題目：

如圖①，直線l交于x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A、C兩點(diǎn)的拋物線L交x軸于另一點(diǎn)B（1，0）。

1、求拋物線L解析式；

2、若點(diǎn)M是拋物線L位于第二象限圖象上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC－S△BOC，求S的最大值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3、如圖②，將拋物線L沿y軸翻折并“復(fù)制”得到拋物線J，點(diǎn)A、B與題目2中所求的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'、M'，過點(diǎn)M'作M'E⊥x軸于點(diǎn)E，交直線A'C于點(diǎn)D，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A'、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB'C相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：跟著問題找條件

題目1：

問：如何求解L的解析式？

答：有幾個(gè)未知系數(shù)（不會(huì)超過3個(gè)），就在L上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)，建立方程組求解。本題中，無論哪種形式，都會(huì)包含3個(gè)未知系數(shù)，所以需要3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即A，B，C。其中，僅B已知，A和C坐標(biāo)需要根據(jù)直線l與x軸、y軸交點(diǎn)求解。

注意，考試中一般要求寫成一般式，大家自己轉(zhuǎn)換一下。另外，其實(shí)也可以用一般式和頂點(diǎn)式求解，計(jì)算量差不多。這里直接給出對(duì)稱軸x=－1，頂點(diǎn)（－1，16/3）；

題目2：

問：S的最大值怎么求？

答：現(xiàn)根據(jù)S的定義分別求解出每一個(gè)組成部分的面積（表達(dá)式），從而得到S的面積表達(dá)式以及最大值。其中，S的組成部分中唯一變化的圖形是“四邊形MAOC”，四邊形MAOC中唯一變化的部分是“△MAC”。注意，首先這不是蘋果電腦；其次，不會(huì)有人想要直接求四邊形面積吧？

問：M的坐標(biāo)如何求？

答：在表述S時(shí)，一定會(huì)用到M的坐標(biāo)。所以S的最大值與M的坐標(biāo)是相互關(guān)聯(lián)、相互確定的。

問：如何求解S△MAC？

答：按照面積公式，找一組底與高。理論上，找哪組底與高都可以，但是從計(jì)算量考慮，建議大家在實(shí)際操作中以AC為底（定值），然后求解M到AC的高（過M作AC垂線，求出交點(diǎn)H，進(jìn)而求解MH）。

第一步：求解MH

記M（m，y），M位于第二象限，且y滿足L解析式。

開根號(hào)時(shí)，已經(jīng)用到了m的取值范圍。也可以理解為這是“驗(yàn)證”提前。

第二步：求S（表達(dá)式）

大家注意到?jīng)]？上述看似刀光劍影的驗(yàn)算，其實(shí)結(jié)果都不復(fù)雜。

題目3：

先簡(jiǎn)述一下整體思路脈絡(luò)：

問：點(diǎn)P坐標(biāo)怎么求？

答：假設(shè)以A'、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB'C相似。在判斷2個(gè)三角形相似的過程中，無論用角、邊判斷，都需要用到點(diǎn)P坐標(biāo)，這樣就會(huì)得到點(diǎn)P坐標(biāo)的方程。如果方程有解，且合理，則點(diǎn)P存在；其他情況，點(diǎn)P不存在。

問：如何判斷2個(gè)三角形相似？

答：與證明2個(gè)三角形全等類似，只是在涉及到邊的時(shí)候不要求相等而已。在之前的文章中，已經(jīng)多次遇到過此類問題，大致有以下幾種常用的組合

• 3組對(duì)應(yīng)的邊等比例

• 2組對(duì)應(yīng)內(nèi)角相等

• 1組內(nèi)角相等，相鄰的2組邊等比例

問：本題優(yōu)選哪種組合？

答：先看圖，可知∠CAB'=∠DA'E。且，在△AB'C內(nèi)，目測(cè)可以判斷其他兩個(gè)內(nèi)角與∠CAB'不相等，即∠CAB'具有唯一性。所以，對(duì)應(yīng)的在△A'DP內(nèi)，也只有一個(gè)角與∠CAB'相等。

• 當(dāng)點(diǎn)P在A'左側(cè)時(shí)，∠DA'P=∠CAB'

• 當(dāng)點(diǎn)P在A'右側(cè)時(shí)，∠DA'P=180°－∠CAB'。但是在△AB'C內(nèi)肯定無法存在一個(gè)內(nèi)角與另一個(gè)內(nèi)角和為180°，否則第三個(gè)內(nèi)角等于0。

所以，點(diǎn)P在A'左側(cè)，我們?cè)倭钹忂叺缺壤纯伞?/p>

第一步：準(zhǔn)備工作，計(jì)算AC、AB'以及A'D和A'P

第二步：分類討論（誰告訴你A'P一定與AB'對(duì)應(yīng)的？拖出去打?。?/strong>

第三步：驗(yàn)證解的合理性

我們來看看對(duì)點(diǎn)P的約束有哪些

• 與A'或D不重合：符合

• A'、D、P三點(diǎn)不共線：符合

• 點(diǎn)P在x軸上，位于A'左側(cè)：符合

所以，所得兩組解均合題意。

回顧：

在題目3中可能說的有點(diǎn)簡(jiǎn)略，就“點(diǎn)P在A'左側(cè)”的判斷再啰嗦的補(bǔ)充一下。已經(jīng)明白的朋友就不用再讀了。

• 因?yàn)辄c(diǎn)P只能在x軸上，所以要么∠DA'P=∠CAB'，要么∠DA'P=180°－∠CAB'；

• 在△AB'C內(nèi)部，另外兩個(gè)角不可能等于180°－∠CAB'；

• 所以，當(dāng)∠DA'P=180°－∠CAB'時(shí)，在△AB'C內(nèi)找不到與之對(duì)應(yīng)的角。所以∠DA'P只能等于∠CAB'。