摘 要：二次函數(shù)中三角形面積問題是代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的一個(gè)考點(diǎn)，是函數(shù)的綜合應(yīng)用能力的提升。二次函數(shù)這部分內(nèi)容可滲透的數(shù)學(xué)思想多，解題方法多，老師在講述這些題目時(shí)一定要注意循序漸進(jìn)把握好梯度。在探究這些問題時(shí)，首先要讓學(xué)生加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的回顧，同時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想去思考問題、解決問題的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，使其形成自主學(xué)習(xí)、自主探索的意識(shí)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)； 二次函數(shù)； 三角形面積問題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2012）10-035-001

一、拋磚引玉

建模：已知直角坐標(biāo)中點(diǎn)B（3，0），C（0，3）D（1，4），求出順次連結(jié)這三點(diǎn)的三角形的面積。

引導(dǎo)問題：在平面直角坐標(biāo)系中畫出BCD的圖形。探索根據(jù)已知三點(diǎn)的坐標(biāo)如何來求出BCD的面積。在求BCD時(shí)遇到困難時(shí)能否用數(shù)學(xué)的“割補(bǔ)法”幫助你解決這個(gè)問題。請(qǐng)你提出你的觀點(diǎn)并大膽地嘗試。

教學(xué)感悟：本次建模是為下面引出問題作下伏筆，我們盡可能讓學(xué)生提出不同的分割思想，讓學(xué)生提出不同的見解，說出不同的解決問題方法。

二、構(gòu)建例題

例題：如圖（7）已知拋物線圖象過A（-1，0），C（0，3）且對(duì)稱軸為直線x=1。

（1）求拋物線的解析式，圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求DCB的面積。

引導(dǎo)問題：求二次函數(shù)的解析式有哪三種方法？本題采用哪一種方法解題比較簡單？求DCB面積時(shí)我們需要做些什么準(zhǔn)備工作？B、C、D坐標(biāo)求出后三角形面積如何求？它與上述的模型有類同之處嗎？如有類同，哪些分割法比較適宜本題？請(qǐng)你試試并求出答案。

設(shè)計(jì)意圖：通過本題學(xué)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步掌握二次函數(shù)解析式的三種不同的表達(dá)式，讓學(xué)生體會(huì)到不同的選擇帶來不同的簡便效果，進(jìn)一步讓學(xué)生掌握平面直角坐標(biāo)中求斜三角形面積的不同分割方法。

變式題1：如圖（8），已知拋物線與坐標(biāo)軸交于C、B兩點(diǎn)，D是直線BC上方的二次函數(shù)的一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)D與B、C不重合），點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)DBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)和三角形面積的最大值。

引導(dǎo)問題：（1）從例題到變式題，兩題都是求三角形面積，兩者是否存在差別。（2）變式題中已知二次函數(shù)解析式能求出B、C的坐標(biāo)并能求出BC的長，當(dāng)點(diǎn)D與到直線BC距離最大時(shí)DBC面積最大？你會(huì)不會(huì)求出D與到BC最大距離，如不能，你用什么方法來解決你的問題？二次函數(shù)最值問題對(duì)你解決問題是否有幫助呢？如有幫助，那么如何建立DBC面積關(guān)于點(diǎn)D的坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式？建模中的三角形分割思想對(duì)你解決本題有什么啟發(fā)？

變式題2：已知拋物線y=-x2+2x+3與直線y=-x+1交于C、B兩點(diǎn)，D是直線上方BC的二次函數(shù)的一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)D與B、C不重合），點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)三角形DBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)和三角形面積的最大值。

引導(dǎo)問題：變式題（2）與變式題（1）有什么區(qū)別與聯(lián)系？它們有類同點(diǎn)嗎？如有類同則上題幾種解題方法能適應(yīng)本題嗎？在這幾種方法中哪種方法比較簡便，能不能用上面感悟的方法來解決本題？請(qǐng)你試試。

略解：過D作DE//y軸交BC于點(diǎn)E，∵DE//y軸，∴xp=xE，點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，-x2+2x+3），點(diǎn)E坐標(biāo)（x，-x+1），

變式題3：已知拋物線y=-x2+2x+3與y=-x+1直線交于點(diǎn)C，與x軸于點(diǎn)B，D是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)D與交點(diǎn)不重合）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△DBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)和三角形面積的最大值。

引導(dǎo)問題：變式題（3）與變式題（2）有區(qū)別和聯(lián)系嗎？這兩題的主要不同之處在哪里？能不能用相同的方法求解。

透析：隨點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)位置不同，△DBC將出現(xiàn)以下三種不同的圖形：

我們發(fā)現(xiàn)S△DBC=■DFxB-xC，當(dāng)直線與二次函數(shù)的解析式確定，B、C的坐標(biāo)也就確定，S△DBC面積與DF的長度有關(guān)，當(dāng)DF有最大值時(shí)，S△PBC的面積也存在最大值。

略解：過D作DF//y軸，交直線BC于點(diǎn)F，∵DF//y軸，∴xD=xF，點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，-x+1），點(diǎn)F坐標(biāo)（x，-x+1），DF=yD-yE=（-x2+2x+3）-（-x+1）=-x2+3x+2。

三、教學(xué)反思

從構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系中斜三角形面積的模型，引入多種不同的分割法，利用模型構(gòu)造二次函數(shù)為背景的三角形面積問題，這里充分滲透了數(shù)學(xué)的“建?！彼枷?。由例題已知三點(diǎn)定點(diǎn)面積問題演變?yōu)槎魏瘮?shù)為載體的三角形面積最大值問題。這里需要構(gòu)造以D坐標(biāo)表示三角形BDC面積的函數(shù)，并利用二次函數(shù)的最值求出三角形的最大值，這里充分讓學(xué)生體會(huì)了“函數(shù)”思想。