二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是各地中考考查的一個熱點.需要同學(xué)們熟練地掌握它的基本性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用.

本文就同學(xué)們學(xué)習(xí)本單元過程中的典型問題，借助三件利器“畫圖”“分類”“轉(zhuǎn)化”等方法，幫助同學(xué)們解決學(xué)習(xí)中的實際困難.

一． 借助二次函數(shù)圖像利器解題

無論是哪一種函數(shù)，我們都是通過圖像去研究它的性質(zhì)，然而在同學(xué)們的學(xué)習(xí)過程中，函 數(shù)圖像是最被忽視的一個內(nèi)容.畫二次函數(shù)圖像不僅是研究二次函數(shù)性質(zhì)的工具，也是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要方法.熟練應(yīng)用這一工具可以幫助同學(xué)們在學(xué)習(xí)中獲得邏輯推理、數(shù)形

結(jié)合等思想方法，從而為進一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1.利用二次函數(shù)圖像判斷有關(guān)系數(shù)及代數(shù)式的符號.

例1 （2018綏化中考題）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖像如圖所示，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（4,0），拋物線的對稱軸是x＝1，下列結(jié)論中：①abc＞0②2a+b＝0③方程ax2+bx+c＝3有兩個不相等的實數(shù)根④拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（－2,0）⑤若點A（m，n）在該拋物線上，則am2+bm+c≤a+b+c.

其中正確的有（ ）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個

解析：根據(jù)開口方向，對稱軸，與y軸交點，就能知道a負(fù)，b正，c正得到abc為負(fù)，所以①錯；對稱軸x＝－b/2a＝1，解得2a+b＝0，故②正確；圖像可以看出頂點的縱坐標(biāo)大于3，所以拋物線上有兩個點的縱坐標(biāo)為3，所以③正確；對稱軸是x＝1，一個交點坐標(biāo)為（4,0）所以另一個交點坐標(biāo)為（－2,0）故④正確；a+b+c是x＝1時，所以a+b+c表示的是拋物線的最高點縱坐標(biāo)，故⑤正確.故選B.

2.不求函數(shù)解析式，利用圖像對稱性解題方程

3.利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律解題.

例3（2018紹興中考題）若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間的距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線的對稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線過點（ ）

A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）

【解答】∵某定弦拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴該定弦拋物線過點（0，0）、（2，0），

∴該拋物線解析式為y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．

將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到新拋物線的解析式為y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．

當(dāng)x=﹣3時，y=（x+1）2﹣4=0，

∴得到的新拋物線過點（﹣3，0）．

故選：B．

二、巧用“分類”思想利器解題

1.在不確定函救的類型時，要分類討論.

例4.（易錯題）若關(guān)于x的函數(shù)y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，則a的值為_______．

【解答】∵關(guān)于已知函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，

∴可分如下三種情況：

①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，有a+2=0，

∴a=﹣2，此時y=5x﹣4，與坐標(biāo)軸有兩個交點；

②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時（a≠﹣2），與x軸有一個交點，與y軸有一個交點，

∵函數(shù)與x軸有一個交點，

∴△=0，

∴（2a﹣1）2﹣4（a+2）（a﹣2）=0，

解得a=4.25；

③函數(shù)為二次函數(shù)時（a≠﹣2），與x軸有兩個交點，與y軸的交點和x軸上的一個交點重合，即圖象經(jīng)過原點，

∴a﹣2=0，a=2．

當(dāng)a=2，此時y=4x2﹣3x，與坐標(biāo)軸有兩個交點．

故答案為﹣2，2或4.25.

2.根據(jù)函數(shù)的自變量范圍分類討論解題.

例5.（2018濰坊中考題）已知二次函數(shù)y=﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則h的值為（ ）

A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6

【解答】當(dāng)h＜2時，有﹣（2﹣h）2=﹣1，

解得：h1=1，h2=3（舍去）；

當(dāng)2≤h≤5時，y=﹣（x﹣h）2的最大值為0，不符合題意；

當(dāng)h＞5時，有﹣（5﹣h）2=﹣1，

解得：h3=4（舍去），h4=6．

綜上所述：h的值為1或6．

故選：B．

三、靈活“轉(zhuǎn)化”思想利器破難點

1.根據(jù)二次函數(shù)與方程、不等式三者關(guān)系，互相轉(zhuǎn)化解題.

2.利用二次函數(shù)的觀點的互相變換

例7.（南通中考題）已知x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，且m－n+2≠0，則當(dāng)x=3(m+n+1)時，多項式x2+4x+6的值等于 ________

【解答】∵x=2m+n+2和x=m+2n時，

多項式x2+4x+6的值相等，

∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2，

∴當(dāng)x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3時，

x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3．

故答案為：3．

練習(xí)

1.（2018·朝陽）若函數(shù)y=（m﹣1）x2﹣6x+ 1.5m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為（ ）

A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3

C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3

2.（2018·濱湖區(qū)模擬）二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸下方的部分組成一個“M”形狀的新圖象，若直線y=1/2x +b與該新圖象有兩個公共點，則b的取值范圍為________．

參考答案

1.C．

2. 0＜b＜1或b＜﹣9/16

有疑問留言，關(guān)注本平臺，有更多的增值服務(wù)。