量子力學(xué)是一個(gè)最不可思議，最有顛覆性的物理理論。比如說在牛頓的經(jīng)典理論中，我們用六個(gè)實(shí)數(shù)描寫一個(gè)粒子的狀態(tài)。這六個(gè)數(shù)，三個(gè)是粒子在三維空間的位置，三個(gè)是粒子的動(dòng)量(包括粒子的運(yùn)動(dòng)方向)。但是對(duì)粒子狀態(tài)如此自然而然的描寫卻是錯(cuò)誤的。量子力學(xué)告訴我們描寫粒子位置和動(dòng)量的這些物理量，根本不是數(shù)，而是矩陣(也叫算符)。這簡直是莫名其妙。但這莫名其妙的理論卻能正確地得出微觀實(shí)驗(yàn)觀測到的結(jié)果。

從數(shù)到矩陣，這真是神來之筆。這篇文章告訴你，這神來之筆是怎么被人做出來的。當(dāng)你拋棄一切課本中學(xué)到的包袱，用最純凈天真的心去感受自然的時(shí)侯，也許你也能有這神來之筆。

玻爾模型認(rèn)為光是電子在改變狀態(tài)的跳躍過程中發(fā)出的，并且給出了氫原子譜線的位置，即譜線的頻率或波長，一個(gè)看似合理的解釋。索莫菲的模型能解釋一些譜線在磁場下的分裂(見后文)，這又往前進(jìn)了一大步。但是，直到1925年，人們對(duì)于譜線的相對(duì)強(qiáng)度還是不了解。容易從譜圖上看出原子所發(fā)不同譜線在強(qiáng)度上存在很大的差別(圖1)。把一根蘸了食鹽溶液的金屬絲放到酒精燈的火焰上，火焰的顏色會(huì)被黃色主導(dǎo)(圖2)，這是因?yàn)殁c的雙黃線非常強(qiáng)的緣故。那么，是什么因素決定了一條譜線的強(qiáng)弱呢?

圖1. 氦原子光譜。不同譜線明亮程度不一。

圖2. 一點(diǎn)鹽水足以讓酒精焰變成黃色。 

在經(jīng)典理論中，輻射強(qiáng)度同振蕩電場的振幅平方成正比。自然，關(guān)于原子譜線的強(qiáng)度，人們也希望循著這個(gè)思路構(gòu)造理論。克拉默斯 (Hendrik Kramers)建議對(duì)電子的量子軌道變量，X_n，以軌道能量對(duì)應(yīng)的角頻率ω為基頻作傅立葉分析，

           (1)

玻爾曾建議此處的k-次諧波項(xiàng)對(duì)應(yīng)從能級(jí)n到能級(jí)n-k之間的躍遷，輻射強(qiáng)度正比于 |X_n;k |² 。

這個(gè)方案當(dāng)然不能解釋譜線的強(qiáng)度。 不考慮公式(1)的其它內(nèi)容，它的重要特征是只涉及單一軌道，而躍遷分明是發(fā)生在兩個(gè)狀態(tài)之間的事情。但是，這個(gè)沒有絲毫正確可能的嘗試卻導(dǎo)致了矩陣力學(xué)的建立，而這才標(biāo)志著量子力學(xué)的正式建立。 

構(gòu)造恰當(dāng)?shù)牧孔恿W(xué)的努力在哥本哈根(由玻爾領(lǐng)導(dǎo))、哥廷根(由玻恩領(lǐng)導(dǎo))和慕尼黑(由索莫菲領(lǐng)導(dǎo))同步進(jìn)行。 一個(gè)幸運(yùn)的年輕人，海森堡(Werner Heisenberg, 1901-1976)，出場了。說他幸運(yùn)，是因?yàn)樗谶@三個(gè)地方都待過。索莫菲是他的博士論文導(dǎo)師，玻恩是他的授課資格研究(Habilitation，通過后就可以任私俸講師)的導(dǎo)師。

時(shí)光轉(zhuǎn)眼到了1925年，年輕的海森堡博士也在認(rèn)真考慮光譜的強(qiáng)度問題。此前，在1922年，他的導(dǎo)師索莫菲因?yàn)橹浪麑?duì)玻爾的模型感興趣帶他到哥廷根參加玻爾節(jié)，第一次見到了玻爾。1923年他從慕尼黑大學(xué)博士畢業(yè)以后，到哥廷根大學(xué)跟隨玻恩作資格研究，課題是關(guān)于反常塞曼效應(yīng)。這些都讓他很早接觸到了量子力學(xué)研究的前沿。

海森堡對(duì)譜線強(qiáng)度的思考被譽(yù)為頓悟(epiphany)。1925年5月，他試圖僅僅用可觀測量(如譜線位置、強(qiáng)度等)， 實(shí)際上是觀測量之間的關(guān)系，而不是電子位置、軌道這些看不見摸不著的概念來描述原子系統(tǒng)。7月7日他因?yàn)槎惚芑ǚ鄣奖焙５囊粋€(gè)島上療養(yǎng)，期間他一邊讀著歌德的詩篇一邊繼續(xù)思考原子譜線問題。那天深夜，他的計(jì)算有了結(jié)果：“差不多是夜里三點(diǎn)鐘，計(jì)算結(jié)果最終出來了。我深深地被震驚了。我很興奮，一點(diǎn)也不想睡。于是，我離開房間，坐在一塊巖石上等日出?！?/p>

但是，研究發(fā)光的人們都知道，用某個(gè)頻率的光激發(fā)物體發(fā)光，發(fā)出來的光不一定是原來的頻率，一般地是在較低的頻率，甚至出現(xiàn)在幾個(gè)較低的頻率上。比如，古人誤以為是鬼火的東西(含磷物質(zhì)的發(fā)光，在可見光范圍)，就是由太陽中的紫外線激發(fā)的。設(shè)想有個(gè)物理過程，自n狀態(tài)開始，到m狀態(tài)結(jié)束, 但是假設(shè)它分兩步進(jìn)行，中間要經(jīng)過某個(gè)k狀態(tài)?，F(xiàn)在引入某個(gè)物理量(這個(gè)物理量是什么意思，先不管它)描述這些過程，c(n,m)描述自n狀態(tài)到m狀態(tài)的過程，a(n,k)描述自n狀態(tài)到k狀態(tài)的過程，b(k,m)描述自k狀態(tài)到m狀態(tài)的過程，那么也許就應(yīng)該有，也就是對(duì)所有可能的中間過程 k 求和 (圖3)。這個(gè)公式暗藏玄機(jī)，后來我們知道這就是矩陣的乘法，這是量子力學(xué)的核心算法！

圖3. 從狀態(tài)n到狀態(tài)m的躍遷，可以是直接的，也可以是經(jīng)過某個(gè)中間狀態(tài)的。

在經(jīng)典力學(xué)中，振動(dòng)的強(qiáng)度是和振幅平方成正比。關(guān)于(氫)原子發(fā)光，玻爾模型認(rèn)為發(fā)光是個(gè)電子跳躍過程，這個(gè)過程涉及的初態(tài)和終態(tài)之間的能量差決定了發(fā)光頻率?？墒?，對(duì)這個(gè)過程的描述中應(yīng)該考慮什么樣的振動(dòng)呢？海森堡和克拉默斯合作過，后者的色散研究給了海森堡很大的啟發(fā)。海森堡想到，既然發(fā)光涉及兩個(gè)狀態(tài)，可能引起它的電場振動(dòng)就應(yīng)該由這兩個(gè)狀態(tài)加以標(biāo)記，記為 X_nm，其傅里葉分析中的分量只有一個(gè)頻率，即對(duì)應(yīng)兩個(gè)狀態(tài)能量差的頻率。這樣，這個(gè)振動(dòng) X_nm 隨時(shí)間的變化，海森堡猜測，應(yīng)該為
。這樣的一通猜測會(huì)正確嗎?

物理學(xué)家構(gòu)造了一個(gè)模型或理論，要想知道它是否有正確性的一個(gè)辦法是把它用到一個(gè)熟知的問題上。海森堡就把他的這套理論用到諧振子問題上，因?yàn)橹C振子振動(dòng)的解是現(xiàn)成的，引入一個(gè)新變量 A(t) = x(t)+ip(t)，發(fā)現(xiàn) ，這是一個(gè)單位諧振頻率的振蕩量。如果也寫成 A_nm(t) 的形式，順著這個(gè)思路接下來可以計(jì)算 X_nm 和 P_nm，進(jìn)一步的計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn) (XP)_nm ≠ (PX)_nm 。這是怎么回事? 海森堡不懂，自然也不指望它能解釋譜線的強(qiáng)度了。但海森堡就是海森堡，他把上述結(jié)果寫了個(gè)草稿，交給了玻恩尋求指點(diǎn)，自己度假去了。 

問題擺到了玻恩的桌上，學(xué)養(yǎng)深厚的玻恩馬上認(rèn)識(shí)到這個(gè)公式涉及的是矩陣的乘法。順著海森堡的思路，玻恩發(fā)現(xiàn)諧振子問題給出的矩陣 X_nm 和 P_nm ，滿足關(guān)系，或者簡記為

                     (2)，

 一個(gè)把人類的物理學(xué)知識(shí)提高一個(gè)層次的公式出現(xiàn)了。海森堡的半截文章經(jīng)玻恩完善后順利發(fā)表，不久玻恩和海森堡合作發(fā)表了一篇文章，他們倆加上玻恩的助手約當(dāng)(Pascual Jordan)也合作發(fā)表了一篇文章。這三篇文章構(gòu)成了量子力學(xué)的第一種形式——矩陣力學(xué)。順便說一句，這一年天才的約當(dāng)才23歲。他從關(guān)系式(2)出發(fā)計(jì)算 xpⁿ - pⁿx，所得到的關(guān)系，即動(dòng)量相當(dāng)于對(duì)坐標(biāo)的微分，是后來量子力學(xué)應(yīng)用的前提。

熟悉線性方程組的讀者都知道，線性方程組，比如三元的，

                     (3)

可以寫成更緊湊的形式

        (4)

這里括號(hào)里排成陣列的數(shù)構(gòu)成矩陣，用行數(shù)和列數(shù)來標(biāo)識(shí)，

如  是 3×3 矩陣， 是 3×1 矩陣，（x y z）是 1×3 矩陣。自然，矩陣一般地是一個(gè) n×m 矩陣。可以把矩陣當(dāng)成一個(gè)數(shù)，當(dāng)然是有其獨(dú)特加法和乘法的數(shù)。兩個(gè)矩陣 A，B如能相加，C = A+B ，則一定具有同樣的行數(shù)和列數(shù)，且 C_nm = A_nm + B_nm ；若兩個(gè)矩陣 A，B能相乘，C = A×B ，則前一個(gè)矩陣的列數(shù)，一定和后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等，且  。

對(duì)于普通的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，乘法滿足交換律 ab=ba 。但是對(duì)于矩陣，乘法不一定滿足交換律，有可能 A×B ≠ B×A  。但是，矩陣很重要，因?yàn)檫€記得我們前面提到的，設(shè)想有個(gè)物理過程分兩步進(jìn)行，則描述整個(gè)過程和中間過程的物理量之間可能遇到算法 ，這分明就是矩陣的乘法！請(qǐng)記住，矩陣是量子力學(xué)里經(jīng)常用到的、獨(dú)特的“數(shù)”形式，有獨(dú)特的算法，因此可以表述相應(yīng)的物理現(xiàn)象?；蛘叻催^來說，特定的物理現(xiàn)象，要求具有特定算法的“數(shù)”來表述它！數(shù)學(xué)與物理的緊密關(guān)系，由此可見一斑。

基于把坐標(biāo)和動(dòng)量等物理量表示成矩陣的量子力學(xué)形式被稱為矩陣力學(xué)。由于矩陣算法當(dāng)時(shí)還不為物理學(xué)家所熟悉，矩陣力學(xué)建立的基礎(chǔ)說它是瞎猜也不為過，所以矩陣力學(xué)并沒有能為物理學(xué)家所接受。但是，有人看出了其中的非凡之處。狄拉克就指出，海森堡的矩陣力學(xué)表明，量子力學(xué)用到的物理量，可能是非對(duì)易關(guān)系的，即不滿足乘法交換律?？梢韵胍娋仃嚵W(xué)帶給當(dāng)時(shí)物理學(xué)家的沖擊，怎么坐標(biāo)、動(dòng)量這些我們用習(xí)慣了的量突然變成了不可對(duì)易的怪物了呢？人們一時(shí)還轉(zhuǎn)不過來彎來。后來我們將看到，物理操作的非對(duì)易性是量子力學(xué)的核心。

其實(shí)，對(duì)于不可對(duì)易的算法，沒有什么可驚訝的。普通數(shù)的減法和除法就具有不可對(duì)易性， 除非是 a = b，否則 a-b ≠ b-a，a÷b ≠ b÷a 。如果我們把物理量看成是描述具體動(dòng)作(操作)的，物理量和操作是對(duì)應(yīng)的，會(huì)發(fā)現(xiàn)世界上到處是不可對(duì)易的操作。早上起來，我們要刷牙、洗臉，似乎先刷牙還是先洗臉都無傷大雅。我們還要穿鞋、穿襪子，這時(shí)候順序就有講究了，先穿鞋還是先穿襪子效果是不一樣的。 另一個(gè)比較容易理解的例子是如何救助一個(gè)饑渴的人，是先給水喝還是先給飯吃？先喝水或粥，然后給飯吃，這個(gè)人算是救下來了；但如果是先給飯吃，后給水喝，很可能會(huì)把他撐壞了。如同  xp-px = i?，(喝水)(吃飯) - (吃飯)(喝水) = 一條人命 。

一個(gè)在日常生活中和量子力學(xué)中具有相同表現(xiàn)的是轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)想你側(cè)躺在地上，準(zhǔn)備做如下兩個(gè)動(dòng)作，倒立，趴下。你自己可以演示一下，(倒立)(趴下)同(趴下)(倒立)的最終效果是不同的。這些例子是想說，在我們的物理世界里，不對(duì)易的兩個(gè)操作很普遍，海森堡的矩陣力學(xué)正巧碰到了這一點(diǎn)。量子力學(xué)同經(jīng)典力學(xué)不同的地方是，許多在經(jīng)典力學(xué)里可交換的一對(duì)操作，在量子力學(xué)里就不可交換了。

海森堡和玻恩發(fā)現(xiàn)的 xp-px = i?，后來也被稱為量子化條件 (當(dāng)然是只適應(yīng)于一些物理問題)，很神奇。它一經(jīng)出現(xiàn)，就吸引了眾多物理學(xué)家的目光。至于原子光譜線的強(qiáng)度問題，有人會(huì)繼續(xù)關(guān)注的。

在矩陣力學(xué)被提出不久，實(shí)際上也就幾個(gè)月的時(shí)間(許多人還沒回過神來)，另一種相競爭的量子力學(xué)形式就誕生了。

海森堡試圖計(jì)算譜線強(qiáng)度的努力導(dǎo)致了矩陣力學(xué)的出現(xiàn)，極大地促進(jìn)了量子力學(xué)的發(fā)展。但是，譜線強(qiáng)度的問題在那時(shí)并沒有得到滿意的答案。后來，在量子力學(xué)得到了充分發(fā)展了以后，人們認(rèn)識(shí)到譜線強(qiáng)度不僅依賴于所涉及的初態(tài)和終態(tài)，還依賴于引起發(fā)光的機(jī)制。關(guān)于譜線強(qiáng)度，或者說譜線所對(duì)應(yīng)的電子躍遷過程的發(fā)生幾率，由公式給出。此公式的細(xì)節(jié)及其意義讀者暫時(shí)可以不必理會(huì)，它被稱為費(fèi)米(Enrico Fermi)黃金規(guī)則。此規(guī)則由天才的狄拉克(P.A.M. Dirac)于1927年提出[1]。

*此文為曹則賢著《量子力學(xué)-少年版》（中國科技大學(xué)出版社，2016）第四章“譜線強(qiáng)度與矩陣力學(xué)”。經(jīng)作者授權(quán)發(fā)表。

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