Poisson分布函數(shù)是二項(xiàng)分布的一種特殊形式;它和布朗函數(shù)構(gòu)成了兩種最基本的隨機(jī)過程。
一、二項(xiàng)分布的概念及應(yīng)用條件1. 二項(xiàng)分布的概念:
如某實(shí)驗(yàn)中小白鼠染毒后死亡概率P為0.8,則生存概率為=1-P=0.2，故
對一只小白鼠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為：死（概率為P）或生（概率為1-P）
對二只小白鼠（甲乙）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為：甲乙均死（概率為P2）、甲死乙生[概率為P(1-P)]、乙死甲生[概率為(1-P）P]或甲乙均生[概率為(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2
依此類推，對n只小白鼠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所有可能結(jié)果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n 其中n為樣本含量,即事件發(fā)生總數(shù)，x為某事件出現(xiàn)次數(shù),cnxPx(1-P)n-x為二項(xiàng)式通式，cnx=n!/x!(n-x)!, P為總體率。
因此，二項(xiàng)分布是說明結(jié)果只有兩種情況的n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。其概率密度為：
P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。
2. 二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件:
醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有許多二分類記數(shù)資料都符合二項(xiàng)分布(傳染病和遺傳病除外)，但應(yīng)用時(shí)仍應(yīng)注意考察是否滿足以下應(yīng)用條件：(1) 每次實(shí)驗(yàn)只有兩類對立的結(jié)果；(2) n次事件相互獨(dú)立；(3) 每次實(shí)驗(yàn)?zāi)愁惤Y(jié)果的發(fā)生的概率是一個常數(shù)。
3. 二項(xiàng)分布的累計(jì)概率
二項(xiàng)分布下最多發(fā)生k例陽性的概率為發(fā)生0例陽性、1例陽性、...、直至k例陽性的概率之和。至少發(fā)生k例陽性的概率為發(fā)生k例陽性、k+1例陽性、...、直至n例陽性的概率之和。
4. 二項(xiàng)分布的圖形
二項(xiàng)分布的圖形有如下特征：(1)二項(xiàng)分布圖形的形狀取決于P 和n 的大小；(2) 當(dāng)P=0.5時(shí)，無論n的大小，均為對稱分布；(3) 當(dāng)P<>0.5 ,n較小時(shí)為偏態(tài)分布,n較大時(shí)逼近正態(tài)分布。
5. 二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差
二項(xiàng)分布的均數(shù)µ=np，當(dāng)用率表示時(shí)µ=p
二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為np(1-p)的算術(shù)平方根，當(dāng)用率表示時(shí)為p(1-p)的算術(shù)平方根。
二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用二項(xiàng)分布主要用于符合二項(xiàng)分布分類資料的率的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)P=0.5或n較大，nP及n(1-P)均大于等于5時(shí)，可用(p-u0.05sp,p+u0.05sp)對總體率進(jìn)行95%的區(qū)間估計(jì)。當(dāng)總體率P接近0.5，陽性數(shù)x較小時(shí)，可直接計(jì)算二項(xiàng)分布的累計(jì)概率進(jìn)行單側(cè)的假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)P=0.5或n較大，nP及n(1-P)均大于等于5時(shí)，可用正態(tài)近似法進(jìn)行樣本率與總體率，兩個樣本率比較的u檢驗(yàn)。
三、Poisson分布的概念及應(yīng)用條件1. Poisson分布的概念:
Poisson分布是二項(xiàng)分布n很大而P很小時(shí)的特殊形式，是兩分類資料在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生x次某種結(jié)果的概率分布。其概率密度函數(shù)為：P(x)=e-µ*µx/x! x=0,1,2...n，其中e為自然對數(shù)的底，µ為總體均數(shù)，x為事件發(fā)生的陽性數(shù)。
2. Poisson分布的應(yīng)用條件:
醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中有很多稀有疾病(如腫瘤,交通事故等）資料都符合Poisson分布，但應(yīng)用中仍應(yīng)注意要滿足以下條件：（1) 兩類結(jié)果要相互對立；（2) n次試驗(yàn)相互獨(dú)立；（3) n應(yīng)很大, P應(yīng)很小。
3. Poisson分布的概率
Poisson分布的概率利用以下遞推公式很容易求得：
P(0)=e-µ
P(x+1)=P(x)*µ/x+1, x=0,1,2,...
4. Poisson分布的性質(zhì):
(1) Poisson分布均數(shù)與方差相等；
(2) Poisson分布均數(shù)µ較小時(shí)呈偏態(tài),µ>=20時(shí)近似正態(tài)；
(3) n很大, P很小，nP=µ為常數(shù)時(shí)二項(xiàng)分布趨近于Poisson分布；
(4) n個獨(dú)立的Poisson分布相加仍符合Poisson分布
四、Poisson分布的應(yīng)用 Poisson分布也主要用于符合Poisson分布分類資料率的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)µ>=20時(shí)，根據(jù)正態(tài)近似的原理，可用（x-u0.05*x的算術(shù)平方根，x+u0.05*x的算術(shù)平方根）對總體均數(shù)進(jìn)行95%的區(qū)間估計(jì)。同樣，也可通過直接計(jì)算Poisson分布的累計(jì)概率進(jìn)行單側(cè)的假設(shè)檢驗(yàn)，在符合正態(tài)近似條件時(shí)，也可用u檢驗(yàn)進(jìn)行樣本率與總體率，兩個樣本率比較的假設(shè)檢驗(yàn)。 |
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