tǒng)一起來。以下我簡單描述一下纖維叢的歷史。

斯蒂弗爾(1936)和惠特尼(1937)引入了斯蒂弗爾-惠特尼示性類,但它只在模 2 的情形下有定義。

費爾德保(J. Feldbau)(1939)、艾瑞斯曼(C. Ehresmann)(1941,1942,1943)、陳省身(1944,1945)和斯廷羅德(N. Steenrod)(1944)系統(tǒng)研究了纖維叢的拓撲。

龐特里亞金(1942)引入了龐特里亞金示性類。他還在1944年把黎曼流形的曲率與拓撲不變量建立聯(lián)系(發(fā)表在 Doklady 雜志上)。這依賴于流形的嵌入,他開始并沒有意識到這些不變量就是龐特里亞金類。

在高斯-博內(nèi)公式的證明中,我們可以找到 k 個一般位置的向量場 s1, …, sk 。它們線性無關(guān)的點構(gòu)成了一個與 s的選取無關(guān)的(k-1)維閉鏈。這是斯蒂弗爾的工作(1936)?;萏啬幔?937)考慮了更一般的球叢的截面,從阻礙理論的角度對它們加以理解。

惠特尼注意到 q 平面組成的格拉斯曼流形 G( q, N ) 上的萬有叢的重要性。他在1937年證明,流形上的任意秩為 q 的叢都可以由 G( q, N ) 上的萬有叢經(jīng)過映射 f : M G( q, N ) 來誘導(dǎo)。

當(dāng) N 很大時,龐特里亞金(1942)和斯廷羅德(1944)注意到映射只相差一個同倫。叢的示性類按如下給出:


上同調(diào) H*(Gr(q, N )) 由艾瑞斯曼(1936)做了研究,它們可以由舒伯特胞腔生成。

陳省身當(dāng)時大概想證明龐氏的曲率不變量就是龐氏類,但在實的情形下,舒伯特的胞腔比較復(fù)雜。

陳省身說:“也許略帶幸運,我在1944年注意到了一個平凡的事實,復(fù)向量叢的情形要比實的情形簡單許多。因為大多數(shù)經(jīng)典的復(fù)空間,如經(jīng)典的復(fù)的格拉斯曼流形,復(fù)的斯蒂弗爾流形等都是無扭的。”

對復(fù)向量叢 E,陳省身因此引進了陳類 。陳省身用三種不同的方法加以定義:阻礙理論、舒伯特胞腔以及叢上聯(lián)絡(luò)的曲率形式。他證明了這些方法的等價性。陳氏類成為近代數(shù)學(xué)最重要的不變量。

陳省身的基本論文(1946)  

在文章《埃爾米特流形上的示性類》(Characteristicclasses of Hermitian manifolds)中,陳為復(fù)流形的埃爾米特幾何奠定了基礎(chǔ)。比如,他引入了埃爾米特聯(lián)絡(luò)的概念。如果 Ω 是向量叢的曲率形式,我們定義


用微分形式定義陳類,對幾何學(xué)與現(xiàn)代物理都有極為重要的意義。一個例子就是陳省身創(chuàng)造的超渡的概念。   

超渡(Transgression) φ 是在與向量叢相配的標(biāo)價叢上定義的聯(lián)絡(luò)形式,那么曲率形式為


所以


類似的


其中 CS(φ) 稱為陳-西蒙斯形式,在三維流形、反常消除問題、弦理論、固態(tài)物理中起著基本重要的作用。

在微分形式的層次上做超渡引出了同調(diào)群上的二級運算。比如,梅西乘積,這出現(xiàn)在陳國才關(guān)于迭代積分的工作中。

當(dāng)流形是復(fù)的,我們記

。

在一篇重要的文章中,博特(R. Bott)-陳(1965)發(fā)現(xiàn),存在一個典則構(gòu)造的(i1,i-1)形式  , 使得  。

陳省身應(yīng)用這個定理推廣了高維復(fù)流形間全純映照值分布的奈旺林納(R.H. Nevanlinna)理論。

微分形式  后來在阿萊克勒夫(S.J. Arakelov)理論中起了基本的作用。

唐納森(S.K. Donaldson)用的情形證明了關(guān)于代數(shù)曲面上埃爾米特-楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)存在性的唐納森-烏倫貝克(K. Uhlenbeck)-丘定理。

當(dāng) i = 1 時,

,

其中  是埃爾米特度量,等式右邊是度量的里奇張量。第一陳類是如此簡潔,這促使卡拉比(E. Calabi)提出了他的著名猜想。

陳類的曲率表示意味著陳數(shù)可以通過曲率的積分得到。這使得Hirzebruch可以用局部對稱空間來推導(dǎo)比例性原理,即覆蓋空間與底空間的陳數(shù)之比正比于與體積之比。類似的,這也啟發(fā)我用凱勒-愛因斯坦度量給出了米姚卡-丘不等式的證明。所有這些定理都是以陳類的曲率表示為前提的。

正如陳省身所說的那樣,復(fù)數(shù)域上幾何的簡潔與美妙無論如何也不會被夸大。

陳省身(戰(zhàn)后回國)

陳省身在普林斯頓完成了兩項杰出的工作后,于1946年4月回到中國。國民政府聘請他到中央研究院數(shù)學(xué)研究所,協(xié)助他以前在南開的老師姜立夫。姜立夫擔(dān)任所長,但主要由陳省身負責(zé)數(shù)學(xué)研究所的日常事務(wù)。陳省身講授當(dāng)時拓撲學(xué)研究的前沿課題。有許多學(xué)生和博士后參加他的討論班,包括陳國才、王憲忠、吳文俊、楊忠道、,嚴志達等。許多人后來成為中國數(shù)學(xué)的領(lǐng)軍人物。

陳省身(芝加哥的歲月) 

1948年12月31日,在維布倫和外爾的邀請下,陳省身離開上海,前往普林斯頓高等研究院,并在那里停留了一個冬天。我的印度朋友告訴我,塔塔研究所曾想聘請陳省身,但是沒有成功。陳到普林斯頓后,芝加哥大學(xué)的斯通(M. Stone)教授向陳省身提供了一個教授職位。陳的朋友韋伊在其中起了重要的作用。他很快在芝加哥安頓下來,并與韋伊一起開設(shè)討論班,參加者中有辛格(Singer)、斯特博格(Sternberg)、卡迪森(Kadison)。陳對美國幾何學(xué)影響深遠。辛格一直尊稱陳是他的老師。在這段時期,他培養(yǎng)了幾個杰出的學(xué)生,如廖山濤、沃爾夫(J. Wolf)和野水(Nomizu)。

在1946年發(fā)表了關(guān)于陳類的重要文章后,陳省身詳細研究了示性類的乘積結(jié)構(gòu)。

1951年,他與斯帕尼爾(E. Spanier)合作了一篇關(guān)于纖維叢上吉森(W. Gysin)序列的文章。他們獨立于托姆(R. Thom)證明了托姆同構(gòu)。

分裂原理

陳省身在1953年的文章《關(guān)于復(fù)球叢和代數(shù)簇的示性類》(On the characteristic classes of complex spherebundle and algebraic varieties)中,通過考慮以旗流形作為纖維的相配叢,證明了示性類可以用線叢來定義。作為一個推論,代數(shù)流形的示性類的對偶同調(diào)類包含一個代數(shù)閉鏈的表示。這篇文章提供了理論中的分裂原理,將其與托姆同構(gòu)結(jié)合,就可以給出相配叢上陳類的定義,如同格羅登迪克(A. Grothendieck)后來所做的那樣。

霍奇曾經(jīng)研究過用代數(shù)閉鏈表示同調(diào)類的問題。他考慮過上述陳省身的定理,但只能證明當(dāng)流形是射影空間中非奇異超曲面的完全交時的情況。

陳省身的上述定理是最早的,而且是關(guān)于“霍奇猜想”的唯一已知的一般陳述。它還提供了全純K-理論和代數(shù)閉鏈之間的直接聯(lián)系。

陳與拉蕭夫(R. Lashof)合作研究了歐氏空間超曲面緊貼嵌入(tight embedding)的概念。這項工作后來由柯伊伯(N. H. Kuiper)和班考夫(T. F. Banchoff)做了推廣和延拓。

伯克利的歲月和回歸祖國

1961年,陳省身前往伯克利,直到1979年退休。他退休后還繼續(xù)留在數(shù)學(xué)系任教三年。陳省身和 Smale 來到伯克利的時候,正是伯克利大學(xué)數(shù)學(xué)系崛起成為世界數(shù)學(xué)中心的時期,在 Evens、Tarski、 Morrey、Kelly 等人的努力下,伯克利聘請了許多著名數(shù)學(xué)家。此后,陳省身聘請了許多杰出的幾何拓撲學(xué)家,使得伯克利迅速成為幾何與拓撲學(xué)的中心。

陳省身在伯克利期間培養(yǎng)了許多杰出的學(xué)生,包括 Garland、Do Carmo、Shiffman、Weinstein、Banchoff、Millson、鄭紹遠、李偉光、Webster、Donnelly 和 Wolfson 等。陳的學(xué)生們也受益于陳的朋友和他早期的學(xué)生。比如,Garland 得到王憲宗的指導(dǎo),Millson 得到西蒙斯的指導(dǎo)。陳的個人魅力深刻影響著在伯克利 Campbell 大樓和 Evans 大樓工作的這些杰出幾何學(xué)家群體。伯克利的幾何討論班和研討會總是擠滿了學(xué)生、教員和訪問學(xué)者。眾所周知的是,每個伯克利的訪問學(xué)者都會被陳邀請到中餐館享用一頓難忘的晚宴,或者在他家中受到熱情款待。陳太太總是用中式美食歡迎每一個客人。伯克利的這段時光讓整整兩代幾何學(xué)家銘記。

在伯克利,陳省身與卡拉比和奧瑟曼(R. Osserman)合作研究極小曲面理論。他也嘗試推廣奈旺林納理論,從而發(fā)現(xiàn)了博特-陳形式與陳-萊維-尼倫伯格內(nèi)蘊范數(shù),這些工作在復(fù)幾何中發(fā)揮了意想不到的作用。他與西蒙斯的工作深刻影響了幾何學(xué)與物理,包括扭結(jié)理論。他與莫澤(Moser)關(guān)于復(fù)歐氏空間中實超曲面局部不變量的理論在多復(fù)變函數(shù)論中具有基本的重要性。陳與格里菲思推廣了陳早期在網(wǎng)幾何上的工作。網(wǎng)幾何是陳的老師布拉施克,以及Thomsen創(chuàng)立的,他們注意到平面上的三族曲線纖維化具有局部不變量。陳省身對網(wǎng)幾何鐘愛有加,這從他在1982年為美國數(shù)學(xué)會通報撰寫的文章就可以看出。

在20世紀80年代初期,陳省身與辛格(I.M. Singer)、莫爾(E.H. Moore)共同創(chuàng)建了伯克利數(shù)學(xué)研究所。他退休后返回中國,在南開大學(xué)創(chuàng)辦了陳省身數(shù)學(xué)研究所,對中國數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響。

結(jié)束語

陳省身有著驚人的為重要幾何結(jié)構(gòu)創(chuàng)造不變量的才能,在我所認識的數(shù)學(xué)家中,無人能出其右。他在射影微分幾何、仿射幾何與擬凸域的陳-莫澤不變量的工作展示了他的能力。他與萊維、尼倫伯格定義的復(fù)流形上同調(diào)的內(nèi)蘊范數(shù)還有待發(fā)掘。在他去世前,他的一個主要工作設(shè)想就是把嘉當(dāng)-凱勒系統(tǒng)推廣到更一般的幾何情形。

陳省身曾經(jīng)說:“幾何中復(fù)數(shù)的重要性對我而言充滿神秘。它是如此優(yōu)美簡潔而又渾然一體。”他總是對古代的中國數(shù)學(xué)家從未發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)抱憾不已。令人欣慰的是,陳省身在復(fù)幾何上影響深遠的工作足以彌補過去兩千年中國數(shù)學(xué)的缺憾。

天文學(xué)家將一顆小行星命名為“陳省身星”。希望他的光輝能夠一直照耀未來的中國數(shù)學(xué)家。

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