帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)這一特點(diǎn)該問題的解決方法一般為：一定圓心，二畫軌跡，三用幾何關(guān)系求半徑，四根據(jù)圓心角和周期關(guān)系確定運(yùn)動時間。其中圓心的確定最為關(guān)鍵，一般方法為：①已知入射方向和出射方向時，過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)做垂直于速度方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心。②已知入射點(diǎn)位置及入射時速度方向和出射點(diǎn)的位置時，可以通過入射點(diǎn)做入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，做其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心。

以上方法簡單明了，但具體求解時，學(xué)生對其軌跡的變化想象不出來，從而導(dǎo)致錯解習(xí)題。如從以上方法出發(fā)，再借助圓規(guī)或硬幣從“動態(tài)圓”角度分析，便可快而準(zhǔn)的解決問題。此類試題可分為旋轉(zhuǎn)圓、縮放圓和平移圓三大類型，下面以2010年高考試題為例進(jìn)行分析。

一、旋轉(zhuǎn)圓

模型特征

帶電粒子從某一點(diǎn)以大小不變而方向不限定（如0—180°范圍內(nèi)）的速度射入勻強(qiáng)磁場中，這類問題都可以歸結(jié)為旋轉(zhuǎn)圓問題，把其軌跡連續(xù)起來觀察可認(rèn)為是一個半徑不變的圓，根據(jù)速度方向的變化以出射點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)軸在旋轉(zhuǎn)如圖1。解題時使用圓規(guī)或硬幣都可以快捷畫出其軌跡，達(dá)到快速解答試題的目的。

典例解析

例1（2010·全國1）如圖2，在0≤x≤a區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在t＝0時刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xOy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0°～180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t＝t₀時刻剛好從磁場邊界上P（a，a）點(diǎn)離開磁場。求：

（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑R及粒子的比荷q/m；

（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間

動態(tài)分析

由題知沿y軸正方向發(fā)射的粒子從磁場邊界上P(a，a)點(diǎn)離開磁場，利用圓規(guī)或硬幣可作出其軌跡圖像如圖3，由于粒子速度方向在0°～180°范圍內(nèi)，其它方向的軌跡可以通過旋轉(zhuǎn)第一個圓得到（O點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)），如圖4。從圖中可明顯發(fā)現(xiàn)第2問第3問所涉及的粒子軌跡所在位置，利用幾何關(guān)系便可解答此題。

解析：（1）初速度與y軸正方向平行的粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖5中的弧所示，其圓心為C。由題給條件可以得出∠OCP＝    ①

此粒子飛出磁場所用的時間為t₀＝     ②設(shè)粒子運(yùn)動速度的大小為v，半徑為R，由幾何關(guān)系可得    ③由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有 ④ ⑤，聯(lián)立②③④⑤式，得     ⑥

(2)依題意，同一時刻仍在磁場內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同。在t₀時刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以O點(diǎn)為圓心、OP為半徑的弧上，如圖所示。

設(shè)此時位于P、M、N三點(diǎn)的粒子的初速度分別為v_P、v_M、v_N。由對稱性可知v_P與OP、v_M與OM、v_N與ON的夾角均為π/3。設(shè)v_M、v_N與y軸正向的夾角分別為θ_M、θ_N，由幾何關(guān)系有θ_M＝     θ_N＝ ⑧，對于所有此時仍在磁場中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角θ應(yīng)滿足         ⑨

(3)在磁場中飛行時間最長的粒子的運(yùn)動軌跡應(yīng)與磁場右邊界相切，其軌跡如圖6所示。由幾何關(guān)系可知，  ⑩，由對稱性可知，   ?，從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場所用的時間t_m＝2t₀      ?

跟蹤練習(xí)

1．（2010·新課標(biāo)）如圖7所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內(nèi)垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)。已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的

（1）速度的大??；

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

答案：

二、縮放圓

模型特征

帶電粒子從某一點(diǎn)以速度方向不變而大小在改變（或質(zhì)量改變）射入勻強(qiáng)磁場，在勻強(qiáng)磁場中做半徑不斷變化的勻速圓周運(yùn)動。把其軌跡連續(xù)起來觀察，好比一個與入射點(diǎn)相切并在放大（速度或質(zhì)量逐漸增大時）或縮?。ㄋ俣然蛸|(zhì)量逐漸減小時）的運(yùn)動圓，如圖8。解題時借助圓規(guī)多畫出幾個半徑不同的圓，可方便發(fā)現(xiàn)粒子軌跡特點(diǎn)，達(dá)到快速解題的目的。

典例解析

例2（2010·廣東）如圖10（a）所示，左為某同學(xué)設(shè)想的粒子速度選擇裝置，由水平轉(zhuǎn)軸及兩個薄盤N₁、N₂構(gòu)成，兩盤面平行且與轉(zhuǎn)軸垂直，相距為L，盤上各開一狹縫，兩狹縫夾角θ可調(diào)(如圖10（b）；右為水平放置的長為d的感光板，板的正上方有一勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一小束速度不同、帶正電的粒子沿水平方向射入N₁，能通過N₂的粒子經(jīng)O點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場。O到感光板的距離為，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，不計重力。

（1）若兩狹縫平行且盤靜止，如圖9（c），某一粒子進(jìn)入磁場后，豎直向下打在感光板中心點(diǎn)M上，求該粒子在磁場中運(yùn)動的時間t；

（2）若兩狹縫夾角為θ₀，盤勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向如圖9（b）。要使穿過N₁、N₂的粒子均打到感光板P₁P₂連線上，試分析盤轉(zhuǎn)動角速度ω的取值范圍（設(shè)通過N₁的所有粒子在盤旋轉(zhuǎn)一圈的時間內(nèi)都能到達(dá)N₂）。

動態(tài)分析

通過審題可知，此題是通過粒子軌跡的變化求粒子速度范圍進(jìn)而求圓盤角速度范圍。粒子以不同的速率沿水平方向從O點(diǎn)射入磁場，做半徑不同的勻速圓周運(yùn)動，由左手定則確定這些圓的圓心都在OP₁連線上，且以O點(diǎn)為切點(diǎn)，利用圓規(guī)任畫一個圓，設(shè)想半徑不斷變大，很容易發(fā)現(xiàn)可以打在感光板上的粒子軌跡，找到兩個邊界軌跡，從而解答題目。

解析

（1）粒子運(yùn)動半徑為R＝    ①，由牛頓第二定律qvB＝m ②，勻速圓周運(yùn)動周期T＝ ③，粒子在磁場中運(yùn)動時間

（2）如圖11，設(shè)粒子運(yùn)動臨界半徑分別為R₁和R₂，⑥，設(shè)粒子臨界速度分別為v₁和v₂，由②⑤⑥式，得若粒子通過兩轉(zhuǎn)盤，由題設(shè)可知，聯(lián)立⑦⑧⑨，得對應(yīng)轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速分別為：，。所以粒子要打在感光板上，需滿足條件：。

跟蹤練習(xí)

2.（2010·全國2）圖12中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面朝里，圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場區(qū)域，不計重力。

（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量。

（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)(圖中未畫出)穿出磁場，且GI長為a，求離子乙的質(zhì)量。

（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。

思路點(diǎn)撥

此題是通過改變粒子質(zhì)量實現(xiàn)軌跡的變化,求解粒子運(yùn)動過程中的臨界條件。

答案：

三、平移圓

模型特征

帶電粒子在兩個或更多個并列勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動，粒子從一個勻強(qiáng)磁場進(jìn)入另一個勻強(qiáng)磁場后，若磁場方向相反，根據(jù)左手定則得粒子旋轉(zhuǎn)方向相反，軌跡在交界處必外切，軌跡可認(rèn)為是圓的平移所得，如磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也變再結(jié)合縮放圓處理；若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得粒子運(yùn)動半徑改變，軌跡在交界處必內(nèi)切，軌跡可認(rèn)為兩個半徑不同的圓通過交替平移所得。如圖13所示。

典例解析

例3（2010·浙江）有一個放射源水平放射出α、β和γ三種射線，垂直射入如圖14所示磁場。區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的寬度均為d，各自存在著垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B相等，方向相反(粒子運(yùn)動不考慮相對論效應(yīng))。

（1）若要篩選出速率大于v₁的β粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，求磁場寬度d與B和v₁的關(guān)系。

（2）若B＝0.0034 T，v₁＝0.1c（c是光速），則可得d；α粒子的速率為0.001c，計算α和γ射線離開區(qū)域Ⅰ時的距離；并給出去除α和γ射線的方法。

（3）當(dāng)d滿足第(1)小題所給關(guān)系時，請給出速率在v₁＜v＜v₂區(qū)間的β粒子離開區(qū)域Ⅱ時的位置和方向。

（4）請設(shè)計一種方案，能使離開區(qū)域Ⅱ的β粒子束在右側(cè)聚焦且水平出射。

已知：電子質(zhì)量m_e＝9.1×10^－31 kg，α粒子質(zhì)量m_α＝6.7×10^－27 kg，電子電荷量q＝1.6×10^－19C，。

動態(tài)分析

此題是縮放圓和平移圓的結(jié)合應(yīng)用。根據(jù)洛倫茲力提供向心力，β粒子順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)速度逐漸增大，軌跡半徑在Ⅰ區(qū)域不斷變大，當(dāng)與交界處相切時，速度再增大則進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，由于兩區(qū)域僅磁場方向相反，所以軌跡在兩區(qū)域交界處外切，可通過圓的平移得到粒子運(yùn)動軌跡，如圖15所示。

解析：

（1）根據(jù)帶電粒子在磁場中受洛倫茲力作用后做圓周運(yùn)動的規(guī)律：   ①

由臨界條件得d、B和v₁的關(guān)系為：   ②

（2）由①式可得α粒子的回旋半徑：由②式得：，豎直方向的距離為：?？梢娡ㄟ^區(qū)域Ⅰ的磁場難以將α射線與γ射線分離．可用薄紙擋去α射線，須用厚鉛板擋掉γ射線。

（3）在上述磁場條件下，要求速率在v₁＜v＜v₂區(qū)間的β粒子離開區(qū)域Ⅱ時的位置和方向，先求出速度為v₂的β粒子所對應(yīng)的圓周運(yùn)動半徑：，該β粒子從區(qū)域Ⅰ磁場射出時，垂直方向偏離的距離為：；同理可得從區(qū)域Ⅱ射出時，垂直方向偏離的距離為：；同理可得，與速度為v₁對應(yīng)的β粒子垂直方向偏離的距離為：。速率在v₁＜v＜v₂區(qū)間射出的β粒子束寬為Y₁－Y₂，方向水平向右。

（4）由對稱性可以設(shè)計出如圖18所示的磁場區(qū)域，最后形成聚焦，且方向水平向右。

小結(jié)

從以上分析可知，利用圓規(guī)、硬幣從動態(tài)圓角度可快捷的解決復(fù)雜的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的相關(guān)問題，如臨界值、多解等常見問題。這種方法簡單易學(xué)，學(xué)生也能容易掌握規(guī)律。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這種借助簡單的道具解決問題的方法不僅充滿了好奇心，解決問題的過程中充滿新鮮感，而且在解決完問題后又一片驚嘆：原來問題可以這樣來解決！寓教于樂，給人以深刻的思維啟迪。