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多才多藝的數(shù)學(xué)大師—萊布尼茨

 果果sb5k1wobpv 2018-09-10

萊布尼茨和牛頓都是公認(rèn)的微積分創(chuàng)始人,但由于一些原因,萊布尼茨的知名度并不如牛頓。我們縱觀萊布尼茨的一生,發(fā)現(xiàn)他在眾多領(lǐng)域中都有卓越的貢獻(xiàn),這些領(lǐng)域除了數(shù)學(xué)之外,還包括物理、政治、歷史、法律、文學(xué)、哲學(xué)、宗教等等。萊布尼茨在他的那個(gè)時(shí)代,當(dāng)之無(wú)愧是樣樣皆通、多才多藝的大師。同時(shí),他的思想和成就也影響深遠(yuǎn),直至今日。

多才多藝的數(shù)學(xué)大師—萊布尼茨

1646年7月1日,萊布尼茨出生于德國(guó)萊比錫的一個(gè)書(shū)香門(mén)第,父親是萊比錫大學(xué)的倫理學(xué)教授。在這樣良好的氛圍中,萊布尼茨從小就顯露出非凡的天賦。而相較于學(xué)校里枯燥的學(xué)習(xí),萊布尼茨更喜歡待在家里自學(xué)。通過(guò)自學(xué),他很快就掌握了拉丁文和希臘語(yǔ),還從父親的藏書(shū)中找到了對(duì)歷史的濃厚興趣。15歲時(shí),萊布尼茨進(jìn)入萊比錫大學(xué)主修法律,同時(shí)學(xué)習(xí)歷史和哲學(xué)。在這里,萊布尼茨逐漸接觸到了伽利略和笛卡爾等人的著作,他們的著作與前人注重思辨和邏輯不同,更多的是通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)進(jìn)行分析,這給了萊布尼茨耳目一新的感覺(jué),于是他又開(kāi)始學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué),尤其是幾何學(xué),因?yàn)闅W式幾何嚴(yán)密的體系深深引發(fā)了萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

多才多藝的數(shù)學(xué)大師—萊布尼茨

大約在這個(gè)時(shí)候,一種“普遍數(shù)學(xué)”的想法在萊布尼茨頭腦中開(kāi)始形成,他想利用數(shù)字和符號(hào)來(lái)進(jìn)行思考,從而擺脫語(yǔ)言的不確定性。他覺(jué)得笛卡爾重視代數(shù)方法是很正確的,但他也認(rèn)為代數(shù)不應(yīng)僅僅局限在表示數(shù)量關(guān)系上,還可以用在邏輯推理上,以代數(shù)運(yùn)算代替推理過(guò)程。為此他連夜將自己的想法寫(xiě)了下來(lái),完成了一篇名為《論組合的藝術(shù)》的論文。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的研究,萊布尼茨獲得了一些今天邏輯代數(shù)中的結(jié)果,而且直接或間接地提出了“邏輯和”、“邏輯積”、“空集”和“包含”等一系列重要概念。萊布尼茨也意識(shí)到自己想法的不成熟,將自己的論文戲稱為“學(xué)童論文”。但事實(shí)上,萊布尼茨已經(jīng)可以看做數(shù)理邏輯學(xué)的創(chuàng)始人。

多才多藝的數(shù)學(xué)大師—萊布尼茨

萊布尼茨關(guān)于法律的博士論文深受當(dāng)局賞識(shí),于是他得以進(jìn)入政府工作,然而這也恰恰為其悲劇性的人生結(jié)尾埋下了禍根。作為王公貴族的官員,萊布尼茨疲于奔命,完成各種意義不大的任務(wù),大部分時(shí)間都在路上,很多時(shí)候只能在馬車(chē)?yán)飳?xiě)下他的想法。這段時(shí)間內(nèi),萊布尼茨幾乎停下了對(duì)數(shù)學(xué)的思考。

1672年,萊布尼茨出使巴黎,這次經(jīng)歷徹底影響了他的一生,因?yàn)樗龅搅艘粋€(gè)重要人物—惠更斯。萊布尼茨會(huì)見(jiàn)惠更斯的時(shí)候,得知了他利用數(shù)學(xué)方法證明了復(fù)擺的等時(shí)性,這使得萊布尼茨更加看到了數(shù)學(xué)的強(qiáng)大威力。于是萊布尼茨請(qǐng)求惠更斯給他上課,惠更斯面對(duì)這么一位聰明絕頂?shù)膶W(xué)生,一下子就欣然接受了。之后萊布尼茨跟隨惠更斯學(xué)習(xí)到了大量數(shù)學(xué)知識(shí),接觸了很多大師著作,為之后的成就奠定了基礎(chǔ)。

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1673年,萊布尼茨來(lái)到倫敦,結(jié)識(shí)了巴羅和牛頓等人,進(jìn)行了一些深入的思想交流。特別是巴羅關(guān)于變量局部關(guān)系的工作給他留下了深刻印象。恰巧在這時(shí),萊布尼茨接觸到了帕斯卡的著作《四分之一圓的正弦論》,文中以小圓弧代替切線,求出來(lái)了斜邊為圓弧的“梯形”面積,這給了萊布尼茨很大的啟發(fā)。萊布尼茨自此開(kāi)始對(duì)這類問(wèn)題不懈的研究,寫(xiě)就了大量手稿。1675年,他完成了自己第一篇關(guān)于微積分的論文《切線的相反方法的例子》,文中明確斷言,積分和微分是互逆過(guò)程,這也就是后來(lái)著名的牛頓-萊布尼茨公式的雛形。第二年,萊布尼茨又提出,求切線的關(guān)鍵就是求曲線斜率,也就是導(dǎo)數(shù)。

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接下來(lái)幾年,萊布尼茨再接再厲,給出了函數(shù)的和、差、商、積的求導(dǎo)公式,還有冪函數(shù)的求導(dǎo)與積分法則,后來(lái)萊布尼茨還得到了微積分的一系列應(yīng)用成果。不僅如此,萊布尼茨對(duì)微積分的另一大貢獻(xiàn)就是他的符號(hào)系統(tǒng),如今微積分的大部分記號(hào)均出自萊布尼茨之手。萊布尼茨是歐洲大陸學(xué)派的奠基人,后來(lái)這一學(xué)派在伯努利家族的發(fā)揚(yáng)下,為科學(xué)發(fā)展做出來(lái)大量貢獻(xiàn)。而此時(shí)的英國(guó)科學(xué)因?yàn)榕nD與萊布尼茨之爭(zhēng),幾乎斷絕與歐洲大陸的交流來(lái)往,造成了在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)落后的不利局面。

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在數(shù)學(xué)上除了微積分之外,萊布尼茨的另一大貢獻(xiàn)就是他關(guān)于計(jì)算機(jī)的研究,但由于歷史因素,這一方面的成果并不廣為人知。“普遍數(shù)學(xué)”的思想一直在萊布尼茨頭腦中縈繞,他想以代數(shù)運(yùn)算代替推理過(guò)程,使思維自動(dòng)化,也想讓單調(diào)重復(fù)的運(yùn)算機(jī)器化,以便提高數(shù)學(xué)效率。1642年帕斯卡曾設(shè)計(jì)出了一種可以進(jìn)行10進(jìn)制加減運(yùn)算的計(jì)算機(jī),萊布尼茨受此啟發(fā),在1671年設(shè)計(jì)出了可以進(jìn)行加減乘除和開(kāi)平方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)。即使還未真正造出來(lái),萊布尼茨的計(jì)算機(jī)就已經(jīng)引起了巨大轟動(dòng),等真正制造完成的時(shí)候,很多人都迫不及待地想一睹真容。但萊布尼茨并不滿足于此,他覺(jué)得平常的10進(jìn)制在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來(lái)過(guò)于復(fù)雜,于是開(kāi)始尋求一種簡(jiǎn)單的表示方法,二進(jìn)制也就這樣誕生了,這是萊布尼茨對(duì)科學(xué)的另一大重要貢獻(xiàn)。萊布尼茨對(duì)中國(guó)文化特別癡迷,尤其是《周易》這樣的著作。有意思的是,萊布尼茨為了表達(dá)自己對(duì)中國(guó)文化的推崇,曾經(jīng)把自己的計(jì)算機(jī)當(dāng)做貢品進(jìn)獻(xiàn)給了當(dāng)時(shí)的康熙皇帝。

多才多藝的數(shù)學(xué)大師—萊布尼茨

在萊布尼茨和牛頓的時(shí)代,數(shù)學(xué)只是哲學(xué)的一部分,而萊布尼茨的研究范圍自然也包括哲學(xué)。萊布尼茨在哲學(xué)上以他的“單子論”著稱,他認(rèn)為萬(wàn)物的基礎(chǔ)是單純的、不可擴(kuò)展的精神實(shí)體—單子,這也就是無(wú)限小的思想。20世紀(jì)60年代左右,美國(guó)邏輯學(xué)家魯濱遜等人以數(shù)理邏輯的模型和方法發(fā)展了無(wú)限小的思想,建立了分析下非標(biāo)準(zhǔn)模型,對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。萊布尼茨是德國(guó)古典哲學(xué)的先驅(qū),也是客觀唯心主義的代表人物,他的哲學(xué)思想中總是有辯證法的影子。

萊布尼茨作為律師和法學(xué)家(其實(shí)這才是他的本職工作)同樣聲名赫赫。他為新興的資產(chǎn)階級(jí)積極宣傳法制思想,并且在歷史上首先提出了國(guó)際法,為法律的發(fā)展做出來(lái)了諸多有影響的貢獻(xiàn)。而對(duì)于科學(xué),他不僅是先驅(qū),也是領(lǐng)導(dǎo)。他創(chuàng)建了柏林科學(xué)院并擔(dān)任第一任院長(zhǎng),而且還幫助俄國(guó)籌辦了圣彼得堡科學(xué)院,這兩個(gè)機(jī)構(gòu)都在今后的科學(xué)發(fā)展中扮演了中心角色。當(dāng)然,萊布尼茨的貢獻(xiàn)絕不僅僅局限于這些,我們所提到的也只是冰山一角。據(jù)統(tǒng)計(jì),萊布尼茨一生曾在41個(gè)不同的領(lǐng)域留下過(guò)自己的足跡,如今很多學(xué)科都尊萊布尼茨為創(chuàng)始人和開(kāi)拓者。

多才多藝的數(shù)學(xué)大師—萊布尼茨

而與光輝成就形成鮮明對(duì)比的卻是他凄涼的晚年。萊布尼茨的一生,說(shuō)到底都在為王公貴族服務(wù),而自己則只是他們的一枚棋子。作為漢諾威王國(guó)的外交官和不倫瑞克家族的管理人,他為此消耗了大量精力,貢獻(xiàn)了一生,晚年時(shí)的他已經(jīng)老態(tài)龍鐘和疾病纏身了,還被外界與牛頓的爭(zhēng)論折磨得痛苦不堪。1714年,他的東家—漢諾威選帝侯喬治一世興致勃勃地前往英國(guó)繼承王位,萊布尼茨仍然放不下對(duì)名利的追求,非常盼望能夠一同前往,可以安度晚年。但已經(jīng)沒(méi)有任何利用價(jià)值的萊布尼茨遭到了拒絕,喬治一世隨便地打發(fā)他在漢諾威的圖書(shū)館里編修不倫瑞克家族的家譜,讓他和這些無(wú)聊的東西共度晚年。想起曾經(jīng)的輝煌,不知此時(shí)的萊布尼茨心中究竟有多凄涼!

1716年11月14日,奔波一生且終身未娶的萊布尼茨在漢諾威悄無(wú)聲息地離開(kāi)了人世。與牛頓萬(wàn)眾矚目的國(guó)葬相反,參加萊布尼茨葬禮的只有他的秘書(shū)和幾個(gè)掘墓的工人,沒(méi)有送葬隊(duì)伍更沒(méi)有悼詞。寒風(fēng)蕭瑟,四處?kù)o謐,只有掘土的聲音在空中回響。萊布尼茨終于得以安息……

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