性質(zhì)：過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則。

證明：由題意知，直線若為x軸時(shí)，與題意不符。（1）當(dāng)過焦點(diǎn)的直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為，即，代入方程中得。

設(shè)此方程的兩根為，由韋達(dá)定理得。

（2）當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線方程為，代入得，由韋達(dá)定理得。

例1、過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求證：拋物線在這兩點(diǎn)的切線互相垂直。

分析：過拋物線上的任一點(diǎn)（）的切線方程為。

證明：設(shè)拋物線方程為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交點(diǎn)A（），B（）兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)T。則切線TA與TB的方程分別為，，它們的斜率分別為。由以上性質(zhì)易得，故兩切線互相垂直。

例2、過拋物線焦點(diǎn)F的一條直線與它交于P、Q兩點(diǎn)，過P和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于M。求證：直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸。

證明：因拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)F，P，，M，由題意知P、Q、M三點(diǎn)共線，直線方程為。

當(dāng)時(shí)，，由以上性質(zhì)得，故點(diǎn)M的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，即直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸。

例3、過拋物線焦點(diǎn)F的一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線垂足為S，求證：S、O、Q三點(diǎn)共線。

證明：如圖，設(shè)P（），Q（），則。

故線段OQ的斜率。

又因，，故S的坐標(biāo)為。

設(shè)SO的斜率為，則，于是S、O、Q三點(diǎn)共線。

例4、過拋物線的焦點(diǎn)F，作一條直線垂直于它的對(duì)稱軸，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，線段叫做拋物線的通徑。求通徑的長(zhǎng)。

解析：設(shè)（），（）。

因直線過焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱軸，故，由本文講的性質(zhì)知，故。

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