數(shù)學(xué)是科學(xué)的靈魂，而科學(xué)又是技術(shù)的源頭，技術(shù)又是生產(chǎn)力增加、生活條件提升的必要條件。

有兩個(gè)問(wèn)題非常典型，說(shuō)出來(lái)大家覺得稀松平常，但真的讓你嚴(yán)格地說(shuō)明為什么，很少有人能給出答案。

• 第一個(gè)問(wèn)題是，比如有兩根電線桿，之間接著一根電線，這電線它一定不是繃直的，它肯定是自然下垂的，那么這根電線如果足夠柔軟，它略微下垂的樣子滿足什么規(guī)律呢？
• 第二個(gè)問(wèn)題，一點(diǎn) A 比較高，比如它是滑梯的頂部，還有一點(diǎn) B 比較低，它是滑梯的底部，那我們?cè)趺丛O(shè)計(jì)滑梯，才能讓一個(gè)小球從 A 滾落到 B 的時(shí)候花費(fèi)的時(shí)間最少呢？

懸鏈線問(wèn)題

第一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在被稱為懸鏈線問(wèn)題。

有記載的，第一個(gè)研究它的是達(dá)芬奇。

雖然現(xiàn)在達(dá)芬奇更多的是以藝術(shù)家的身份出現(xiàn)的，但其實(shí)他在世的時(shí)候更多的是一個(gè)多面手，是一個(gè)雜家。達(dá)芬奇考慮這個(gè)問(wèn)題是出于實(shí)際的需要，因?yàn)槟菚?huì)兒畫畫，不論是畫人還是畫物體，都要盡量的擬真，所以那時(shí)候有些畫家就不惜被判刑，夜里偷偷地去偷尸體作解剖，就想找到肌肉跟骨骼的連接結(jié)構(gòu)，這樣才能更好地把握人體在外部看過(guò)去的細(xì)節(jié)。

達(dá)芬奇有一幅畫叫《抱著銀貂的女子》，女人的脖子上有一串項(xiàng)鏈，但具體這個(gè)項(xiàng)鏈應(yīng)該怎么畫它自然下垂的樣子呢？它垂下來(lái)應(yīng)該是怎么一條曲線呢？達(dá)芬奇當(dāng)時(shí)是想不明白的。

抱著銀貂的女子

這個(gè)問(wèn)題一放就是100年，后來(lái)伽利略出現(xiàn)了，伽利略就猜懸鏈線應(yīng)該是一條開口朝上的拋物線，其實(shí)這只是猜測(cè)，更多地源于這拋物線的外形跟懸鏈線真的很像。

又過(guò)了50年，有一個(gè)17歲的數(shù)學(xué)家叫惠更斯給出了證明，但是他只證明了伽利略在晚年猜的拋物線結(jié)論是錯(cuò)的，正確的應(yīng)該是什么線，惠更斯當(dāng)時(shí)還是不知道的。但這個(gè)時(shí)候距離問(wèn)題解決已經(jīng)不遠(yuǎn)了。

• 惠更斯是在伽利略給出猜測(cè)之后8年證明伽利略是錯(cuò)的，這一年是1646年。而正好是這一年，萊布尼茨出生了，而牛頓也已經(jīng)3歲了。只要這兩位偉人今后長(zhǎng)大了，微積分就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生，之后就能解決這個(gè)問(wèn)題。

后來(lái)牛頓跟萊布尼茨，兩個(gè)人獨(dú)立發(fā)明了微積分，但是對(duì)于誰(shuí)先發(fā)明的卻爭(zhēng)了起來(lái)，而且這兩個(gè)人當(dāng)時(shí)已經(jīng)算是很有名望、很有地位的人了。牛頓是皇家學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)，萊布尼茨，那是跟康熙皇帝有過(guò)書信往來(lái)的人，之后兩個(gè)人的爭(zhēng)吵在歐洲數(shù)學(xué)界掀起了血雨腥風(fēng)。

科學(xué)世家伯努利家族

站在萊布尼茨這邊的幫手最有名的就是伯努利家族，這個(gè)家族不但是一個(gè)等級(jí)比較高的貴族，而且在科學(xué)史上也是赫赫有名。

• 科學(xué)史上統(tǒng)計(jì)，有超過(guò)100個(gè)姓伯努利的人從事了跟科學(xué)或者跟文化有關(guān)的研究工作。

跟牛頓正面對(duì)抗的兩個(gè)伯努利是兄弟兩個(gè)人，哥哥叫雅克布·伯努利，弟弟叫約翰·伯努利，這兩個(gè)人相差了13歲，他們是伯努利家族科學(xué)世家的第一代。

哥哥在巴塞爾大學(xué)任數(shù)學(xué)系教授的時(shí)候，弟弟剛剛?cè)氪髮W(xué)。弟弟約翰從小的數(shù)學(xué)就是哥哥教的，別看弟弟小了13歲，但卻是一個(gè)傲驕的，好勝心非常強(qiáng)，愛吵架的性格。等到他青春期之后，就不愿意再被哥哥壓著了?？墒歉绺邕@些年都習(xí)慣了，當(dāng)著別人介紹的時(shí)候都會(huì)說(shuō)這是我的弟弟，也是我的學(xué)生約翰·伯努利。老這么介紹，就讓弟弟非常不爽，弟弟就覺得自己在數(shù)學(xué)方面的天分比哥哥強(qiáng)得多，只不過(guò)是你大了我13歲而已，學(xué)習(xí)的年頭比我多了。如果給我一樣的時(shí)間，我肯定能夠超過(guò)你。

所以，后來(lái)弟弟不愿意再跟哥哥手下學(xué)數(shù)學(xué)，上了大學(xué)之后，就轉(zhuǎn)而拜萊布尼茨為老師。

在萊布尼茨的手下，約翰·伯努利確實(shí)得到了真?zhèn)?，水平“蹭蹭蹭”地增?3歲的時(shí)候他就發(fā)現(xiàn)哥哥在這1年里一直研究，“一條鎖鏈隨意地懸掛，到底會(huì)出現(xiàn)一條什么曲線？”這個(gè)問(wèn)題，也就是我們剛剛說(shuō)到的懸鏈線問(wèn)題。哥哥研究1年也沒什么進(jìn)展，然后又把這個(gè)問(wèn)題作為一個(gè)有獎(jiǎng)的懸賞發(fā)布出來(lái)了。

懸掛的鎖鏈

通過(guò)有獎(jiǎng)懸賞尋找問(wèn)題的答案，這是科學(xué)史上曾經(jīng)一種國(guó)家對(duì)科研經(jīng)費(fèi)支出的重要形式，最早是從法國(guó)科學(xué)院開始興起的。

就是每年科學(xué)院都會(huì)組織院士在幾個(gè)領(lǐng)域中想出一些關(guān)鍵性問(wèn)題。

一般這些問(wèn)題都是偏重于能馬上跟實(shí)際的應(yīng)用相結(jié)合的，比如說(shuō)求一下這帆船的帆應(yīng)該設(shè)計(jì)成什么樣，才能最大效率地利用風(fēng)能呢？就是這樣的問(wèn)題。然后把問(wèn)題的懸賞發(fā)布出去，等收到回信之后，從里面評(píng)選出一份最佳的答案，然后予以重獎(jiǎng)。每年的參與者都是整個(gè)歐洲成百上千的科學(xué)家。

國(guó)家對(duì)科研經(jīng)費(fèi)的支出，其實(shí)很晚才出現(xiàn)了像今天這樣類似預(yù)付款的形式：

• 就是你先提計(jì)劃，打算干什么，打算要多少錢，干完了之后能出現(xiàn)什么效果，這個(gè)效果價(jià)值幾何，把這些寫在申請(qǐng)材料里頭說(shuō)清楚遞交過(guò)來(lái)。東西先不用做出來(lái)，國(guó)家看完這些申請(qǐng)，依據(jù)它的可行性，然后給它批錢，這是現(xiàn)在的模式。

但是在300年前，都是等問(wèn)題完全解決了之后才把錢發(fā)下去的。

當(dāng)年法國(guó)的一些貴族也效仿科學(xué)院，把自己認(rèn)為有價(jià)值的問(wèn)題以懸賞的方式公布出去，像伯努利家族這么有名望，發(fā)出問(wèn)題之后也有不少的響應(yīng)。懸鏈線問(wèn)題發(fā)布不久之后，收到了很多來(lái)信，大多數(shù)都是錯(cuò)的，但是其中有3封的結(jié)果是正確的：

• 一封來(lái)自萊布尼茨，你想人家是微積分工具的發(fā)明人，自然很有可能解出來(lái)。
• 還有一封來(lái)自惠更斯，雅克布知道，這個(gè)人17歲的時(shí)候曾經(jīng)是只證明了伽利略的懸鏈線結(jié)果是錯(cuò)的，但是當(dāng)年他沒有證明懸鏈線到底是什么，結(jié)果沒想到，現(xiàn)在62歲了，竟然把這個(gè)結(jié)果給求出來(lái)了。這就相當(dāng)于抗日戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束的時(shí)候他出現(xiàn)過(guò)一次，冒過(guò)一次頭，結(jié)果90年代國(guó)企改革的時(shí)候，又再次出現(xiàn)，把這個(gè)問(wèn)題給解決了，真是挺嚇人的。
• 但是更嚇人的還有第三封，它來(lái)自約翰·伯努利，是自己的弟弟。這就讓哥哥倒吸一口涼氣，晚上吃飯的時(shí)候弟弟故意來(lái)問(wèn)哥哥，說(shuō)信收到了嗎？哥哥沒說(shuō)話，只是默默地點(diǎn)了點(diǎn)頭，弟弟就故意感嘆到說(shuō)，真是個(gè)難題，花了我整整一天一夜才得到了答案。而哥哥知道，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)花了自己1年的時(shí)間都沒有解決。

那到底這根線是什么方程呢？

現(xiàn)在我們叫它雙曲余弦函數(shù)，這個(gè)是在理工科本科的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中會(huì)涉及到的。

雙曲余弦函數(shù)

今天我們要從微積分解決懸鏈線的故事中得到一個(gè)什么科學(xué)上的收獲呢？

我想有人可能聽到這個(gè)故事就會(huì)為達(dá)芬奇，為伽利略感到遺憾，他們?cè)趺淳湾e(cuò)過(guò)了這問(wèn)題的解決呢？或者心里多少期待著在達(dá)芬奇那個(gè)年代，怎么米開朗基羅、拉斐爾這些畫家為什么沒有解決這個(gè)問(wèn)題呢？

這種情緒是因?yàn)椴涣私饪茖W(xué)發(fā)展導(dǎo)致的。

項(xiàng)鏈?zhǔn)窃趺聪麓沟?，這個(gè)問(wèn)題說(shuō)出來(lái)好像是一種單擺浮擱的問(wèn)題，但其實(shí)每個(gè)學(xué)科的發(fā)展都是有脈絡(luò)的，具體知識(shí)成果什么時(shí)候出現(xiàn)，是存在先后條件的，數(shù)學(xué)也是如此。

凡是科學(xué)問(wèn)題都存在著這么一個(gè)看問(wèn)題的角度，就是預(yù)先先把它定位，哪怕是在現(xiàn)在，搞科研的人寫論文，格式也都是在討論研究的問(wèn)題之前，先得花一些篇幅說(shuō)明將要討論的這個(gè)問(wèn)題處在這個(gè)領(lǐng)域哪個(gè)階段的研究，在之前都有過(guò)哪些成果，將要討論的內(nèi)容會(huì)觸及到哪些別人從沒有觸碰過(guò)的范圍，將會(huì)在哪兒嘗試作出突破，然后在論文寫完之后，也要做一個(gè)前后呼應(yīng)，這個(gè)突破性的嘗試，會(huì)影響到后續(xù)哪些領(lǐng)域，這個(gè)就是科學(xué)中的定位思考。

以懸鏈線的發(fā)展來(lái)看，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的什么節(jié)點(diǎn)呢？

我們知道，古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)曾經(jīng)達(dá)到過(guò)一個(gè)比較高的巔峰，公元前200年左右，這個(gè)高度大約就是后來(lái)牛頓時(shí)代微積分的水平了。

可是后來(lái)一直在衰退，一直在跌落，跌落到谷底又慢慢回升，在公元1500年，數(shù)學(xué)界的典型水平，就是能夠順利地解決二次方程的各種問(wèn)題了。

在1600年以后，數(shù)學(xué)界就可以順利地解決三次方程，四次方程了，但是這個(gè)距離解決懸鏈線還遠(yuǎn)不夠，它只能等到微積分工具出現(xiàn)之后才可以，也就是大約1680年以后。

以我們現(xiàn)在的高度來(lái)俯視這個(gè)問(wèn)題，懸鏈線的解是一個(gè)超越函數(shù)，而多少次多少次方程，還都只是代數(shù)函數(shù)，這兩種東西的難易程度是不可同日而語(yǔ)的。

微積分工具誕生之前，再天才的人物也不可能解決這個(gè)問(wèn)題，除非這個(gè)天才在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程之中，順手把微積分這個(gè)工具創(chuàng)立出來(lái)才可以。

也許這樣一步一步發(fā)展過(guò)來(lái)的世界顯得不那么奇妙，曾經(jīng)教科書里印象中那些偉大的歷史人物，也不再像從前那么神奇了，他們的偉大，更多是體現(xiàn)在同時(shí)代的對(duì)比上，但這個(gè)才是科學(xué)世界本來(lái)的樣子。