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一、特殊元素“優(yōu)先法” 先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解決排列問題的基本方法。 例1、 乒乓球隊的10 名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力要排在第一、三、五位置，其余7隊員中選2名排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有多少種？ 分析：3名主力的位置確定在第一、三、五位中選，將他們優(yōu)先安排，有A33種可能，然后從其他隊員中選2 人安排在第二、四位置，有A72，因此結(jié)果有A33 A72種。 二、插空法：在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，可先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。解題過程是"先排列，再插空"。 例1、A、B、C、D、E五個人排成一排，其中A、B兩人不站一起，共有（ ）種站法。 A.120 B.72 C.48 D.24 分析：B 插空法 因為A、B兩人不站一起，故可考慮C、D、E的位置，C、D、E三人排成一排共有4個空，從中選擇兩個空放A和B，即是4個空中取2個空的全排列，即A42=12。C、D、E三個人也存在一個全排列問題，即A33=6，綜上，共有6*12=72種。 例2:學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？ 解：先排學(xué)生有A88種排法，前后把老師插入學(xué)生的空檔，有7個空檔可插，選其中4個空檔，有A74種排法，綜上共有A88A74種不同排法。 例3、要排一個有5個獨唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個舞蹈節(jié)目不排在一起，則不同的排法有多少？ 分析：先將5個獨唱節(jié)目排列A55，形成的6個空擋中， 從后面5個檔中選3個排舞蹈節(jié)目 A53，故有A55A53種不同排法。 三、捆綁法：當要求某幾個元素必須相鄰（挨著）時，先將這幾個元素“捆成一個元素”，然后與其他元素進行排列，最后看看“那一捆元素”的內(nèi)部排列。 例1、三個女生和五個男生排成一排．如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？ 分析：三個女生看成一個元素（捆綁），與五個男生做全排列A66，三個女內(nèi)部做全排列A33,則共有A66A33種不同排法。 例2、一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4 分析：捆綁法和插空法。兩種情況考慮 1、 兩節(jié)目挨著，則把這兩個新節(jié)目看成一個整體，三個節(jié)目有4個空，任選一空，A41=4，這兩個新節(jié)目自身做全排列，A22=2，2*4=8 2、 這兩個節(jié)目不挨著，那么三個節(jié)目有4個空，任選兩空，A42=4×3=12種 綜上得，共8+12=20種 例3、A、B、C、D、E五個人排成一排，其中A、B兩人必須站一起，共有（ ）種站法。 A.120 B.72 C.48 D.24 分析：C 捆綁法 A、B兩人既然必須站在一起，把他們看成一個人，C、D、E共4個人作全排列，即A44=24，A、B兩人做全排列，也就是A22=2，綜上，共有48種。 例4、5人站一排，其中甲、乙之間有且只有一人的站法有多少？ 分析：先從甲、乙之外的3人中選一人，然后將甲、乙排在他的兩邊A31A22種方式，3人形成一個小團體，看作一個元素再與余下的2人排列有A33種。因此共A31A22A33種不同站法。 四、插隔板法：指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個元素時，采用將比分組數(shù)目少1的隔板插入到元素中的一種解題策略。題目特點：“若干相同元素分組”、“ 每組至少一個元素”。 例1、將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？ A. 20 B.21 C.23 D.24 分析：B 插隔板法 解決這道題只需將8個球分成三組，然后依次將每一個組分別放到一個盒子中即可。8個球分成3個組可以這樣，用2個隔板插到這8個球中，這樣就分成了3個組。這時問題就轉(zhuǎn)化成了在8個球的空隙中放2個隔板有多少種放法的問題。8個球有7個空隙，7個空隙要放2個隔板，就有C72種放法，即21種. 例2、有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法？ A. 20 B.36 C.45 D.56 分析：D 插隔板法 9顆糖分成4分 ，只需用3個隔板放到9顆糖形成的8個空隙中即可，有 C83=56種。 例3、高二年級有8個班，要 組織一個12人的年級學(xué)生分會 ，每班要求至少一人 名額分配方案有多少種？ 分析：插隔板法 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同元素分成8份,有多少種不同的分法的問題,因此須把這12個元素排成一排,在11個空檔中放上7個擋板,每個空檔最多放一個,即可將元素分成8份，即有分配方案C117種。 例4、有10個三好學(xué)生名額，分配到高三6個班級，每班至少有1個名額，共有多少種不同的分配方案？ 分析：10個名額看作10個相同元素拍成一排，中間看作9個空檔，將5個隔板插入9個空檔，則每一種插法對應(yīng)一種分配方案，共C95=126種不同分配方案。 五、對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求. 例1、期中安排考試科目9門，語文要在數(shù)學(xué)之前考，有多少不同的安排順序？ 分析：不加任何限制條件，整個排法有A99種，“語文要在數(shù)學(xué)之前考”，與“數(shù)學(xué)要在語文之前考”的排法相同，所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法有 1/2A99種。 六、排除法 此類題正面考慮比較復(fù)雜，可以先求出反面，再從整體中排出。 例1、5個人排隊，其中甲不在排頭的排法有多少？ 分析1：（排除法）5人的全排列數(shù)A55，其中甲在排頭的排列數(shù)A44，故甲不在排頭的排列數(shù)A55 --A44=96種 分析2:（特殊元素優(yōu)先法）：先從余下的4個位置中選一位置排上，甲有A41種方法，然后其他4個元素排在余下的四個位置A44，所以總計A44A41種排法。 分析3：（特殊元素優(yōu)先法）：先從甲以外的4人中選出一人排在特殊位置——排頭 A41 ，然后其他四個元素排在余下的4個位置A44，所以總計A41A44種排法。 例2、我們班里有43位同學(xué),從中抽取5人,正、副班長、團支書至少有一人在內(nèi)的抽法有 多少種？ 分析：43人中任抽5人的方法有C435種，正副班長、團支部書記都不在內(nèi)的抽法有C405種，所以正副班長，團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有C435—C405 例2、在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任取5件，其中至少有2件次品的取法有多少種？ 解法一:(直接法)分兩類: 第一類:有2件次品3件合格品,有C32C1973種; 第二類:有3件次品2件合格品,有C33C1972種. 由分類計數(shù)原理得抽法總數(shù)為C32C1973+C33C1972 解法二:(間接法)不論次品、合格品抽法種數(shù)共有C2005,恰有一件次品的抽法種數(shù)為C1974C31,沒有次品的抽法種數(shù)為C1975,至少有2件次品的抽法種數(shù)為C2005—C1975—C1974C31 七、定序排列問題——縮短法 例1、書架上有6本書，新買了3本書插進去，保持原來6本書的順序不變，有多少種排法？ 分析：9本書作全排列A99，考慮到原來6本書的順序不變，原來的每一種排法都重復(fù)了A66次，因此有A99/ A66種插法。 若有n 個元素參加排列，其中有m個元素順序是確定的，則排列數(shù)Ann/Amm 八、重復(fù)排列問題——住店法 例1、8名同學(xué)爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有多少？ 分析：冠軍不能重復(fù)給多名同學(xué)，但同一同學(xué)可以獲得多項冠軍。把8名同學(xué)看作8家店，3項冠軍看作三個客，他們都住進任意一家店，每個店都有8種可能，因此共有83種不同結(jié)果。 分析：復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素，一類可以重復(fù)，看作店，另一類不能重復(fù)，看作客。則通過住店法可以順利解決。 類似問題很多，信投箱問題，映射問題均可以通過住店法解決。如8封信投進3個信箱，有多少不同結(jié)果？這里8封信是客，3個信箱是店，故有38種結(jié)果。 其它 例1:一個袋中裝有五分硬幣23個 一角硬幣10個 ,從袋中取兩元，有多少種取法？ 分析：把所有錢取出來：0.05*23+0.10*10=2.15(元），一共有2元1毛五，逆向思維，取兩元的可能即取出1毛五的可能。0.15元即3個5分，1個1角與1個5分，C231+C101C231種取法。 例2、某乒乓球隊9名隊員，其中2名種子選手，現(xiàn)選5人參賽，種子選手都必須在內(nèi)，有多少種不同選法？ 分析：C73 例3、9個人排3排，每排3人，有多少種不同的排法？ 分析：將2、3 排的排頭分別接到第1、2排的排尾， 問題轉(zhuǎn)化為9人排一排，故有A99種。 綜合題 例1、某小組6個人排隊照相留念： （1）若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？ （2）若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？ ?。?）若排成一排照相，甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？ ?。?）若排成一排照相，6個人中有3名男生和3名女生，且男生不能相鄰，有多少種不同的排法？ ?。?）若甲、乙、丙三人的順序不變有多少種排法？ 分析：（1）是6個元素的全排列 分兩排照相實際上與排成一排照相一樣，只不過把第3～6個位子看成是第二排而已，所以實際上是6個元素的全排列  =720種； ?。?）采用元素分析法，優(yōu)先安排甲，乙兩個特殊元素 先確定甲的排法，有  種，再確定乙的排法，有  種，最后確定其他人的排法，有  種，共有 =192 種； ?。?）采用“捆綁法”，先把甲、乙看成1人，與其他人排隊有  種，然后甲、乙之間再排隊，有  種，共有  =240種； ?。?）采用“插空法”，先把3名女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進4把椅子，如：× 女 × 女 × 女 ×，再將3名男生排在這4個位置上有 種，3名女生之間有 種排法，共有 =144種排法。 ?。?）定序問題采用倍縮法 在不考慮任何限制的條件下6個人的排列有 種，其中甲乙丙三人的排列有 種，由于甲乙丙順序不變，故只有其中的一種排法符合要求，即有 120種。 例2、6輛汽車排成一列縱隊，要求甲車和乙車均不在隊頭或隊尾，且正好間隔兩輛車。問共有多少種不同的排法？ A48 B72 C90 D120 分析：因為題干要求，所以甲乙的位置只有在B和E，有6輛車，除甲乙外就是4輛，A有4種排法，B有2種排法，C有3種排法，D有2種排法，E和F各是一種排法，即4*2*3*2=48種排法。 例3、有兩個三口之家一起出行去旅游，他們被安排坐在兩排相對的座位上，其中一排有3個座位，另一排有4個座位。如果同一個家庭成員只能被安排在同一排座位相鄰而坐，那么共有多少種不同的安排方法? A.36 B.72 C.144 D.288 分析：本題為排列組合問題。從2個家庭中選1個坐有3個座位的一排，為C2,1；對3個人進行全排列，為A3,3。另一個家庭必須做4個座位的一排，從邊端的2個座位選一個不能坐人（即只能為“空坐坐坐”和“坐坐坐空”），為C2,1，對3個人進行全排列，為A3,3。因此共C2,1*A3,3* C2,1* A3,3=144。 |
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