第25卷,第3期??????????????????????科學(xué)技術(shù)與辯證法Vo.l25??No.32008年6月????????????????????Science,TechnologyandDialectics????????????????????Jun.,2008??科技史??

從張量概念到張量分析

黃??勇,魏屹東

(山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心,山西太原030006)

摘??要:張量分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理學(xué)的基礎(chǔ)工具。從廣義相對論開始,到規(guī)范場論,以至后來的弦理論的建立都得力于張量分析。張量分析所提供的對曲線坐標系的微分方法,真正實現(xiàn)了非歐幾何從概念到演算的革命,而所有這一切都是以張量概念的產(chǎn)生為基礎(chǔ)的,黎曼的新幾何學(xué)觀念是張量概念產(chǎn)生的原動力之一。另一方面,黎曼幾何學(xué)與張量分析的交織發(fā)展體現(xiàn)在許多方面,文章描繪這兩者從起源到成熟的過程中互相促進的歷史。

關(guān)鍵詞:張量;線性變換;協(xié)變微分;絕對微分

中圖分類號:N09??????文獻標識碼:A??????文章編號:1003-5680(2008)03-0080-04

亞瑟??凱萊(ArthurCayley)著力研究的不變量理論(invarianttheory)導(dǎo)致了矩陣理論的建立,引進了現(xiàn)代意義上的行列式的代數(shù)表達,這成為射影幾何的重要工具。凱萊的不變量理論產(chǎn)生于19世紀前半葉的英國著重對代數(shù)及代數(shù)在幾何方面的應(yīng)用研究這樣的背景下。矩陣理論對線性變換的研究引進了向量的代數(shù)定義,而這是張量概念的先導(dǎo)。另一方面,格奧爾格??弗雷德里希??波恩哈德??黎曼(GeorgFriedrichBernhardRiemann)提出的n維流形的概念,這在客觀上提出了深入研究代數(shù)形式的課題。黎曼的幾何思想在拓展幾何學(xué)的同時,提高了代數(shù)在表達幾何對象方面的抽象程度。黎曼之后,在克里斯托弗、里奇和列維-契維塔等人的努力下,形成了張量分析這樣的數(shù)學(xué)方法,黎曼幾何學(xué)也因此而建立起來了。

義,并定義了兩個矩陣的和。凱萊給出了矩陣乘法

的定義,并強調(diào)指出,矩陣乘法是可結(jié)合的,但一般不滿足交換律。

凱萊開創(chuàng)的矩陣代數(shù)在19世紀沿著兩個方向發(fā)展,一個是抽象代數(shù)結(jié)構(gòu),另一個則被用于幾何學(xué)上。凱萊以代數(shù)觀點研究幾何,他的方法建立在不變量問題基礎(chǔ)上,對代數(shù)形式(齊次多項式)做出了幾何解釋,證明了度量概念能夠用射影語言來表達。他對歐氏幾何與射影幾何關(guān)系的研究,使他得出了關(guān)于圖形度量性質(zhì)的新意義。凱萊從平面上的點可以用齊次坐標表示的事實出發(fā),定義了距離與角度。凱萊證明,矩陣代數(shù)表達的關(guān)于距離與角度的公式,可化成歐氏幾何中的相應(yīng)公式。

矩陣代數(shù)的另一個方向是關(guān)于抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的不變量的研究。凱萊在數(shù)學(xué)上最早、最重要的工作之一,是創(chuàng)立不變量理論。凱萊在1843年發(fā)表?關(guān)于物體的旋轉(zhuǎn)運動#一文,開始計算n次型的不變量,探求在線性變換下n次型的不變量???線性變換后保持形式不變。凱萊的不變量理論建立在他獨自發(fā)展的矩陣理論基礎(chǔ)之上,凱萊的矩陣代數(shù)方法,掃清了數(shù)學(xué)進化的道路。凱萊對不變量理論的研究

一??凱萊的向量代數(shù)定義的張量內(nèi)涵

凱萊的開創(chuàng)性工作是矩陣論。1841年,凱萊在論文 關(guān)于位置幾何的定理!中引進了矩陣的基本概念和運算,在此之后,凱萊系統(tǒng)研究了矩陣理論。1858年發(fā)表 矩陣論的研究報告!一文,引進了矩陣的基本概念和運算,給出了零矩陣、單位矩陣的定

%收稿日期&??2007-12-13

%作者簡介&??黃??勇(1969-),男,四川樂山人,科學(xué)史博士生,研究方向為數(shù)學(xué)史;

魏屹東(1958-),男,山西永濟人,山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心教授,博士生導(dǎo)師,研究方向為科技史。

與前人工作的分野在于他是通過不變量理論來研究、解決幾何問題,他對射影幾何的突出貢獻就是在這樣的思想指導(dǎo)下完成的。

這些方面的工作逐漸導(dǎo)向了對線性變換新的研究。凱萊引入的n?n矩陣的特征方程的概念,成為凱萊研究線性變換理論的先導(dǎo)。運用矩陣代數(shù)方法,凱萊對線性變換進行了研究,從而引向了向量的代數(shù)定義。1845年,凱萊發(fā)表 線性變換理論!一文,探討求不變量的方式,給出了如何求n次齊次函數(shù)的不變量的計算方式。1846年,凱萊發(fā)表 論線性變換!一文,引入了 協(xié)變量!(covariance)的概念,找到了求不變量的一般方法。凱萊表述了在一般意義下的代數(shù)不變量問題,深入研究了求不變量的一般方法,構(gòu)造了處理不變量的符號系統(tǒng),并且得到了一系列重要結(jié)果。

[1]

講,這篇就職演說是黎曼幾何學(xué)的源頭。黎曼提出了n維微分流形的原始形式,從幾何角度引進了抽象空間

[2]

,與凱萊、西爾維斯特、格拉茲曼等人從代

數(shù)角度建立抽象空間互相補充,揭開了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的帷幕。黎曼創(chuàng)立的黎曼幾何學(xué),開辟了現(xiàn)代幾何學(xué),乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新路徑。

黎曼主要研究幾何空間的局部性質(zhì),他采用微分幾何的途徑,建立了一般的抽象幾何空間。黎曼

引入流形的概念,流形中的一個點可以用n個可變參數(shù)的一組數(shù)值來表示,所有這些點的全體構(gòu)成流形,這個可變參數(shù)稱為流形的坐標,黎曼定義了流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角,并以這些概念為基礎(chǔ),研究了流形的幾何性質(zhì),并定義了度量曲面彎曲程度的曲率。

黎曼在1854年的著名演說中提出的二次形式(gijd??id??j,由黎曼本人在1861年提交給法國科學(xué)院的論文中,采用線性變換不變量的方法,對這個二次形式進行了研究。實際上,黎曼找到了黎曼曲面曲率的張量表達。

黎曼深刻的思想打開了曲線微分運算的大門,他提出一般空間的度量形式;提出 流形!概念;對流形的度量形式進行微分運算,以得到給定空間的曲率。黎曼的新思想把通常熟悉的三維空間推廣到n維空間中的m維可微流形,黎曼的高維空間思想發(fā)展了高斯的內(nèi)蘊微分幾何學(xué)的思想,他把高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊幾何推廣為任意空間的內(nèi)蘊幾何。流形不依賴于外圍空間,它本身是可以彎曲的,因此每一點在該空間中的局部不一定相同。這種空間的非歐性質(zhì)提出了新的問題:傳統(tǒng)的微分幾何方法是在笛卡爾空間中進行的微分運算,坐標軸都是直線。而黎曼空間要求曲線坐標系,從而引起了微分運算的困難,因為直線坐標系中函數(shù)的偏微分是易于表達的,而曲線坐標系的基向量也要同時被微分,這是一個困難。要想解決這個問題,必須要有張量這個運算工具,因此,黎曼的思想在很大程度上推動了張量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。

黎曼關(guān)于任意維數(shù)的幾何空間以及曲坐標中多變量微分的理論,導(dǎo)致了張量、外微分及聯(lián)絡(luò)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法的建立。愛因斯坦以黎曼幾何為基礎(chǔ),建立了幾何化的引力理論。現(xiàn)在,黎曼幾何已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理學(xué)的基礎(chǔ)。

凱萊對代數(shù)形式的不變量研究,使得凱萊明確了向量的代數(shù)意義,其重要意義是表示了向量在坐標變換下的不變性,為張量概念的引進鋪平了道路。凱萊的貢獻是很重要的,一方面他引進了線性變換的研究;另一方面,他對不變量理論的新方法提供了向張量數(shù)學(xué)發(fā)展的途徑。事實上,里奇最終能夠?qū)崿F(xiàn)絕對微分學(xué)的張量表達,在很大程度上依賴凱萊

的工作。

二??黎曼的幾何思想的張量內(nèi)涵

19世紀后半葉,幾何學(xué)這種用來表征自然的語言正在發(fā)生著質(zhì)的變化,產(chǎn)生這種變化的原因有三點:其一,非歐幾何思想的產(chǎn)生打破了空間平直的僵硬觀念;其二,向量分析建立起來,幾何方法暨解析幾何之后,有了新的實質(zhì)突破;其三,黎曼發(fā)表劃時代演說,高維、彎曲空間概念在凱萊的代數(shù)層面研究之后,有了幾何學(xué)的意義。在這樣的背景下,新的幾何學(xué),也就是后來被稱為黎曼幾何的數(shù)學(xué)分支開始了從概念階段到可計算階段發(fā)展的歷程,而真正實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)變的是張量分析方法的建立。新幾何學(xué)提供了這樣一種方法:在高維的、曲線的坐標系中,如何進行微分運算。其中,最重要的是曲線坐標系的微分方法???絕對微分法的建立?，F(xiàn)代科學(xué)自廣義相對論之后的發(fā)展,尤其是弦理論的成果,充分證明了這種方法在表征自然方面的強大能力。

黎曼開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究是幾何史上一場深刻的革命,他提出的后來以其名字命名的幾何體系,對現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。1854年,黎曼為了取得哥廷根大學(xué)講師的資格,作了一次題為?關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)#演

三??張量分析方法成為黎曼幾何學(xué)的核心

1869年,克里斯托夫(E.B.Christoffel)通過建立以他的姓命名的兩類克里斯托夫符號和協(xié)變微分

概念,解決了黎曼幾何中的基本問題。在此基礎(chǔ)上里奇(G.Ricci)發(fā)展了絕對微分法(后來稱為張量分析方法),這在廣義相對論中起了基本數(shù)學(xué)工具的作用。1915年,愛因斯坦(A.Einstein)運用黎曼幾何和張量分析工具創(chuàng)立了新的引力理論???廣義相對論,使黎曼幾何及其運算方法(里奇算法)成為廣義相對論研究的有效數(shù)學(xué)工具。

(一)從曲率張量到絕對微分法

克里斯托夫符號是對曲線坐標系中向量進行求導(dǎo)運算的符號。最早嘗試尋找這種求導(dǎo)運算方法的是黎曼,在1861年的論文中

[3]

前提,非歐幾何的可計算階段已經(jīng)實現(xiàn),黎曼幾何已經(jīng)成形了。 克里斯托夫引進的這兩個概念的重要意義至少在于:幫助建立曲率張量和協(xié)變微分概念;使得里奇可以借助他的工作發(fā)展出絕對微分學(xué);使得愛因斯坦在物理學(xué)中構(gòu)造張量分析方法。!Civita)合寫了?絕對微分法及其應(yīng)用#

[7]

[6]

1901年,里奇和他的學(xué)生列維-契維塔(Levi-,總結(jié)了里

奇在這個領(lǐng)域的成果,成為張量分析的經(jīng)典著作。這篇論文不僅給出了這一算法的綜合論述,而且還用這一獨特算法給出在黎曼彎曲空間下的幾何性質(zhì)和物理規(guī)律的表示。由于絕對微分學(xué)研究協(xié)變關(guān)系,即從一個坐標系變到另一個坐標系后仍然保持不變的關(guān)系,這一特征使絕對微分學(xué)成為愛因斯坦廣義相對論的有效的數(shù)學(xué)工具。 各種非歐幾何在羅巴切夫斯基,凱萊,貝爾特拉米以及許多人之后的發(fā)展,已經(jīng)顯示出平行假設(shè)的變化。而黎曼打開的建立在微分形式上的方法,以及克里斯托夫建立的新概念,到了里奇那里,完成了曲線微分方法的總結(jié)性工作。!

[8]

,黎曼計算了給定度

量(gijd??id??j的空間中曲率的計算方法,為此黎曼引進了一類特殊的量Pijk,也就是類似于后來的克里斯托夫符號的表達方式。

黎曼的1861年論文中所使用的技術(shù)是凱萊引進的線性變換不變量方法。他所考慮的問題是:在什么條件下,可以通過方程組把ds=i,(gijdxidxj變j=1換成ds)=i,(hijdyidyj。為了解決這個問題,黎曼在j=1這篇32頁的論文中,引進了一個符號Pijk,這個符號也就是后來所謂的協(xié)變微分。黎曼對n維流形的線素:ds)=(bl,l)dsldsl)的平方根進行微分,最終得到:,l)l

al,?? al) al,l),??

P??,l,l)=+-l)l 這與Christoffel符號:

g?? g#? g?#

!?#,?=(+-)

2#??

本質(zhì)上是一樣的。

黎曼開創(chuàng)的幾何學(xué)的新思想在很大程度上影響了數(shù)學(xué)的面貌。 (黎曼)的分析技術(shù)包括度量和曲率張量,他在幾何領(lǐng)域創(chuàng)造了富有意義的變革,并且

改變了幾何問題的前景。黎曼的觀點主導(dǎo)了微分幾何,直到嘉當學(xué)派引進活動標架法。!

[4]

22

n

2

n

(二)張量分析實現(xiàn)了黎曼的幾何思想黎曼幾何作為非歐幾何的一種,它與羅巴切夫斯基幾何相比,有著實質(zhì)性的不同。羅氏幾何主要工作是建立了一整套區(qū)別于歐幾里得的?幾何原本#的邏輯體系;而黎曼幾何的核心問題是以微分

幾何為基礎(chǔ),建立曲線坐標系中的微分方法。羅氏幾何是第一個被提出的非歐幾何學(xué),它的基本觀點是:第一,第五公設(shè)不能被證明;第二,可以在新的公理體系中展開的一連串推理,得到一系列在邏輯上無矛盾的新的定理,形成新的理論。羅氏幾何學(xué)的公理系統(tǒng)區(qū)別于歐式幾何學(xué)之處,僅僅是把歐式幾何平行公理改為: 從直線外一點,至少可以做兩條直線和這條直線平行!。黎曼幾何與羅氏幾何的平行公理相反: 過直線外一點,不能做直線和已知直線平行!。也就是說,黎曼幾何規(guī)定:在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點,黎曼幾何學(xué)不承認存在平行線。很自然就有另一條公設(shè):直線可以無限延長,但長度是有限的,這可以類比為一個球面。

黎曼幾何是通過微分幾何的途徑建立起來的,因此與羅氏幾何根本不同。黎曼幾何學(xué)的公理體系引進了一種 彎曲的!幾何空間(它可以通過拉梅引進的曲線坐標系描述),黎曼在構(gòu)想這種幾何學(xué)的時候,就想設(shè)法建立起相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。這個目標黎曼本人沒有實現(xiàn),但沿著他開辟的道路,克里斯托夫和里奇完成了新幾何學(xué)的構(gòu)建。換句話說,張量

克里斯托夫直接繼承了黎曼的思想,所不同的是,克里斯托夫雖然和黎曼一樣是從二次微分形式開始的,但是他不是計算流形的曲率,而是考慮局部等價問題(thelocalequivalenceproblem)導(dǎo)出了協(xié)變微分公式。克里斯托夫在1869年發(fā)表?二次微分形式的變換#

[5]

一文,開始研究Christoffel符號,這

篇論文考察了兩個n變量實二次微分形式互相變換的條件?？死锼雇蟹蜃C明了等價變換是由一個點的初始值決定的。論文中克里斯托夫引進了曲率張量的分量Rbcd,Ra

abcd

,并且建立了曲率張量方程。

這些結(jié)果為里奇建立絕對微分法準備了必要的

分析構(gòu)成了黎曼幾何學(xué)的核心內(nèi)容。這表現(xiàn)在若干方面:1.黎曼空間中的曲率是一個張量,其有關(guān)運算需采用絕對微分法;2.黎曼空間的度量以度量張量表達;3.黎曼空間的 平行!定義為標積保持不變(即平行被定義為與曲線的夾角保持不變),依賴克里斯托夫符號;4.黎曼空間的 直線!(短程線)方程的建立依賴協(xié)變微分。

正因為有了張量分析這個工具,黎曼幾何才獲得了類似于微積分一樣的計算功能,從而擺脫了停留在邏輯構(gòu)造層面上的束縛,從根本上與微分幾何實現(xiàn)了傳承,并實現(xiàn)了微分幾何從直線坐標系到曲線坐標系的進步,使得幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)更緊密地聯(lián)系起來。

對三維曲面的研究轉(zhuǎn)向了n維流形的性質(zhì)。這是張量概念的起源時期,在此之后,克里福德、李普希茲、貝爾特拉米繼續(xù)進行了研究,是張量數(shù)學(xué)發(fā)展的第二階段;最終建立張量分析的是克里斯托夫、里奇??庫爾巴斯特羅、列維??契維塔,而愛因斯坦和格羅茲曼實現(xiàn)了張量分析的物理意義。

另一方面,向量的平移不變的性質(zhì)為微分幾何的研究提供了便利,微分幾何需要揭示曲線和曲面的內(nèi)在性質(zhì),這種性質(zhì)既與坐標系的選擇無關(guān),又與參數(shù)的選擇無關(guān),向量這種函數(shù)恰好滿足這種要求,所以微分幾何離不開向量分析的方法。上面說過,向量分析是直角坐標系(也就是笛卡爾空間)中的分析,可是,在后來的發(fā)展中,微分幾何對曲線、曲面等幾何對象的研究漸漸形成了擺脫直角坐標系,而直接在曲面上尋找基向量,建立坐標系的方法,從而形成了彎曲空間的概念。自黎曼開始,微分幾何開始向高維、彎曲空間發(fā)展。

要而言之,張量分析的產(chǎn)生一方面是向量分析的推廣,另一方面是微分幾何的發(fā)展推動。張量分析與黎曼幾何在相互交織中發(fā)展,互相促進。

%參??考??文??獻&

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四??結(jié)束語

19世紀中葉,數(shù)學(xué)經(jīng)歷了深刻的變革,在空間觀念、微分運算、符號抽象等方面極大地進步了。此前數(shù)學(xué)的發(fā)展更多地表現(xiàn)為循序漸進的模式,而在此之后,則體現(xiàn)了一種根本性的轉(zhuǎn)變,被數(shù)學(xué)史家稱為 數(shù)學(xué)的解放!。19世紀初非?；钴S的研究領(lǐng)域是這種轉(zhuǎn)變的源動力,構(gòu)成了突破式發(fā)展的前史。

這些領(lǐng)域包括:1、愛森斯坦、柯西關(guān)于方程論的矩陣理論,簡潔地表達了方程組,為向量的代數(shù)化準備了工具;2、高斯建立在內(nèi)蘊微分幾何基礎(chǔ)上的非歐幾何理論。高斯不同于薩凱里、蘭博特、波爾約、羅巴切夫斯基等人對非歐幾何的研究,他從微分幾何關(guān)于曲面的研究中自然地得出他的非歐幾何概念,而不是和他的同輩一樣局限在建立非歐幾何的邏輯基礎(chǔ),高斯開拓了非歐幾何的更有意義的研究方向;3、哈密頓提出四元數(shù)理論之后,由泰特和麥克斯韋發(fā)展出的向量分析,即建立在向量基礎(chǔ)上的微積分運算,是解析幾何之后,幾何的代數(shù)化方面實質(zhì)性的突破。

這些領(lǐng)域的研究打破了三維、平直的歐幾里得空間觀念,為后來引進高維、彎曲的坐標系,以及曲線坐標系中的微分運算,奠定了基礎(chǔ)。從1840年代, 數(shù)學(xué)的解放!開始了,解放的結(jié)果是代數(shù)與幾何高度融合,發(fā)展出被稱為 張量演算!(即曲線坐標系中廣義向量的微分運算)的數(shù)學(xué)方法,這使得建立方程的能力大大提高了。

數(shù)學(xué)解放的開端時期大致在1841年到1854年間,分別由凱萊和西爾維斯特在矩陣論、格拉茲曼在向量理論、黎曼在微分幾何領(lǐng)域,提出革命性的觀點和理論。他們改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展方向:凱萊將矩陣論從方程論轉(zhuǎn)向了變換理論;格拉茲曼將向量理論轉(zhuǎn)向了n維向量空間的研究;黎曼將內(nèi)蘊幾何

(責(zé)任編輯??邢潤川)

andbereconstructedontheholisticnotionofthehumanculturalsystem.

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Marx?stechnologythoughtisthemaintributaryandtheorganiccomponentpartofMarx?sthoughtsystem.ThisarticlehasprovedtheexistenceofMarx?stechnologythought,roughlycardedthemainliteratureofMarx?stechnologythought,outlinedthebasiccharacteristicsofMarx?stechnologythought,andputforththeprinciplesandmethodsininterpretingMarx?stechnologythought.ThewriterthinksthatgivingMarx?stechnologythoughtacomprehensivecardingshouldbeanmportanttaskinconteimporary.

PhilosophicComprehensionaboutPossibleWorldsofTechnology

JUNai-q,iXINGRun-chuan,WANGZhi-yuan????55??

Possibleworldsoftechnologymeantechnologicalfuturestatesthatwillbebuiltandmoldedbysocietyfrommanypos??sibletechnologiescomingoutofthepracticaltechnologicalworld.Thepossibleworldsoftechnologywhicharebasedonlog??icimplication,

informationtechnologyandbiologictechnologyarethethreebasictechnologicalpatterns.Developmentin

thepossibleworldsoftechnologyshowsthattechnologicalpracticeisthecoursethoughwhichnaturalmysteryisopenedoutandvitalcharmiswipedout,andthatthewholeuniverseiswheretechnologybothexistsandiscreated.Fictitioustechnol??ogyopenswindowsthroughwhichsubjectunderstandstheouterworld.Thatis,theworldistheoneoftheobserverhim??sel.fTechnologyprecedesscience,thusitshouldbeputintoastrategicpositionforustolayoutandstudytechnology.

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