讀者稿件 | 語言、邏輯與邏輯代數(shù)化

汐鈺文藝范 2018-02-28

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作者：陳銳中南大學

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摘要:邏各斯信仰被語言哲學概況為“存在是一”；建立在邏各斯基礎上的形式邏輯推理以文字符號為中介；17世紀，萊布尼茲自創(chuàng)數(shù)學符號取代文字，將傳統(tǒng)邏輯轉化為數(shù)學演算形式，稱為符號邏輯；19世紀英國邏輯學家喬治布爾將符號邏輯的“與”“或”“非”三種基本運算轉化為用二進制符號0、1表示的“邏輯乘”“邏輯加”“邏輯非”三種代數(shù)演算，建立“布爾代數(shù)”；符號邏輯與布爾代數(shù)的運演系統(tǒng)都完全包含并大大超越了形式邏輯系統(tǒng)；進入20世紀，0、1符號成為計算機機器語言的代碼，其基礎運算模式采用的正是布爾代數(shù)；整個演化順序表述為：邏各斯信仰——形式邏輯——符號邏輯——布爾代數(shù)——計算機運算模式，二千年后，西方終于以計算機的形式，完成了對古希臘邏各斯信仰的實踐性論證。

關鍵詞：邏各斯信仰形式邏輯符號邏輯二進制布爾代數(shù) 計算機運算模式

一、邏各斯信仰的語言本質

語言是人類自創(chuàng)的第二自然，古希臘在原始自然崇拜的基礎上，用語詞崇拜取代了傳統(tǒng)多神崇拜，并將這種言說的神圣性稱為“邏各斯”。

（一）從“多”到“一”

和眾多原始宗教一樣，古希臘人的世界觀秉持多神論，希臘神話即宣揚萬物的本源及運行規(guī)律皆由眾神安排。隨著文明進步，希臘的理性哲學家不滿于這種雜多混亂的思維狀態(tài)，他們深信世界的本質是“一”而不是“多”，哲學家的使命就是發(fā)現(xiàn)紛繁現(xiàn)象之下的規(guī)律秩序。

既然“一”是一切的開始，找到構成宇宙的最基本元素就找到了“一”。希臘智者關于世界本源的問題提出了很多假設，赫拉克利特說“宇宙的本源是火”，阿納克西曼德說“世界的本源是氣”，各種推測輪番上陣，又形成了“多”的格局。

物質世界找不到答案，希臘人轉向精神層次的語言。巴門尼德秉持邏各斯信仰，率先提出“存在是一”的觀點。邏各斯是形式邏輯的前身，最初意思是“詞語、言語或規(guī)律”，可以引申為“用語言符號進行推理”的意思，最早的表現(xiàn)形式是希臘語法。在原始互滲律的神秘主義思維指導下，古希臘人認為語言符號具有神性，不可隨意改變，由此將邏各斯發(fā)展為理性、規(guī)律的體系，并賦予了“道”的終極含義，即所謂邏各斯信仰。

（二）在語法中找到“一”

巴門尼德決定從語法角度探尋世界本質，他發(fā)現(xiàn)系詞“是”（be）乃是印歐語系的基本法則，因為任何表達都離不開“某某是某某”的語法形式，既然語言是邏各斯的投射，那么“是”就是通向真理之道。巴門尼德將其真理表述為“存在就是存在，不存在就是不存在”（be也有“存在”、“有”等多重詞義），為后來邏輯學確定了“真”、“假”二元判斷的基本格局。

雖然中文的日常用語不能用“某某是某某”的語式全部概括，比如“我去散步”就不能說成“我是散步”，但著名哲學家鄧曉芒認為，西方的語法可以把“我去散步”還原、變形為“某某是某某”的基本模式，“我去散步”可以還原為現(xiàn)在進行時“我是在散步”(I was taking a walk)。于是，依靠“be”的引導，古希臘人在語言中找到了精神歸宿。

二、形式邏輯——語言的形式化

經(jīng)過不斷探索，邏各斯信仰終于集大成于亞里士多德創(chuàng)造的形式邏輯，發(fā)展為闡述有效推理原則的完整學科。從此，運用各種符號追求信息處理的清晰和確定，成為了西方文明發(fā)展的動力。

（一）從“是什么”的語言糾紛到清晰的幾何學證明

沿著巴門尼德的思路，希臘人意識到，要說清一個事情，傳遞一個消息，乃至尋求宇宙的真理，首先要把“什么是什么”說清楚，也就是把概念定下來，降低信息編碼的隨意性。

蘇格拉底首先開始為事物定義精確概念，他總是問他的雅典同胞“什么是節(jié)制”、“什么是勇敢”、“什么是美”。但語言的模糊性歧義性最終激怒了雅典民眾，蘇格拉底的定義變成了詭辯，探索終以悲劇收場。

柏拉圖吸取教訓，不再街頭辯論。他忽略現(xiàn)實的表象，提出“理念論”。比如，勇敢的本質不在于進攻還是撤退，而在于我們頭腦中有個勇敢的永恒理念。為了擺脫語言的隨意性，柏拉圖又嘗試在倫理討論中引入幾何學論證，以至聽眾聽完柏拉圖有關善的主題演講后，抱怨他談的都是數(shù)學問題。

其實，理念論仍然是“多”。馬有馬的理念，美有美的理念，這些理念互不關聯(lián)，不能統(tǒng)一在一個共同的概念之上。于是，柏拉圖的學生亞里士多德總結出“形式”概念，它比“理念”更純粹，是精神宇宙的最基礎最根本的基座。

亞里士多德發(fā)現(xiàn)，任何物品都有一個形狀，馬匹的形狀、三角形、正方形等等，無論什么形，在我們頭腦中都可以抽象出一個統(tǒng)一的概念——“形式”。因此“形式”才是“一”，他關于形式的規(guī)律描述，就是形式邏輯。

（二）形式邏輯的基本規(guī)則

亞里士多德的形式邏輯，一方面來自對古希臘幾何學證明方法的抽象，另一方面，后來歐幾里得撰寫的《幾何原本》，又明顯地運用了形式邏輯的方法，把幾何學整理成一個嚴密完整的邏輯演繹體系。因此，數(shù)學和邏輯學在思想方法上一開始就息息相通、相互促進，日后發(fā)展為數(shù)理邏輯并非偶然。

形式邏輯在三個層次上進行運作：概念、判斷以及演繹推理三段論法則。最大的特點是撇開具體、個別的思維內容，僅從形式結構方面研究這三者正確聯(lián)系的規(guī)律。這些規(guī)律包括同一律、矛盾律和排中律，也就是說，任何概念、定義、判斷、推理不得違背這三條規(guī)律。

1、“存在是一”——同一律、矛盾律和排中律

同一律是形式邏輯的最核心規(guī)律，就是在思維過程中，必須在同一意義上使用概念和判斷，不能混淆不同的概念和判斷。公式是：“A是A”或“A等于A”?！癆等于A”并非有兩個相同的A，而是只有唯一的A，即“一”。所以叫“同一律”。

矛盾律，通常被表述為A不是非A，或A不能既是B又不是B。

排中律，通常被表述為A是B或不是B。任一事物在同一時間里只能具有某屬性或不具有某屬性，只有“真”、“假”二元，沒有灰色地帶。

2、公理系統(tǒng)——三段論推理法則

推理是通過前提作出必然結論的邏輯形式。亞里士多德的三段論是一個比較完整的演繹推理理論，比如下面顯示的三段論推理中，“人”是中項；“死”是“大項”；“蘇格拉底”是“小項”。包含大項的叫大前提，包含小項的叫小前提。上述的推理可以抽象為公理化形式，用“P”表示“大項”，用“M”表示“中項”，用“S”表示“小項”。這樣就轉化為普遍的公理形式：

大前提: 所有的人都是要死的。所有的M都是P。

小前提：蘇格拉底是人。所有的S都是M。

結論：蘇格拉底是要死的所有的S都是P。

這個公理形式，表現(xiàn)了概念之間的包含關系，由此可見，形式邏輯已經(jīng)具備了一個初級的公理化系統(tǒng)，在本質上與數(shù)學科學建立了溝通基礎。

三、符號邏輯——以數(shù)學語言超越形式邏輯

就語言符號的精確性嚴謹性而言，文字符號顯然遜于數(shù)學符號，且運用領域有限，17世紀時，萊布尼茨提出，應該將人類的思維像數(shù)學運算那樣符號化，規(guī)則化，最后，制造一部可以對符號直接操作的機器，將演算過程機械化、自動化，這也是有關計算機的最早構想。

（一）邏各斯信仰數(shù)學化的構想

與古希臘人的邏各斯信仰一樣，萊布尼茨認為，我們居于其中的紛繁復雜的宇宙遵循著統(tǒng)一的規(guī)律體系，萬物相互關聯(lián)，有著共同本源，而且我們完全可以將這一切還原為一種數(shù)學符號演算。所謂數(shù)學符號，是一種高度抽象化、形式化的人工符號系統(tǒng)，良好的符號可以大大簡化運算的復雜性。萊布尼茲用自創(chuàng)的數(shù)學符號重造一套真值邏輯系統(tǒng)，他將這種符號演算體系稱為“普遍科學語言”，后來被叫做“符號邏輯”。

（二）符號邏輯體系的確立

萊布尼茲的符號系統(tǒng)及演算規(guī)則，不但完全對應于形式邏輯的規(guī)則系統(tǒng)，同時，他還把日常思考和對話也當做一種推理，其結果都可以歸結為對自創(chuàng)符號的數(shù)學演算，大大擴展了邏輯學的研究范疇。

1、命題演算中的符號含義

符號邏輯最基本最重要的組成部分，就是“命題演算”和“謂詞演算”。謂詞演算是命題演算的延伸，我們只介紹命題演算的性質。

命題演算是研究關于命題如何通過一些邏輯連接詞構成更復雜的命題以及邏輯推理的方法。如果我們把命題看作運算的對象，如同代數(shù)中的數(shù)字、字母，把邏輯連接詞看作運算符號，就象代數(shù)中的“加、減、乘”，那么由簡單命題組成復合命題的過程，就可以當作邏輯運算的過程，也就是命題的演算。

萊布尼茲為命題和連接詞都創(chuàng)立了相應的符號庫，篇幅所限，本文僅取個別代表性符號，舉例說明命題邏輯的主旨思路。

萊布尼茲一般用字母表的大寫字母，表示命題的符號，并且設定只有具有確定判斷真、假值的陳述句才是命題。命題判斷只取兩個值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示），萊布尼茲因此成為二進制創(chuàng)始人。比如，P和Q各代表一個命題，符號“P”代表命題“西安是一個城市”，符號“Q”代表命題“5是偶數(shù)”，所以P是真命題，Q是假命題。

除了命題，還要有表示命題間關系的連接詞符號(或稱邏輯算子)，主要包括: ∧、┐、→、∨四種，其中，“與”（∧）、“或”（∨）、 “非”（┐）是基本運算，它們都是只判斷真、假關系的二元運算。

①符號“┐”稱為否定聯(lián)結詞，稱為P的否定式，就是“非”的意思，記作“┐P”讀作“非P”。比如，符號“P”代表命題“西安是一個城市”，則符號“┐P”的意思是“西安不是一個城市”。

②符號“∧” 稱為合取聯(lián)結詞，就是“與”的意思，P與Q的合取式，記作P∧Q，即“P與Q”（或“P并且Q”）。其運算特點是，只有參與運算的二命題全為真時，運算結果才為真，否則為假。比如，設 P代表命題“李平聰明”，Q代表“李平用功”，則符號“P∧Q”的意思是“李平聰明并且用功”。

③符號“∨”稱為析取聯(lián)結詞，與漢語中的聯(lián)結詞“或”意義相近，其運算特點是，只有參與運算的二命題全為假時，運算結果才為假，否則為真。比如，P代表“小王愛打球”，Q代表“小王愛跑步”，則“P∨Q”的意思是“小王愛打球或愛跑步”。

④符號“→”稱為條件聯(lián)結詞。P→Q的意思是“只要P就Q”、“因為P，所以Q”等等。比如，P代表“天下雨”， Q代表“草木枯黃”，： “┐P→Q”的意思是“天不下雨，則草木枯黃”。

2、用命題形式表達同一律、矛盾律、排中律、三段論

形式邏輯的三個規(guī)律以及三段論都可以完美轉化為符號邏輯的演算：

同一律作為符號邏輯思維的規(guī)律，在命題演算中簡單表達為A=A；

排中律作為符號邏輯思維的規(guī)律，是指一個命題是真的或不是真的，沒有其他可能。在命題演算中表達為，A∨┐A（讀作A或非A）；

矛盾律作為符號邏輯的思維規(guī)律，是指任一命題不能既真又不真。在命題演算中表達為，(A∧A)(讀作A并且非A是假的 )。

同樣，三段論也有命題邏輯形式。如果用P表示大前提，Q表示小前提，R表示結論，則P代表“大前提: 所有的人都是要死的”，Q代表“小前提：蘇格拉底是人”，R代表“結論：蘇格拉底是要死的”，如此，三段論的命題演算模式：（P∧Q）→R。

四、邏各斯信仰的實證——布爾代數(shù)啟發(fā)計算機運算模式

（一）符號邏輯的具體模型——布爾代數(shù)

代數(shù)，即代表著量和運算的符號在幾條基本規(guī)則的支配下的數(shù)學演算，具有驚人的簡潔力量。19世紀英國邏輯學家布爾終于將形式邏輯轉換為代數(shù)運算。

1847年，布爾發(fā)表《邏輯的數(shù)學分析》，建立“布爾代數(shù)”，他自創(chuàng)代數(shù)公式，用來表達形式邏輯中的各種概念。這些公式既滿足交換律、結合律、分配律等基本代數(shù)運算規(guī)律，同時也滿足形式邏輯的同一律、排中律、矛盾律、三段論推理，甚至被后人作為現(xiàn)代電路設計的基本法則。

作為萊布尼茲的追隨者，布爾代數(shù)實際是符號邏輯的具體代數(shù)模型。它的基本運算仍然是命題演算中的“與”（∧）、“或”（∨）、 “非”（┐），布爾代數(shù)中稱之為“邏輯乘”、“ 邏輯加”和“邏輯非”。布爾代數(shù)的運算對象只有兩個數(shù)，1和 0，相當于命題演算中的“真”和“假”。

例如：1 0=1，是布爾代數(shù)的“邏輯加”運算，實際上是符號邏輯的“或”（∨）運算的另一種表述。如前所述，“或”（∨）的運算特點是，只有參與運算的二命題全為假時，運算結果才為假，否則為真。意思是“真”與“假”的結果仍然是“真”。一般而言，1代表真，0代表假，所以1 0=1的意思也是“真”與“假”的結果仍然是“真”。同理，0×0=0、0×1=0是布爾代數(shù)的“邏輯乘”，對應符號邏輯的“與”（∧）運算。

（二）布爾代數(shù)——計算0、1的普通代數(shù)

根據(jù)亞里士多德學說，某物總具有某種性質，并用一個類來表示。布爾思考，如果把這些性質和類用符號代替，就具有了代數(shù)的形式。比如，黑色是x，馬是y，那么黑馬就可以用xy來表示。接著布爾發(fā)現(xiàn)，日常邏輯中，黑色和黑色放在一起，仍然是黑色，即xx依然表示的是x。而對于符號邏輯而言，當x表示一個類的時候，xx=x同樣為真，于是xx=x成為布爾代數(shù)的一個基本規(guī)則。

不過布爾又發(fā)現(xiàn)，這個運算規(guī)則與普通代數(shù)運算規(guī)則是不同的。因為在普通代數(shù)中，x與x相乘，必然是xx=x2。布爾繼續(xù)思考，要使xx=x公式在普通代數(shù)中有效，x只能是1或者0，他們在普通代數(shù)的運算表示為0×0=0、0×1=0、1×1=1。所以，所謂布爾代數(shù)就是有關0、1二進制的普通代數(shù)。

（三）形式邏輯的代數(shù)化證明

根據(jù)xx=x公式，布爾進一步推導，xx=x => x-xx = 0 => x(1-x) = 0，如果把0看作空集，1代表全體類，這個結果實際上證明了形式邏輯的矛盾律，即“沒有任何東西可以既屬于又不屬于一個給定的類x”。

接下來，布爾開始用代數(shù)方法論證三段論法則。一個有效三段論的例子可以表示為：

大前提：所有x都是y（xy）所有馬都是動物

小前提：所有y都是z(yz) 所有動物都有生命

結論：所有x都是z(xz) 所有馬都有生命

根據(jù)形式邏輯的原則，所謂“有效”，是指忽略內容，只關注形式推導有效，即不管x、y、z是驢是馬，只要兩個前提為真，結論也為真。現(xiàn)在我們用布爾代數(shù)證明三段論有效：大前提說，“所有x都是y”，即x中的每一個東西都屬于y，可以表示為x=xy；同理，小前提可以寫成y=yz，我們得到x=xy=x(yz)=(xy)z=xz，略過中間過程，x=xz就是我們想要得到的結論，即“所有x都是z”。

（四）布爾代數(shù)奠定計算機運算基礎

由上可知，不論是符號邏輯還是布爾代數(shù)，它們的運演系統(tǒng)都完全包含并大大超越了形式邏輯系統(tǒng)。又過了一百年，后人進一步發(fā)展布爾代數(shù)，創(chuàng)造了布爾本人無法預料的偉大成就——計算機。

1938年,現(xiàn)代信息論創(chuàng)始人香農發(fā)表了論文《繼電器與開關電路的符號分析》，分析用到了布爾代數(shù)。香農注意到，電話交換的開、關操作與布爾代數(shù)的0、1推演有相似性，于是把布爾代數(shù)的真（1）、假（0）和電路系統(tǒng)中的開、關對應起來，優(yōu)化了開關電路。這篇論文確立了計算機運算的基礎，即現(xiàn)代邏輯代數(shù)。

邏輯代數(shù)也叫做開關代數(shù)，只有0、1兩種狀態(tài)。因為所有電器電路的運行，包括計算機在內，歸根到底都是由開和關、導電和斷電等兩種基本操作構成。進一步而言，利用布爾代數(shù)的“邏輯乘”、“邏輯加”和“邏輯非”的運算法則可以將電子元件組成三種“門電路”模塊，即構成邏輯元件。利用三種最基本的邏輯元件可以組成各種復雜的邏輯關系網(wǎng)絡，使得電子器件具有演繹推理的功能。如果邏輯網(wǎng)絡由幾千萬個電子元件組成，就構成了計算機的硬件基礎——集成電路。所以布爾代數(shù)的運算特點和計算機運算模式完全一致，是計算機內部運算的邏輯基礎。

結語

凡是高級文明都相信宇宙存在終極的“道”，并試圖構建“一”的體系。中國亦有“吾道一以貫之”、“道生一”、“天人合一”等大量有關“一”的學說。只不過，我們認為“一”不可說，西方卻在現(xiàn)實世界外“說”出了一個數(shù)字虛擬時空?？梢?，信仰、哲學是一個文明體系的根基和土壤，每個改變世界的方程都可追溯到文明初期偉大先哲的初心夢想，歷經(jīng)數(shù)千年的幽暗轉徙，陡然驚艷于當代，不得不說，理論與實踐的關系是極為詭異的。可以預見，具備原裝符號操作系統(tǒng)的中華文明，透過形式文化的嫁接，必將生發(fā)出真正的原創(chuàng)科學。

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