前言：每天1道題，小題大做勝過題海戰(zhàn)術(shù)

題目：

如圖1，已知開口向下的拋物線L過點(diǎn)A（m，1），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為B。將拋物線L繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線J，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E。

1、直接寫出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；

2、當(dāng)四邊形ABDE是矩形時(shí)，求a的值及拋物線J的解析式；

3、在題目2的條件下，連接DC，線段DC上的動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸，將矩形ABDE沿直線l折疊，設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系。

分析：

題目1：

問：點(diǎn)A的坐標(biāo)怎么求？

答：關(guān)于點(diǎn)A的唯一條件：A（m，1）在拋物線L上：

當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)A變成L與y軸交點(diǎn)，即點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，應(yīng)舍去。所以，m=2，A（2，1）；

問：點(diǎn)C坐標(biāo)怎么求？

答：關(guān)于點(diǎn)C的唯一條件：點(diǎn)C是L與y軸交點(diǎn)：

問：點(diǎn)D坐標(biāo)怎么求？

答：關(guān)于點(diǎn)D唯一條件：點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱（中心對(duì)稱）：

即D（－2，1）；

順手求出L的對(duì)稱軸：x=1，頂點(diǎn)B（1，1－a）；

題目2：

問：如何求解J的解析式以及a的值？

答：J的解析式滿足以下1個(gè)條件：

• J與L關(guān)于C中心對(duì)稱；

• 四邊形ABDE為矩形

a的值滿足以下1個(gè)條件：

• 四邊形ABDE為矩形

第一步：求解J的解析式（含未知參數(shù)）

任意取J上一點(diǎn)J（x，y），記L（x'，y'）是L上一點(diǎn)，與J（x，y）關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱。則有

可以看到，J的解析式中唯一未知參數(shù)為a。當(dāng)然，此處也可以把C，D，E的坐標(biāo)代入J解析式求解。

第二步：翻譯“四邊形ABDE為矩形”

首先，由于A與D，B與E關(guān)于點(diǎn)C中心對(duì)稱，可以證明△ABC≌△DEC，進(jìn)而證明AB∥DE。即，四邊形ABDE一定是平行四邊形。我們需要翻譯的就只有“鄰邊垂直”了（大家也可以利用矩形的其他性質(zhì)進(jìn)行翻譯）：

由于AB⊥BD，所以a×（－a/3）=-1，可得a=±√3。

問：a的值，取正還是取負(fù)？

答：L開口向下：所以a為負(fù)數(shù)。即a=－√3。

給大家再分享一下，利用矩形其他性質(zhì)求解，比如對(duì)角線互相平分且相等：

題目3：

問：S與t的關(guān)系式怎么求？

答：t僅與P直接相關(guān)，我們用P的坐標(biāo)表達(dá)S所需的底、高等長(zhǎng)度即可。

問：S需要哪些底與高：即S對(duì)應(yīng)的圖形是什么樣子？

答：手別懶，畫草圖

為了標(biāo)記以及敘述方便，作輔助線：EH⊥CD，垂足為H。記D關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為D'。

• 當(dāng)P在H左側(cè)時(shí)，S對(duì)應(yīng)圖形為△D'MN，其中M，N為l與BD和DE的交點(diǎn)；

• 當(dāng)P在H右側(cè)時(shí)，S對(duì)應(yīng)圖形為四邊形D'RST，其中R，S為l與BD和AE的交點(diǎn)，T為D'E'與AE的交點(diǎn)，E'為E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)。

第一步：分類表達(dá)S（不含參數(shù)，過程較為簡(jiǎn)略）

• 當(dāng)P在H左側(cè)時(shí)：S=MN×D'P/2；

• 當(dāng)P在H右側(cè)時(shí)：S=△D'RT面積+△RST面積= D'R×D'T/2+RS×h/2，其中h為T到RS的高。注意，此處利用了矩形鄰邊垂直的性質(zhì)：D'R⊥D'T。

第二步：用P的坐標(biāo)表達(dá)MN，D'P，D'R，D'T，RS，h

• H的坐標(biāo)：橫坐標(biāo)與E相同，為-1；縱坐標(biāo)與P相同，為1；

• P的坐標(biāo)：縱坐標(biāo)始終為1，橫坐標(biāo)為-2+t，其中-2≤-2+t≤0，即P介于D和C之間；

• D'的坐標(biāo)：縱坐標(biāo)始終為1，橫坐標(biāo)為-2+2t（過程略，利用軸對(duì)稱性質(zhì)求解）；

• M，N，R，S，T的坐標(biāo)需要BD，DE，AE以及D'E'解析式，如下：

于是，有

第三步：表達(dá)S

將第二步中所求解的各線段長(zhǎng)，代入第一步中的面積式子，整理可得

回顧：

題目3的計(jì)算量較大，容易在計(jì)算過程中弄錯(cuò)，大家千萬小心。不過，這也是一種鍛煉。同時(shí)，注意到AB=2，BD=2√3，大家可以試試?yán)?0°角和60°角的三角函數(shù)值對(duì)部分計(jì)算過程進(jìn)行替代。

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