原文來源，牛津大學(xué)網(wǎng)站。

翻譯作者，Aria，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員。

校對(duì)，小米。

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牛津數(shù)學(xué)家田中佑二(Yuuji Tanaka)描述了他在我們對(duì)規(guī)范場(chǎng)論的理解的推進(jìn)上所做的工作：

“規(guī)范場(chǎng)論產(chǎn)生自物理，作為一個(gè)統(tǒng)一理論，它的出現(xiàn)在楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)理論（Yang-Mills gauge theory）和希格斯機(jī)制（Higgs mechanism，給物質(zhì)和作用力關(guān)聯(lián)質(zhì)量的理論）框架下統(tǒng)一了弱作用（出現(xiàn)在β衰變中）和電磁作用。規(guī)范場(chǎng)論在維特曼(Veltman)和特霍夫特(’t Hooft)關(guān)于可重整化性質(zhì)的偉大發(fā)現(xiàn)后，成為了粒子物理的主流之一，并給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確描述。如今所有的基本作用（電磁作用，弱作用，強(qiáng)作用和引力）都可以用規(guī)范場(chǎng)論來描述。

這些發(fā)展無(wú)疑刺激了規(guī)范場(chǎng)論的數(shù)學(xué)研究，尤其是在主叢和向量叢的領(lǐng)域。在這一理論中，聯(lián)絡(luò)的曲率對(duì)應(yīng)著規(guī)范場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。80年代早期，唐納森(Donaldson)考察了一種特殊的楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)（稱為自對(duì)偶或反自對(duì)偶聯(lián)絡(luò)）方程的解構(gòu)成的模空間，并驚人地獲得了一種利用?？臻g或者通過?？臻g給光滑結(jié)構(gòu)賦予不變量的方法，來區(qū)分同胚的四維彎曲空間的不同微分結(jié)構(gòu)。

在唐納森的工作之后，威騰(Witten)十分巧妙將它地翻譯成為特定量子場(chǎng)論的語(yǔ)言。接著阿蒂亞(Atiyah)和杰弗里(Jeffrey)又用數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過馬塞-奎倫形式(Mathai-Quillen formalism)重寫了威騰的工作。在1994年左右，利用電磁對(duì)應(yīng)的推廣（一種電磁理論中隱藏的對(duì)稱性），這些觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)變成為了發(fā)現(xiàn)賽貝格-威騰方程（Seiberg-Witten equation）與不變量的基石。賽貝格（Seiberg）和威騰(Witten)提出了這項(xiàng)成果在量子級(jí)別超楊-米爾斯理論中一個(gè)引人注目的應(yīng)用，即強(qiáng)弱對(duì)偶；它使得人們?cè)谟?jì)算中可以用弱耦合的項(xiàng)來計(jì)算強(qiáng)耦合的項(xiàng)）。

瓦法(Vafa)和威騰在更加對(duì)稱的模型中分析了賽貝格和威騰的工作，并猜測(cè)這種情形下不變量的配分函數(shù)具有模性質(zhì)，這是之前提到過的強(qiáng)弱對(duì)偶的在數(shù)學(xué)上的加強(qiáng)。模性質(zhì)原本是在19世紀(jì)橢圓曲線理論中發(fā)現(xiàn)的。他們?cè)谙８袼箞?chǎng)(Higgs fields)退化的假設(shè)下用數(shù)學(xué)的結(jié)果在一些例子中檢驗(yàn)了該性質(zhì)。

然而，對(duì)于這些理論，尤其包括希格斯場(chǎng)在內(nèi)，在過去的20年中哪怕一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義也沒有被給出。理查德·托馬斯(Richard Thomas)和我最近使用了現(xiàn)代代數(shù)幾何的語(yǔ)言定義了射影曲面的形變不變量；它源自瓦法和威騰理論中規(guī)范場(chǎng)論方程解的?？臻g。我們接著也計(jì)算了非退化希格斯場(chǎng)條件下不變量的配分函數(shù)。令人驚奇的是，我們的計(jì)算結(jié)果與瓦法和威騰遠(yuǎn)在20年之前的猜想完全一致。除此之外，我們的結(jié)果也涵蓋了曲面上的層?！?/p>