一、問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題如圖，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，-3).

（1）k= ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

（2）在x軸下方、y軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在拋物線y=x²-2x+k上找點(diǎn)Q，使三角形BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

二、問(wèn)題解析

第1問(wèn)不難，容易求得k=-3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

第2問(wèn)和第3問(wèn)具有典型性，解法也較多，接下來(lái)我們?cè)噲D從不同的角度來(lái)研究后面這兩個(gè)問(wèn)題．

三、解法探究

我們先來(lái)研究第2問(wèn)的多種解法．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3）.

思路1：作DE⊥AB于E，采用分割法，用含m的二次三項(xiàng)式表示出四邊形ABDC的面積，進(jìn)而求得四邊形ABDC的面積最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

評(píng)注：對(duì)于二次函數(shù)中的面積問(wèn)題，采用割補(bǔ)法求面積是一種常見(jiàn)的處理方式．本題通過(guò)作垂線，把四邊形ABDC的面積分割成一個(gè)梯形和兩個(gè)三角形，從而方便求解．

思路2：連接OD，將四邊形ABDC分割為三個(gè)三角形，再用含m的二次三項(xiàng)式表示出四邊形ABDC的面積，進(jìn)而求得四邊形ABDC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

評(píng)注：同樣采用分割法，只是另辟蹊徑，僅通過(guò)連接OD，將四邊形ABDC分割為三個(gè)三角形，再求出三個(gè)三角形的面積，解題過(guò)程顯得更簡(jiǎn)潔．

思路3：實(shí)際上由于△ABC的面積是不變的，我們只需要求出△BCD的面積的最大值，就能得到四邊形ABDC面積的最大值．接下來(lái)我們可以過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE，顯然，當(dāng)直線DE與拋物線“相切”，即DE與拋物線只有唯一公共點(diǎn)時(shí)，△BCD的面積的最大，由此得到以下解法3：

解法3：

評(píng)注：本解法涉及一元二次方程的相關(guān)知識(shí)：當(dāng)一元二次方程的根

的判別式為零時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于融會(huì)貫

通，引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)各知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，從而形成數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和連續(xù)性．

思路4：如思路3所述，我們只需要求出△BCD的面積的最大值，就能得到四邊形ABDC面積的最大值．我們可以作DM⊥AB，將△BCD分割為△CDN和△BDN，利用，再表達(dá)出四邊形ABDC的面積．

評(píng)注：我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，一定要讓學(xué)生要重視基本圖形的作用，讓他們掌握并會(huì)靈活運(yùn)用一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)基本圖形，這往往能給他們解決問(wèn)題帶來(lái)曙光．

接下來(lái)我們?cè)賮?lái)研究問(wèn)題的第3問(wèn)：

顯然要分兩種情況：①∠CBQ=90°；②∠BCQ=90°.以下以∠CBQ=90°時(shí)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為例進(jìn)行說(shuō)明（當(dāng)∠BCQ=90°時(shí)方法類(lèi)似，就不贅述．）：

思路1：我們注意到△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，因此∠OBQ=45°，

可以求出直線BQ的解析式，再進(jìn)一步求出直線BQ與拋物線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

評(píng)注：在解決問(wèn)題時(shí)，要重視并挖掘題目中的特殊條件，如特殊的點(diǎn)，特殊的線，特殊的圖形，充分發(fā)揮它們的作用．本問(wèn)就是利用了∠OBC=45°這一特殊條件，進(jìn)而推知點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而給我們解決問(wèn)題帶來(lái)便利．

思路2：由于直線BC、BQ互相垂直，則它們的解析式中一次項(xiàng)的系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，由此我們可以確定直線BQ的解析式．

評(píng)注：探求圖形中的幾何特征（本例中是∽），并充分發(fā)揮其作用．

至此，我們就這一綜合問(wèn)題，梳理了多種解法，當(dāng)然，本題的解法應(yīng)該還不止這些．實(shí)際上，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，對(duì)于一些較為典型的探究性習(xí)題，如果能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解，深入地理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及基本圖形，進(jìn)而從中選擇較為簡(jiǎn)潔的解法，對(duì)于拓展學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)和提高探究能力是大有脾益的．

另外，對(duì)于本題，我們還可以嘗試進(jìn)行如下拓展：

這樣，通過(guò)一題多解，一題多變，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)與方法的理解，領(lǐng)會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)和解題策略，進(jìn)而在學(xué)生的頭腦中形成一個(gè)有層次的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)．我想，如果我們能經(jīng)常這樣引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地探究，那么，二次函數(shù)的綜合性問(wèn)題還會(huì)是學(xué)生的攔路虎嗎？