當(dāng)某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時，發(fā)生這種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)。粒子進(jìn)入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題，如帶電粒子恰好不能從某個邊界射出磁場，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場中的運(yùn)動時間等。如何分析這類相關(guān)的問題是本文所討論的內(nèi)容。

　　一、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的分析方法

　　1．圓心的確定

　　因?yàn)槁鍌惼澚?b>F指向圓心，根據(jù)F⊥v，畫出粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入和射出磁場兩點(diǎn)），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點(diǎn)即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。

　　2．半徑的確定和計(jì)算

　　利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個重要的幾何特點(diǎn)：

　?、倭Ｗ铀俣鹊钠蚪?i>φ等于轉(zhuǎn)過的圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）θ的2倍，如圖2所示，即φ=α=2θ。

　?、谙鄬Φ南仪薪?i>θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ+θ′=180°。

　　3．粒子在磁場中運(yùn)動時間的確定

　　若要計(jì)算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角α與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算出圓心角α的大小，并由表達(dá)式，確定通過該段圓弧所用的時間，其中T即為該粒子做圓周運(yùn)動的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時間t越長，注意t與運(yùn)動軌跡的長短無關(guān)。

　　4．帶電粒子在兩種典型有界磁場中運(yùn)動情況的分析

　　①穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長線）。

　　a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R見圖標(biāo)）

　　b、帶電粒子的側(cè)移由R²=L²-（R-y）²解出；（y見所圖標(biāo)）

　　c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。

　?、诖┻^圓形磁場區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。

　　a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由求出；（θ、r和R見圖標(biāo)）

　　b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。

　　二、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動類型的分析

　　1．給定有界磁場

　　（1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點(diǎn)或其它

　　【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v₀從O點(diǎn)射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場時的位置與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。

　　解析：帶正電粒子射入磁場后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖6所示的軌跡運(yùn)動，從A點(diǎn)射出磁場，O、A間的距離為l，射出時速度的大小仍為v₀，射出方向與x軸的夾角仍為θ。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得，

　　，（式中R為圓軌道的半徑）

　　解得

　　R=mv₀/qB　　　　　　①

　　圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系可得

　　l/2=Rsinθ　　　　　?、?/span>

　　聯(lián)立①、②兩式，解得

　　。

　　點(diǎn)評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，求該粒子的電量和質(zhì)量之比，也可以倒過來分析，求出射點(diǎn)的位置。在處理這類問題時重點(diǎn)是畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。

　　（2）確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍

　　【例2】如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的長為L，寬為L/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e 的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v 的取值范圍？

　　解析：（1）帶電粒子射入磁場后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R₁=L/4，再由R₁=mv₁/eB，得

　　當(dāng)速率最大時，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R₂滿足，即R₂=5L/4，再由R₂=mv₂/eB，得

　　電子速率v的取值范圍為：。

　　點(diǎn)評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射速度的方向，由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動的軌跡圖，再根據(jù)幾何關(guān)系確定對應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。

　　（3）確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍

　　【例3】（2004年廣東省高考試題）如圖8所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0．60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×10⁶m/s，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5．0×10⁷C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。

　　解析：α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，用R表示軌道半徑，有qvB=mv²/R，

　　由此得   R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。

　　可見，2R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P₁就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P₁點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P₁。

　　，

　　再考慮N的右側(cè)。任何α粒子在運(yùn)動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P₂點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。

　　由圖中幾何關(guān)系得

　　，

　　所求長度為 P₁P₂=NP₁+NP₂，

　　代入數(shù)值得 P₁P₂=20cm。

　　點(diǎn)評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射速度的大小，其對應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動的軌跡圖（對應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍。

　　2．給定動態(tài)有界磁場

　　（1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點(diǎn)的位置

　　【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖10所示。一個不計(jì)重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場，恰好從磁場邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。

　?。?）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m；

　?。?）若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)?i>B′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場中運(yùn)動所用時間t是多少？

　　解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。

　　如圖11所示，粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑 r=R，又

　　，

　　則粒子的荷質(zhì)比為  。

　?。?）粒子從D點(diǎn)飛出磁場速度方向改變了60°角，故AD弧所對圓心角60°，粒子做圓周運(yùn)動的半徑，又，所以 ，

　　粒子在磁場中飛行時間：。

　　點(diǎn)評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運(yùn)動的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時重點(diǎn)是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運(yùn)動的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射點(diǎn)的位置。

　　（2）確定入射速度和出射速度的大小和方向，判定動態(tài)有界磁場的邊界位置

　　【例5】（1994年全國高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。

　　解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場中作半徑為R的圓周運(yùn)動，

　　qvB=（Mv²）/R，得R=（MV）/（qB）。

　　根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O′點(diǎn)就是圓周的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道就是以O′為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。

　　在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：

　　，

　　所求磁場區(qū)域如圖13所示中實(shí)線圓所示。

　　點(diǎn)評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，但磁場區(qū)域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運(yùn)動的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時重點(diǎn)是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運(yùn)動的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子運(yùn)動軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的磁場區(qū)域的位置。

　　綜上所述，運(yùn)動的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場，若僅受洛侖茲力作用時，它一定做勻速圓周運(yùn)動，這類問題雖然比較復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動軌跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動時間不太難。

　　【鞏固練習(xí)】

　　1．（2005年理綜I）如圖14所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中。哪個圖是正確的？

　　A．        B．

　　C．         D．

　　答案：A

　　2．（1999年全國高考試題）如圖15所示中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內(nèi)各個方向已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L不計(jì)重力及粒子間的相互作用。

　　（1）求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑；

　?。?）求這兩個粒子從O點(diǎn)射入磁場的時間間隔。

　　答案：（1）R=mv/qB；（2）△t=4marccos（LqB/2mv）/qB。

　　3．（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點(diǎn)以初速度v₀平行于x軸射出，為了使電子能夠經(jīng)過x軸上的Q（b，0）點(diǎn)，可在y軸右側(cè)加一垂直于xoy平面向里、寬度為L的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該磁場左、右邊界與y軸平行，上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）。已知，L＜b。試求磁場的左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的可能距離。（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）

　　答案：⑴當(dāng)r>L時（r為電子的軌跡半徑），磁場左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：

　　（其中）；

　?。?）當(dāng)r≤L時，磁場左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：。