令人稱奇的簡單證明：五種方法證明根號2是無理數(shù) | Matrix67: The Aha Moment...

趕路的狗 2017-02-18

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我喜歡各種各樣的證明。有史以來我見過的最詭異的證明寫在http://www./blog/article.asp?id=34。人們很難想到這樣一些完全找不到突破口的東西竟然能夠證明得到。說“沒有突破口”還不夠確切。準確地說，有些命題多數(shù)人認為“怎么可能能夠證明”卻用了一些技巧使得證明變得非常簡單。我看了五色定理的證明，定理宣稱若要對地圖進行染色使得相鄰區(qū)域不同色，五種顏色就夠了。沒看證明之前，我一直在想這個玩意兒可以怎么來證明。直到看了證明過程后才感嘆居然如此簡單，并且立即意識到四色定理基本上也是這種證明方法。還有，像“一個單位正方形里不可能包含兩個互不重疊且邊長和超過1的小正方形”這樣的命題竟然完全用初中學(xué)的那些平面幾何知識證明到了，簡單得不可思議。關(guān)鍵是，我們能夠讀懂證明過程，但只有牛人才能想到這個證明過程。
今天在OIBH上看到了這個帖子，帖子中哲牛分享的一篇文章The Power Of Mathematics恰好說明了這一點。文章中包含有一個推翻“萬物皆數(shù)”的新思路，相當有啟發(fā)性。今天我想把我已經(jīng)知道的四種證明連同新學(xué)到的這一個一起寫下來。

    如何證明存在一種不能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)？
    古希臘曾有“萬物皆數(shù)”的思想，這種認為“大自然的一切皆為整數(shù)之比”的思想統(tǒng)治了古希臘數(shù)學(xué)相當長的一段時間，許多幾何命題都是根據(jù)這一點來證明的。當時的很多數(shù)學(xué)證明都隱性地承認了“所有數(shù)都可以表示為整數(shù)之比”，“萬物皆數(shù)”的思想是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的奠基。直到有一天，畢達哥拉斯的學(xué)生Hippasus告訴他，單位正方形的對角線長度不能表示為兩個整數(shù)之比。被人們公認的假設(shè)被推翻了，大半命題得證的前提被認定是錯的，古希臘時代的數(shù)學(xué)大廈轟然倒塌，數(shù)學(xué)陷入了歷史上的第一次危機。最后，Eudoxus的出現(xiàn)奇跡般地解決了這次危機。今天我們要看的是，為什么單位正方形的對角線長度不能表示為兩個整數(shù)之比。

    單位正方形的對角線長度怎么算呢？從上面的這個圖中我們可以看到，如果小正方形的面積是1的話，大正方形的面積就是2。于是單位正方形的對角線是面積為2的正方形的邊長。換句話說，Hippasus認為不可能存在某個整數(shù)與整數(shù)之比，它的平方等于2。
    中學(xué)課程中安排了一段反證法。當時有個題目叫我們證根號2是無理數(shù)，當時很多人打死了也想不明白這個怎么可能證得到，這種感覺正如前文所說。直到看了答案后才恍然大悟，數(shù)學(xué)上竟然有這等詭異的證明。
    當然，我們要證明的不是“根號2是無理數(shù)”。那個時候還沒有根號、無理數(shù)之類的說法。我們只能說，我們要證明不存在一個數(shù)p/q使得它的平方等于2。證明過程地球人都知道：假設(shè)p/q已經(jīng)不能再約分了，那么p^2=2*q^2，等式右邊是偶數(shù)，于是p必須是偶數(shù)。p是偶數(shù)的話，p^2就可以被4整除，約掉等式右邊的一個2，可以看出q^2也是偶數(shù)，即q是偶數(shù)。這樣，p也是偶數(shù)，q也是偶數(shù)，那么p和q就還可以繼續(xù)約分，與我們的假設(shè)矛盾。

根號2是無理數(shù)，我們證明到了。根號3呢？根號5呢？你可能偶爾看到過，Theodorus曾證明它們也是無理數(shù)。但Theodorus企圖證明17的平方根是無理數(shù)時卻沒有繼續(xù)證下去了。你可以在網(wǎng)上看到，Theodorus對數(shù)學(xué)的貢獻之一就是“證明了3到17的非平方數(shù)的根是無理數(shù)”。這給后人留下了一個疑問：怪了，為什么證到17就不證了呢？一個俄國的數(shù)學(xué)歷史家“猜”到了原因。
他猜測，當時Theodorus就是用類似上面的方法證明的。比如，要證明根號x不是有理數(shù)，于是p^2=x*q^2。我們已經(jīng)證過x=2的情況了，剩下來的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。如果x是奇數(shù)且p/q已經(jīng)不能再約分，那么顯然p和q都是奇數(shù)。一個奇數(shù)2n 1的平方應(yīng)該等于4(n^2 n) 1，也即8 * n(n 1)/2 1，其中n(n 1)/2肯定是一個整數(shù)。如果p=2k 1，q=2m 1，把它們代進p^2=x*q^2，有8[k(k 1)/2 – x*m(m 1)/2] = x-1。于是x-1必須是8的倍數(shù)。如果當時Theodorus是這么證明的，那么他可以得到這樣一個結(jié)論，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，現(xiàn)在3、5、7、11、13減去1后都不是8的倍數(shù)，它們的平方根一定不是有理數(shù)。在x=9時發(fā)生了一次例外，但9是一個平方數(shù)。而當x=17時這種證明方法沒辦法解釋了，于是Theodorus就此打住。

    實際上，我們上面說的這么多，在古希臘當時的數(shù)學(xué)體系中是根本不可能出現(xiàn)的。畢達哥拉斯時代根本沒有發(fā)展出代數(shù)這門學(xué)科來，它們掌握的只是純粹的幾何。因此，Hippasus當時的證明不可能像我們現(xiàn)在這樣搞點什么奇數(shù)x偶數(shù)y之類的高科技東西。事實上，Hippasus當時完全運用的平面幾何知識來證明他的結(jié)論。有人覺得奇怪了，既然當時沒有代數(shù)，古希臘人是怎么提出“所有數(shù)都可以表示為整數(shù)之比”的呢？其實古希臘人根本沒有提出什么整數(shù)之比，這是后人的一個誤解。當時畢達哥拉斯學(xué)派提出的，叫做“公度單位”。
    兩條線段的公度單位，簡單的說就是找一個公度量，使得兩條線段的長度都是這個公度量的整倍數(shù)（于是這個公度量就可以同時作為兩條線段的單位長度并用于測量）。尋找公度量的方法相當直觀，就是不斷把較長的那個線段減去短的那個線段，直到兩個線段一樣長。熟悉數(shù)論的同學(xué)一下就明白了這就是歐幾里德的輾轉(zhuǎn)相除算法求最大公約數(shù)。第一次數(shù)學(xué)危機的根結(jié)就在于，古希臘人理所當然地相信不斷地截取線段，總有一個時候會截到兩個線段一樣長。后來，Hippasus畫了這么一張圖，告訴大家了一個反例：有可能這個操作會無窮盡地進行下去。

    現(xiàn)在看他怎么解釋，在圖中的BC和BD之間進行輾轉(zhuǎn)相除為什么永遠不能停止。把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個新的小正方形DEFG，那么顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下來我們應(yīng)該在BC和DE間輾轉(zhuǎn)相除。BC就等于CD，CD減去一個DE相當于減去一個FC，就只剩下一段DF了?，F(xiàn)在輪到DE和DF之間輾轉(zhuǎn)相除，而它們是一個新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當。于是，這個操作再次回到原問題，并且無限遞歸下去。最后的結(jié)論用我們的話說就是，不存在一個數(shù)x使得BC和BD的長度都是x的整倍數(shù)。于是，BD/BC不能表示為兩個整數(shù)之比p/q（否則BD/p=BC/q，這就成為了那個x）。