他在提到自己的理念時用到了不少野心勃勃的說法，例如“知識方法總論”、“哲學語言”、“通用數(shù)學”、“通用系統(tǒng)”，還有“思維演算法”。他料想這一系統(tǒng)最終會應用在所有領域：科學、法律、醫(yī)學、工程學、神學等等。但在其中一門學問中，他很快就取得了顯著成就，那就是數(shù)學。

據我的了解，數(shù)學史上將數(shù)學符號當作中心課題來研究的案例驚人地少見。僅有幾例，如19世紀末期，現(xiàn)代數(shù)理邏輯論開端伊始，戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，德國數(shù)學家、邏輯學家和哲學家，數(shù)理邏輯的奠基人）及朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano，意大利數(shù)學家、邏輯學家和語言學家，數(shù)理邏輯先驅）等人的工作。還有近年來我在建立Mathematica和Wolfram語言的過程中的一些嘗試。但萊布尼茨早在3個世紀前就開始了這項工作。并且據我揣測，萊布尼茨在數(shù)學領域的成就，很大程度上要歸功于他在符號系統(tǒng)方面做出的努力，以及這一系統(tǒng)所帶來的更為明晰的數(shù)學結構和流程之推論。

在數(shù)學領域符號系統(tǒng)方面的成就

當我們閱讀萊氏的論文時，會發(fā)現(xiàn)他使用的符號及其演變十分引人入勝。其中很多看上去非?，F(xiàn)代化。盡管也有少數(shù)17世紀的鬼畫符，比方說他偶爾會用煉金術或占星術中的符號表示代數(shù)中的變量：

萊布尼茨用煉金術或占星術中的符號表示代數(shù)中的變量

在此處，他把Π用作等號，并略顯俗套地把這個符號當成一個天平：把某一邊的“腿”寫得稍長以表示小于（“<”）或者大于（“>”）：

萊布尼茨表示的大于（“<”）或者小于（“>”）

這里的上劃線用來表示合并同類項——可以說是個比括號更好的主意，盡管不方便打字和排版：

萊布尼茨用上劃線表示合并同類項

今天，我們會用根號來表示根。但是萊布尼茨想在積分里也使用這個符號，并配以帶著漂亮小尾巴的“d”。這讓我想起我們在Mathematica中使用黑板粗體“微分d”來表示積分。

萊布尼茨在積分里使用根的符號

在解方程時經常會用到±，但這常常使分組過程十分混亂，比如說a±b±c。而萊布尼茨似乎也遇到了類似的麻煩，但他發(fā)明了一種標記法來解決這問題——這種方法即便在如今也實在值得一用：

萊布尼茨發(fā)明標記分組±

萊氏使用的一些標記讓我也不明就里。不過這些上波浪線到確實賞心悅目：

還有這些小點：

或者是這些看上去很有趣的圖表：

當然，萊布尼茨最著名的符號要數(shù)他創(chuàng)造的積分符號（用長“S”表示“總和”）以及“d”。這一系統(tǒng)首次被總結出來就是在這張紙的空白處，日期是1675年11月11日（事后“1675”里的“5”被改成了“3”，也許是出自萊布尼茨的手筆）：

萊布尼茨創(chuàng)造的積分符號

我所注意到的有趣的一點是，盡管創(chuàng)造了這些“數(shù)學”運算符號，萊布尼茨顯然并沒有為邏輯運算發(fā)明一套類似的符號?！盎颉眱H僅使用拉丁文“vel”表示，“且”則是“et”，如此等等。而當他想到邏輯量詞（例如現(xiàn)代的?和?）這個點子時，他也只是用拉丁文縮寫U.A.和P.A.草草了事。

萊布尼茨用拉丁文縮寫U.A.和P.A.

早期創(chuàng)建“算數(shù)機”的嘗試

一直讓我感到反常的是，在思想史上，統(tǒng)泛化運算（Universal Computation）的概念直到20世紀30年代才萌生。而我總懷疑萊布尼茨的手稿中是否隱藏著一份統(tǒng)泛化運算的早期版本——也許甚至有一份圖樣可供今人解讀出一套類似圖靈機的系統(tǒng)。但是隨著對萊布尼茨愈加深刻的接觸，我清楚地看到了為何事實并非如此。

其中一個重要原因，據我推測，是他并不足夠重視離散系統(tǒng)。他將組合數(shù)學中的成果稱為“不證自明的”，大概是因為他考慮到這些成果可以用運算方法直接證明。而對他而言，只有“幾何的”或者連續(xù)數(shù)學問題才值得為之發(fā)明微積分來解決。在描述曲線特性等問題時，萊氏想出了類似連續(xù)函數(shù)的方法。但他從未把這種函數(shù)思想應用在離散數(shù)學中——而這卻很可能引導他開始思考構建函數(shù)的通用元素。

萊布尼茨認識到了他的微積分的成功，并且一心想為其他領域也創(chuàng)造出類似的“微積分”。在他與統(tǒng)泛化運算另一次失之交臂的經歷中，萊布尼茨想到用數(shù)字來將邏輯特征編碼。他設想將某事物的每一個可能的性質都與一個不同的質數(shù)相對應，然后再通過這些代表其性質的質數(shù)之乘積來描述這一事物——隨后再用數(shù)學運算來代替邏輯推演過程。但是他只考慮到了靜態(tài)性質——并且從未能想到像哥德爾數(shù)那樣，將運算同樣用數(shù)字進行編碼。

盡管萊布尼茨沒有產生統(tǒng)泛化運算的思想，可是他確乎體會到了一個理念：計算在某種意義上是機械化的。而且他在早期似乎確實下過決心要建造一個實實在在的機械計算機來進行數(shù)學運算?？赡懿糠衷蚴菫榱怂约河弥奖悖ㄟ@可是開發(fā)新技術的萬能理由?。驗槠查_他在代數(shù)及其他方面的造詣不談，他的手稿邊上寫滿了基礎（有些還是錯誤的）算式——而這些也一并被保存下來供后人觀瞻：

在萊布尼茨的時代，曾有過零星的幾個建造機械計算機的實例，并且在巴黎時期，他無疑見識過帕斯卡于1642年建造的加法計算器。但是萊布尼茨致力于建造一個“全能”計算機，而這將是首次可以在一臺機器上進行全部4種基礎運算。他還想給這機器設計一個簡單的“用戶界面”：使用者可以將操作柄扳向一方進行乘法，扳向反方向則是除法操作。

在萊布尼茨手稿中，探討該機器的工作原理的各式簡圖隨處可見：

萊布尼茨手稿中的各式簡圖

萊布尼茨原本設想他的計算機能具有優(yōu)秀的實際功用——實際上他似乎希望能將其發(fā)展為一樁成功的生意。但實際上，單是讓這臺計算機穩(wěn)定地運作便令萊布尼茨勞心費力。因為正如那一時代的其他機械計算機一樣，這臺機器不過是個被夸大的了里程表。它和近200年后查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage，英國數(shù)學家、發(fā)明家兼機械工程師）的機器類似，當發(fā)生大規(guī)模的連動時，從機械角度上很難實現(xiàn)大量的轉盤同時運轉。

萊布尼茨最初建造了一臺木制原型機，計劃僅用來處理3到4位數(shù)的運算。但是在他1673年造訪倫敦期間，這臺原型機在給羅伯特·胡克等人展示的過程中表現(xiàn)得差強人意。不過他始終認為自己能夠解決所有問題——比方說他在1679年（用法文）寫下的“算數(shù)機最終修正案”：

萊布尼茨1679年用法文寫下的“算數(shù)機最終修正案”

然而1682年的一篇筆記說明還有更多的問題亟待解決：

但萊布尼茨仍依據其筆記起草了一份方案——并且簽約了一位工程師來建造一臺能夠處理更高位數(shù)的銅制版本：

讀萊布尼茨為這臺機器寫的“營銷材料”是件趣事：

萊布尼茨為“算數(shù)機”寫的“營銷材料”

另外還有部分“使用說明”（附帶365×24的計算過程作為“工作樣例”）：

“算數(shù)機”的“使用說明”

并附以用法詳圖作結：

“算數(shù)機”的用法詳圖

盡管付出了這么多的努力，計算器所存在的問題始終沒能解決。事實上，40多年來，萊布尼茨始終在堅持調試他的計算器——大概總共為之投入了（相當于現(xiàn)今的）超過100萬美元。

那么這臺計算機的實物最終下落如何呢？在我參觀萊布尼茨文獻館時，不由得提出了這個問題?！昂冒桑睎|道主說，“可以給你看看?！痹谝婚g儲藏室里，擺滿箱子的排架之間，萊布尼茨的計算器就擺放在一個玻璃盒中，看上去嶄新如初——我順便拍了這張古老與現(xiàn)代怪異并置的照片：

萊布尼茨創(chuàng)造的“計算器”，后景隱約可見本文作者、正在拍照的沃爾夫勒姆。

所有的部件都在這里。包括一個便攜的木制收納箱。同時還配有一個曲軸搖柄。另外，如果一切運轉正常，輕搖幾分鐘就能夠賦予它處理一切基礎數(shù)學運算的能力：

萊布尼茨發(fā)明的手搖計算機細節(jié)，可以做四則運算。

數(shù)與算術的本質：萊布尼茨與2進制

萊布尼茨明確地將他的計算機看作一個實用方面的項目。但他仍希望從中歸納出些許結論，例如一條可以用來描述機械聯(lián)動幾何學的普適“邏輯”。同時，他還思索了數(shù)與算術的本質。并且另辟蹊徑地想出了2進制。

幾個世紀來，10進制以外的進位制一直被應用于趣味數(shù)學中。但萊布尼茨認為2進制具有特殊的含義——說不定它是連接哲學、神學與數(shù)學的重要樞紐。在他與從中國回來的傳教士交流，并認識到2進制正是《易經》的核心思想后，便有了更大的動力，并且認為這與自己的“通用系統(tǒng)”在思想上異曲同工。

萊布尼茨琢磨有可能建造一臺以2進制為基礎的計算機。但他似乎還是覺得只有10進制才有實用意義。

萊布尼茨對2進制的記載讀來有些奇怪。有些部分很清晰實用——而且仍顯得十分現(xiàn)代。但還有些部分非常有17世紀的風格——比如討論2進制證明了萬物都是來自虛無，其中1可被視為上帝，而0則象征著無。

在萊布尼茨之后的數(shù)個世紀里，幾乎沒人用2進制做出些許成果：事實上，直到近幾十年來數(shù)字計算機的興起才改變了這一局面。所以，看看萊氏的手稿，其中他用2進制進行的計算很可能是最為“超越時代”的內容了：

萊布尼茨手稿中用二進制進行的計算

通過2進制的研究，萊布尼茨從某種意義上探尋著可能存在的最簡單的基礎結構。毫無疑問的是，在討論他稱為“單子”的概念時，他也是在進行類似的工作。我不得不承認，我從來沒能真正理解單子論。每當我覺得自己就要搞懂的時候，其中提及靈魂的部分又總會讓我摸不著頭腦。

盡管如此，萊布尼茨似乎推論出“所有可能世界中最好的一個”即“由最少的規(guī)則構建出最多樣化現(xiàn)象”的那一個，這一點始終深深吸引著我。其實，在撰寫《一種新科學》之前，那還是1981年，我剛開始學習并構建一維元胞自動機，我就曾考慮給它們命名為“集群（Polymones）”——可在最后一刻，單子論再一次把我搞懵，嚇退了我。

封存的文件及手稿

萊布尼茨和他的文件一直都被包裹著一層神秘的色彩。庫爾特·哥德爾——也許是他的妄想癥作祟——似乎就曾堅信萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了被壓制了幾個世紀的偉大真理。然而雖然在萊布尼茨辭世后，他的手稿確實被封存了起來，但那是因為他在歷史和族譜方面的研究——以及其中可能牽涉到的國家機密。

萊布尼茨的文件在很久以前就已開封，3個世紀后，我們可能會以為其中的方方面面都已被透徹地研究過?？蓪嶋H情況是，即使在如此長的時間里，也從沒有人真正細致地通覽過所有遺稿。這倒不是因為文件量太大。這些文件一共算來也只有200,000頁——估計能占去架子上十幾格的空間（這僅比1980年以來我個人的文檔略大一點）。真正的問題是材料的多樣化。不僅僅是涉及多種學科。還因為有很多重疊的草稿、筆記和信件，其間的關系不甚明了。

萊布尼茨文獻館保存了一系列令人費解的文件。從尺寸巨大的：

到十分迷你的（隨著年齡增長，近視愈發(fā)嚴重，萊布尼茨的字也越寫越?。?/p>

隨著年齡的增長，萊布尼茨的字越寫越小

檔案里的大多文件都看上去十分嚴肅謹慎。但盡管那個年代紙的價格不菲，我們仍能發(fā)現(xiàn)萊氏的隨手涂鴉留存至今（這會不會是斯賓諾莎？）：

萊布尼茨曾與數(shù)百人有書信來往——其中既有名流也有凡夫——信箋遍及歐洲。在300年后的今天，后人能從中找到雅各布·伯努利等人寄來的“隨筆短箋”：

雅各布·伯努利等人給萊布尼茨寄來的“隨筆短箋”

萊布尼茨長什么樣？請看這里，既有他的官方肖像，也有不帶那頂特大號假發(fā)（甚至在當時也是個笑柄）的版本，據推測他那么做是為遮住自己頭上的一大塊囊腫：

萊布尼茨像，據說他戴假發(fā)是為了隱藏頭上的囊腫。

在萊布尼茨文獻館里，除了大量文件和他的機械計算機之外，還有一件物品：他出門時帶在身邊的一把折椅，他將其掛在車廂里，這樣在車廂移動時他仍能繼續(xù)書寫：

萊布尼茨出門時帶在身邊的一把折椅，方便在車廂移動時也能繼續(xù)書寫

這時我們不禁好奇萊布尼茨的墓碑上鐫刻著怎樣的箴言?？墒菍嶋H上，當萊布尼茨在70歲那年與世長辭時，他的政治生涯已跌入低谷，沒人為他建造精美的紀念堂。盡管如此，我在漢諾威時仍十分熱切地想要瞻仰他的墓——卻發(fā)現(xiàn)碑上只用拉丁文簡單地寫道：“萊布尼茨埋骨處”。

萊布尼茨的墓碑，上面只是簡單地寫了“萊布尼茨埋骨處”。

然而，在城市的另一端，我發(fā)現(xiàn)了另一種形式的紀念——一家直銷店里的餅干被冠以萊布尼茨的名字，以表示對他的敬意：

以萊布尼茨冠名的餅干

萊布尼茨，成就之下的限制

那么，歸根結底，我們該怎樣看待萊布尼茨呢？如果歷史以另一種形式發(fā)展，或許萊布尼茨會與現(xiàn)代的計算機技術建立起直接的聯(lián)系?？墒聦嵤牵R布尼茨的大多數(shù)嘗試都是孤立的——要理解他的工作很大程度上要靠把現(xiàn)代的計算機理論投射回17世紀。

憑我們現(xiàn)在的了解，很容易看清萊布尼茨已經掌握的知識和他沒能搞懂的。他領會到了利用規(guī)范化、符號化的指示物來代表多種不同事物的概念。他還推測可能存在通用化的元素（也許甚至僅需要0和1）可以用來組成這些指示物。并且他意識到，從這些知識的規(guī)范化、符號化表示出發(fā)，有可能通過機械的方式計算其結果——或許還可以通過窮舉所有可能性來開辟新的知識。

萊布尼茨的部分記載顯得過于抽象且形而上——有時簡直令人惱火。但在某種程度上，他又相當務實。而他在技術上又具有足夠的本事，常常能夠取得實際進展。他的一貫方法似乎是以試圖創(chuàng)造一個用來闡明事理的規(guī)范結構為開端——如果可以的話，還要用到規(guī)范的符號。在這之后，他的目標便成了創(chuàng)建一種可以系統(tǒng)地得出結論的“演算法”。

說實在的，他只在一個特定領域用這套方法取得了成功：連續(xù)“幾何”數(shù)學。他從未在離散數(shù)學上認真鉆研，實在是一個遺憾。因為我認為他可能會取得一定成果，甚至不難想象可能就此觸及統(tǒng)泛化運算的理念。他也許最終會開始列舉可能的系統(tǒng)，就像我在計算機領域所做的那樣。

他還在另一個領域上試驗了這套方法，那就是法學。但他在這個方向上起步太早了，直到現(xiàn)在——300年后——計算法學才剛開始顯出現(xiàn)實意義。

萊布尼茨還在物理學上做出了嘗試。但盡管他在一些具體概念上取得了成果（比如動能），卻從沒能夠像牛頓在他的《原理》（這里指的是《自然哲學的數(shù)學原理》）一書中實際做到的那樣，總結出一套大型的“世界的體系”。

在某種程度上，我認為萊布尼茨之所為沒能實現(xiàn)更高的成就，是因為他太執(zhí)著于實用性，以及——這一點和牛頓很像——解構實際物理過程，而不是將眼光放在相關形式結構上。因為，如果萊布尼茨曾至少嘗試一些我在《一種新科學》里所做的基礎性探索——我想這對他而言毫無技術難度——那么科學史恐怕就要被重新改寫。

我也開始意識到，當萊布尼茨在發(fā)明微積分的公關戰(zhàn)中敗給牛頓，受到威脅的并不僅僅是他個人的名譽，更有一種對科學的思考方式。牛頓在某種意義上是一個典型的實用主義者：他發(fā)明了一種工具，然后展示了如何將其應用于計算物質世界中的現(xiàn)實問題。但萊布尼茨的視野更為廣闊，也更具哲學意味，他認為微積分的本質并不是工具，而是一個足以促使我們研究其他領域的規(guī)范化以及其他通用性工具的范例。

我常常以為，我所奉行的現(xiàn)代計算化思維方式是規(guī)范化、結構化思考顯著且必然的一個特點。但我從未清晰地認識到這種顯著性是否僅僅是這個時代，以及我們使用當代實用計算機技術的經驗所帶來的結果。對萊布尼茨的關注給了我們新的視角。事實上，我們可以看到現(xiàn)代計算化思維方式的部分核心思想，甚至在遠早于這個時代就成為了可能。但是技術大環(huán)境的局限和過去幾個世紀的理解方式，給這種思想的前途界定了明確的極限。

當然，這也給今天的我們帶來一個發(fā)人深省的問題：由于不具有未來的科技大環(huán)境，我們在認識計算化思維的內核的道路上又落后了多少呢？對我而言，對萊布尼茨的研究使我更加聚焦于這一問題。而有一點是我可以清楚地預見的。

在萊布尼茨的一生中，他所見過的計算機寥寥無幾，而且它們只能做基本數(shù)學運算。如今世界上有數(shù)10億臺計算機，而它們可以勝任各種工作。但在未來，計算機的數(shù)量必然遠大于此（受計算等價原則影響，計算機將更容易制造）。而且毋庸置疑的是，我們生產的所有物品顯然都將由各級計算機制造。最終，所有事物都一定將成為可編程的，小到原子。當然，生物學已經在某種程度上實現(xiàn)了這一點，只是尚有許多約束。但我們將來終能徹底地將其實現(xiàn)，無論何處。

在某種程度上，我們已經可以看出這暗示著計算過程與物理過程的部分結合。但對我們來說，推測這種融合的難度就好比讓萊布尼茨設想Mathematica和Wolfram Alpha一樣。

萊布尼茨死于1716年11月16日。到2016年就是整整300年了。我們大可利用這一絕好的時機，確保終于能夠徹底地研究萊布尼茨所留給我們的全部遺產——并且慶祝在3個世紀后，萊布尼茨多少重要的遠見已經成為現(xiàn)實，縱然是以他永遠無法想象的方式。

內容注釋

[1] 萊布尼茨將真理分為推理真理和事實真理。其中推理真理是普遍必然的，單憑邏輯學的矛盾律就可以推論出來，它的反面是不可能的。而事實真理是偶然的，它是從歸納得來的，必須符合充足理由律，它的反面是可能的。