一、祖沖之及其大明歷

祖沖之（429—500年），字文遠，祖籍范陽（今河北淶水縣），是劉宋時期杰出的科學(xué)家。他對圓周率的研究，使他名聞遐邇，其實他對科學(xué)技術(shù)的貢獻遠非止于此，在天文歷法上，亦堪稱一大家。463年他撰成大明歷，內(nèi)中多所創(chuàng)新，是為我國古代最著名的歷法之一。

把歲差現(xiàn)象首次引入歷法，是祖沖之的一大貢獻。由于我國古代歷法在計算日月五星的位置時，是以冬至太陽所在恒星間的位置作為基準點的，所以歲差概念和數(shù)值的引進，就使得這一基準點的位置得到較好的校正，從而使日月五星位置推算的準確度得到根本的保證。

大明歷取回歸年長度為365.2428日，誤差僅46秒，這是我國古代所用的最佳值之一。(28)該值的取得，與祖沖之巧妙、正確地應(yīng)用劉洪等人在173年的日影測量結(jié)果有關(guān)，還與祖沖之發(fā)明的冬至?xí)r刻測算法密切相關(guān)。該測算法是在測量冬至前后數(shù)日午中的日影長度的基礎(chǔ)上，并在假定這前后數(shù)日影長的變化是均勻的前提下，用線性比例的方法求取冬至的具體時刻，它嗣后成為我國古代冬至?xí)r刻的經(jīng)典測算法。

在回歸年和朔望月長度精確測算的基礎(chǔ)上，祖沖之還很好地選定了十分準確的新閏周：391年144閏，這是我國古代得到的最佳閏周。

在大明歷中，祖沖之還第一次明確地指出了交點月（月亮相繼兩次通過同一個黃白交點的時間間隔）的長度值：27.2122日，誤差僅1秒左右，已達到了相當高的精度水平。(29)

對于五星會合周期，祖沖之也進行了重新測量，得木星398.903日（誤差0.019日），火星780.031日（誤差0.094日），土星378.070日（誤差0.022日），金星583.931日（誤差0.009日），水星115.880日（誤差0.002日），從總體上看，其精度達到了前所未有的高度。

為爭取大明歷得以頒行，祖沖之曾與守舊派戴法興辯論，寫下了駁議之文，是為科學(xué)思想史上的名篇。他堅持改革，反對“信古而疑今”的思想，他“愿聞顯據(jù)，以核理實”的實事求是態(tài)度，他“考影彌年，窮察毫微”(30)的實踐精神，至今仍閃爍著熠熠光芒，照耀著人們在崎嶇的科學(xué)道路上攀登。

二、張子信的三大發(fā)現(xiàn)

張子信，清河（今河北清河縣）人，是北魏、北齊間著名的天文學(xué)家。他花了三十多年的時間，隱居于一海島，專心致志地用渾儀觀測日月五星的運動。570年前后，他獲得了在我國天文學(xué)史上具有重大意義的三大發(fā)現(xiàn)：

一是關(guān)于太陽視運動不均勻性的發(fā)現(xiàn)。張子信由觀測得知：太陽視運動從平春分到平秋分（時經(jīng)半年）所歷的黃道度數(shù)，要比從平秋分到平春分（亦時經(jīng)半年）所歷度數(shù)少若干度，于是，前半年太陽視運動的速度自然要比后半年來得慢，這是他導(dǎo)出這一發(fā)現(xiàn)的途徑之一。途徑之二，是循著與劉洪當年相似的方法達到的。張子信指出：欲使交食發(fā)生時刻的預(yù)推值與實際相吻合，除慮及月亮運動不均勻性的影響外，還須加上某一改正值（稱為“入氣差”），(31)該值的正負、大小與二十四節(jié)氣有密切和穩(wěn)定的關(guān)系。這是劉洪“消息術(shù)”的再發(fā)現(xiàn)。更重要的是，張子信由此升華出太陽視運動不均勻性的結(jié)論，給予“入氣差”以合理的解釋。他還推算出了二十四節(jié)氣“入氣差”（即二十四節(jié)氣時，視太陽實際行度與平均行度之差）的具體數(shù)值，這是我國古代對太陽視運動不均勻性現(xiàn)象所作的最早的明確的定量描述。

二是關(guān)于五星運動不均勻性的發(fā)現(xiàn)。張子信發(fā)現(xiàn)，依據(jù)傳統(tǒng)的方法推算得的五星晨見東方的時刻，往往與實際天象不相符，常有應(yīng)見而不見，或不應(yīng)見而見的情況發(fā)生。由進一步的考察，他確認五星晨見東方時刻的這種超前或滯后及其時間的長短（稱為“入氣加減”(32)），也與二十四節(jié)氣有緊密的、穩(wěn)定的關(guān)系。張子信以為，這正是五星運動不均勻性的具體反映。同樣，他也推算出了五星二十四節(jié)氣“入氣加減”的明確數(shù)值，從而實現(xiàn)了五星運動不均勻性的初始的定量描述。

三是關(guān)于食差的發(fā)現(xiàn)，這是關(guān)于交食研究的一大進展。張子信認識到簡單地根據(jù)傳統(tǒng)的食限法，還不能斷然判定日食發(fā)生與否，即在已入食限的條件下，如果當時月亮在黃道之北，則必發(fā)生日食無疑；而如果當時月亮在黃道之南，則不發(fā)生日食。(33)這里，張子信是發(fā)現(xiàn)了月亮視差對日食的影響。月亮視差是指在地面上的觀測者看來，月亮真實位置的天頂距（Z）總比視位置的天頂距（Z+△Z）來得小的一種天文現(xiàn)象（見圖1）。對日食而言（見圖2），當月亮在黃道之北時，由于視差使月亮的視位置下降，令日月的距離更靠近，所以只要入食限則必發(fā)生日食；而當月亮在黃道之南時，也由于視差使月亮的視位置下降，遂令日月的距離增大，所以即使已入食限，還是不發(fā)生日食。這就是張子信關(guān)于食差的發(fā)現(xiàn)的真實天文含義。

張子信的這三大發(fā)現(xiàn)都具有劃時代的意義，它們?yōu)樘煳臍v法體系的完善增添了全新的內(nèi)容。

三、劉焯的皇極歷及其它

劉焯是隋代杰出的天文學(xué)家，他于604年撰成皇極歷，后世歷家咸稱其妙。他最先把張子信的三大發(fā)現(xiàn)引入歷法，并成功地解決了這三大發(fā)現(xiàn)的具體計算和合理應(yīng)用問題。

在皇極歷中，載有二十四節(jié)氣太陽視運動不均勻性改正數(shù)值表（日躔表），這是流傳至今的第一份完整的日躔表，其前身即張子信的“入氣差”。在應(yīng)用日躔表進行任一時刻的改正值的計算時，劉焯首創(chuàng)了等間距二次差內(nèi)插法。這一數(shù)學(xué)方法的物理意義，是把某一時段內(nèi)太陽視運動的速率看成是勻加速或勻減速的。這一方法較好地解決了太陽視運動不均勻性的計算問題。在這一基礎(chǔ)上，劉焯成功地解決了同時考慮日、月運動不均勻性影響的定朔計算方法，使真正朔日時刻的計算精度得以提高。

在皇極歷中，還載有五星入氣加減的數(shù)值表，其源由亦當來自張子信。重要的是，劉焯首創(chuàng)了推算五星晨見東方時刻的三段計算法：平見—常見—定見法。即先把太陽和五星的運動視作是勻速的，由此可算得平見時刻（T₀）；次由五星入氣加減表求得五星運動不均勻性改正值（△t），則常見時刻=T₀+△t；再由日躔表算出太陽運動不均勻性改正值（△T），于是定見時刻=T₀+△t+△T。

關(guān)于日月交食的研究，在皇極歷中載有“推應(yīng)食不食術(shù)”和“推不應(yīng)食而食術(shù)”，(34)這是對張子信第三大發(fā)現(xiàn)的具體補充和發(fā)展。此外，劉焯還首次提出了食差對日食食分大小的影響的具體算法，以及交食起訖時刻的計算方法，并對于交食的虧起方位作了前所未有的詳細討論。

劉焯還是黃道和白道宿度變換的首創(chuàng)者。他曾測得75年差一度的新歲差值，這是一個相當準確的數(shù)值。他對南北相距千里，日影長度相差一寸的舊說，持反對的態(tài)度，并提出由實測加以驗證的具體建議。可惜這一建議連同他的皇極歷均未被采納，但他的科學(xué)業(yè)績卻是不可泯滅的。

和劉焯同時的另一位天文學(xué)家張胄玄，也吸取了張子信的工作成果，約于610年編成大業(yè)歷。雖然大業(yè)歷對于類似問題的處置不如皇極歷周全，卻也別樹一幟，尤其在五星運動的研究上最為突出。張胄玄測得五星會合周期分別為：木星398.882日（誤差0.002日），火星779.926日（誤差0.011日），土星378.090日（誤差0.002日），金星583.922日（誤差小于0.001日），水星115.879日（誤差0.001日），它們是我國古代所取得的最佳成果。又，張胄玄對五星在一個會合周期內(nèi)的動態(tài)進行描述時，以為在某些動態(tài)段中，五星的運行速率是依等差級數(shù)變化的，并解決了等級差數(shù)求和的問題，這在天文學(xué)上和數(shù)學(xué)上都是有重要意義的。

四、一行及其大衍歷

一行（683—727年），魏州昌樂（今河南南樂縣）人，俗名張遂，唐代名僧，在天文學(xué)上有很高的造詣，他對我國古代天文歷法體系的貢獻主要有如下三個方面：

1.大衍歷的編制和創(chuàng)新

公元728年，張說奏上一行完成的大衍歷。一行為編此歷，進行了大量的天文實測，并對中外歷法系統(tǒng)進行了深入的研究，在繼承傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，頗多創(chuàng)新。

從歷法的編次體例上看，共計分為七章：(35)“步中朔”（計算節(jié)氣、朔望等），“步發(fā)斂”（計算七十二候等），“步日躔”（關(guān)于太陽運動的計算），“步月離”（關(guān)于月亮運動的計算），“步軌漏”（計算日影及晝夜漏刻長度），“步交會”（日月交食的計算）和“步五星”（關(guān)于五星運動的計算）。它們具有結(jié)構(gòu)合理、邏輯嚴密、體系完整的特點，后世歷法大都因之，成為歷法體例的楷模。從內(nèi)容上考察，其創(chuàng)新之處主要有：

對太陽視運動不均勻性進行新的描述，糾正了張子信、劉焯以來日躔表的失誤，提出了我國古代第一份從總體規(guī)律上符合實際的日躔表。在利用日躔表進行任一時刻太陽視運動改正值的計算時，一行發(fā)明了不等間距二次差內(nèi)插法，這是對劉焯相應(yīng)計算法的重要發(fā)展。

一行對于五星運動規(guī)律進行了新的探索和描述，確立了五星運動近日點的新概念，明確進行了五星近日點黃經(jīng)的測算工作。如他以為728年時，木、火和土三星的近日點黃經(jīng)分別為345.1°，300.2°和68.3°，這與相應(yīng)理論值的誤差分別為9.1°、12.5°和1.6°，此中土星近日點黃經(jīng)的精度已經(jīng)達到了很高的水平。(36)一行還首先闡明了五星近日點進動的概念，并定出了每年進動的具體數(shù)值。在對五星運動不均勻性進行描述時，一行發(fā)明了五星盈縮運動的數(shù)值表，它是以五星近日點為起算點，每隔15°定出一個五星實際行度與平均行度之差的數(shù)值表格。據(jù)此，再應(yīng)用等間距二次差內(nèi)插法，推求任一時刻五星運動不均勻的改正值，這一表格和方法均較張子信等人的“入氣加減”法前進了一大步。

大衍歷還首創(chuàng)了九服晷漏、九服食差等的計算法。前代各歷法在計算晷漏、食差時，都僅局限于京都所在地，其結(jié)果并不適應(yīng)全國廣大地區(qū)（即九服之地）的實際情況，所以新算法的提出，就把原先僅合用于京師的歷法，全面推廣為真正的全國性歷法，其意義可想而知。而且，在新算法中，還包含有一行編成的世界上最早的正切函數(shù)表，更具有重大的數(shù)學(xué)意義。(37)

2.新儀器的制作

為編制大衍歷的需要，一行和梁令瓚等人共同制作了用于天體位置（赤道、黃道、白道和地平四種坐標）測量的新儀器——黃道游儀。該儀器是在唐初天文學(xué)家李淳風(fēng)所制的渾天黃道儀的基礎(chǔ)上演變、發(fā)展而成的。黃道游儀有三重環(huán)組構(gòu)成：外面一重是固定不動的，包括有地平、子午（南北方向）和卯酉（東西方向）三個環(huán)；中間一重是黃道環(huán)、赤道環(huán)和白道環(huán)三個環(huán)，它們均可繞極軸轉(zhuǎn)動；里面一重是夾有窺管的四游環(huán)，可以靈活地照準任一天體。另外，李淳風(fēng)曾在黃道環(huán)上打了249對孔，令白道環(huán)每經(jīng)約27日移動一對孔，以適應(yīng)黃白交點沿黃道不斷西移的天文現(xiàn)象。對此，一行等人稍作改進，他們分別在黃道環(huán)和赤道環(huán)上每隔一度打一個孔，計365個小孔，前者與李淳風(fēng)的用意相當，后者則是為適應(yīng)歲差現(xiàn)象而設(shè)計的。

一行和梁令瓚還共同制作了用于演示天象和報時的水運渾天儀，這是對張衡水運渾象的發(fā)展，既能自動地表演天球和日月的運動，還能令立于地平環(huán)上的兩個木人按刻自然擊鼓，依辰自然打鐘，是為自動報時器的始祖。

3.子午線長度的實測工作

724年至725年間，一行分別派人到北起鐵勒（今俄羅斯貝加爾湖附近，約北緯51°），南至林邑（今越南中部，約北緯18°）的13個地點，測量它們的北極出地高度（即地理緯度）、冬夏至和春秋分日影長度，以及冬夏至?xí)円孤┛涕L度等數(shù)據(jù)，為九服晷漏等歷法問題的計算準備必要的條件。

在這項工作中，一行精心選定了滑州白馬（今河南滑縣）、汴州浚儀（今河南開封市）、許州扶溝（今河南扶溝縣）和蔡州上蔡（今河南上蔡縣）四處，它們大體位于同一地理經(jīng)度上，且均地處平原，便于距離的丈量。在這四處，除進行上述數(shù)據(jù)的測定外，還丈量了它們彼此間的水平距離。具體測量工作由另一位天文學(xué)家南宮說負責(zé)。一行則由這四處的距離差與北極出地高度差的比例關(guān)系的分析中，得出南北相距“大率三百五十一里八十步，而極差一度”(38)的重要結(jié)論，即以為子午線每1°長131.11公里。雖然這一數(shù)值比近代的結(jié)果偏大約20公里，但它畢竟是世界上第一次子午線1°長度的實測工作。

五、曹士和邊岡等人的貢獻

曹士是唐代民間天文學(xué)家。在780—783年間，他撰成符天歷，這僅是一種民間小歷，似不登大雅之堂，但實際上，卻在歷法史上占有相當重要的地位。

符天歷選取唐高宗顯慶五年（660年）為歷元，以這種近距歷元取代傳統(tǒng)的上元法。所謂上元是一種理想的歷元，它要求一系列天文現(xiàn)象同起始于一點，這實際上是不可能的，強求之，就不能不帶有牽強附會的因素，而且自上元到實際求算年之間往往相距極其龐大的年份，所以上元法存在既使計算繁雜，又使計算結(jié)果失真的弊端。曹士的改革，正是針對這種弊病采取的有效措施。又，傳統(tǒng)歷法的天文數(shù)據(jù)，一般均以分數(shù)表示。對此，曹士選用了萬分法，即取分母為一萬，這既使各天文數(shù)據(jù)呈一目了然的形式，又使計算便捷。這兩項改革，后為元代授時歷所接受。

此外，曹士開辟了歷法數(shù)值表格及其計算公式化的蹊徑。符天歷對于日躔表及太陽視運動不均勻性改正的計算進行了極重要的改革，建立了太陽實際運行度（V）與平均運行度（M）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式：(39)

式中M為所求日距冬至?xí)r刻的天數(shù)，亦即度數(shù)。該式實質(zhì)上是劉焯二次差內(nèi)插法的一種特殊形式，它既具有計算上的簡便性，又具有數(shù)學(xué)上的嚴密性。它的出現(xiàn)是我國古代歷法體系進一步公式化、數(shù)學(xué)化的重要標志。

這種公式化、數(shù)學(xué)化的趨勢，在邊岡的崇玄歷（892年）中得到了極大的發(fā)展。邊岡把曹士上述公式所展示的數(shù)學(xué)方法，明確歸結(jié)為“相減相乘”法，并把該法推廣應(yīng)用于黃赤道宿度變換、月亮極黃緯和交食等歷法問題的計算中，均建立了相應(yīng)的算式。不但如此，邊岡還首創(chuàng)了計算每日中午日影長度的二個三次函數(shù)式，(40)把傳統(tǒng)的二十四節(jié)氣晷影長度表格及其每日晷長的計算公式化了。他還曾定出二個計算太陽視赤緯的算式，(41)系為四次函數(shù)式，這就把傳統(tǒng)的二十四節(jié)氣太陽視赤緯表格及每日太陽視赤緯的計算公式化了。它們在天文學(xué)和數(shù)學(xué)上都具有很重要的意義。

唐代天文學(xué)家徐昂在其宣明歷（822年）中對日食計算所作的重要改進，也是這時天文歷法的重要事件。徐昂把月亮視差對日食的影響，區(qū)分為“時差”、“氣差”、“刻差”和“加差”(42)四種，它們都與日食發(fā)生、節(jié)氣的先后及辰刻的早晚有關(guān)。其中，時差是從定朔時刻求食甚時刻的修正值，而后三者是對去交度（月亮與黃白交點的度距）的修正值，用以判斷日食發(fā)生與否以及食分大小的計算。對此，徐昂均提出了近似的、經(jīng)驗性的計算方法。由于加差僅是一項微小的訂正，后世歷法均略而不計，于是徐昂首創(chuàng)的時差、氣差和刻差，被合稱為日食三差法，成為后世歷法遵循的經(jīng)典方法。