神說(shuō)，要有正態(tài)分布

于是便有了正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal distribution），相信各位模友都很熟悉，不過(guò)，相對(duì)于課本直接將概念砸出來(lái)，超模君更想跟大家談?wù)勥@些。。。

正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，超模君今天也打算從早期的概率論說(shuō)起。

/前方高能，數(shù)位著名數(shù)學(xué)家輪番出場(chǎng)。/

早期概率論，永遠(yuǎn)離不開(kāi)賭場(chǎng)上的那些事，可以說(shuō)早期概率論的發(fā)展都是得益于當(dāng)時(shí)有點(diǎn)泛濫的賭博活動(dòng)。

那時(shí)，惠更斯、帕斯卡、費(fèi)馬、雅各布·伯努利等這些早期概率論的奠基人，所研究的概率問(wèn)題基本都是來(lái)自于賭場(chǎng)。

最早的概率論問(wèn)題就是賭徒梅類(lèi)在1654年向帕斯卡提出的“如何分賭金”的問(wèn)題。

甲乙兩個(gè)人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。

當(dāng)比賽進(jìn)行到第四局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才算比較公平？

根據(jù)我們學(xué)過(guò)的概率論知識(shí)，易知，甲獲勝就有兩種情況：①甲贏了第四局，比賽結(jié)束；②甲輸?shù)袅说谒木侄A了第五局。于是有，概率P(甲)=1/2+(1/2)*(1/2)=3/4。

而乙獲勝的情況就只有一種，同時(shí)贏下第四局和第五局，那么，概率P(乙)=(1/2)*(1/2)=1/4。

因此，這100法郎就應(yīng)該分給甲100*3/4=75法郎，分給乙100*1/4=25法郎。

這就是數(shù)學(xué)期望的雛形。

荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家惠更斯：

不好意思，來(lái)客串一下

1657年，惠更斯發(fā)表了《論賭博中的計(jì)算》，在當(dāng)時(shí)還沒(méi)有完全明確的關(guān)于“概率”的概念的情況下，從一條“公平賭博值”的公理出發(fā)，首次推導(dǎo)出3個(gè)關(guān)于“數(shù)學(xué)期望”的基本定理，具有劃時(shí)代的意義。

• “公平賭博值”公理：

每個(gè)公平博弈的參與者愿意拿出經(jīng)過(guò)計(jì)算的公平賭注冒險(xiǎn)而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學(xué)期望數(shù)。

• “數(shù)學(xué)期望”基本定理：

①若某人在賭博中以等概率1/2獲得賭金a元、b元，則其數(shù)學(xué)期望值為：a*1/2+b*1/2，即( a + b)/2元；

②若某人在賭博中以等概率1/3獲得賭金a 、b 元和c元 ，則其數(shù)學(xué)期望值為( a + b + c)/3元；

③若某人在賭博中以概率p 和q ( p ≥0 , q ≥0 , p + q = 1) 獲得賭金a元、b元 ，則獲得賭金的數(shù)學(xué)期望值為p*a + q*b 元。

不過(guò)，有點(diǎn)遺憾的是，惠更斯對(duì)概率論的討論僅僅局限在擲篩子等賭博活動(dòng)中，并沒(méi)有將其擴(kuò)展運(yùn)用到其他概率事件里。

瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利：

沒(méi)錯(cuò)，就是伯努利家族里最紅的那個(gè)

直到1713年，雅各布·伯努利的代表作《猜度術(shù)》終于出版（此時(shí)，伯努利已經(jīng)去世有8年了）。

在《猜度術(shù)》中，伯努利不僅對(duì)惠更斯的關(guān)于賭博中出現(xiàn)各種情況的概率進(jìn)行了大量計(jì)算，還提出了著名的“大數(shù)定律”。

伯努利大數(shù)定律：概率論歷史上的第一個(gè)極限定理，指“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，事件發(fā)生的頻率無(wú)窮接近于該事件發(fā)生的概率”。

大數(shù)定律自誕生開(kāi)始，便產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響，為后來(lái)的很多統(tǒng)計(jì)方法和理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

/模友：說(shuō)好的正態(tài)分布呢！正太在哪里了？？/

/超模君：來(lái)了來(lái)了。。。/

超模君說(shuō)了怎么多，正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)者終于表示受不了，要自己出場(chǎng)了。。。

他就是法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗。

棣莫弗：終于到我出場(chǎng)了

雖然伯努利得出了“無(wú)限地連續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)，我們終能正確地計(jì)算任何事物的概率，并從偶然現(xiàn)象之中看到事物的秩序”這樣的結(jié)論，但并沒(méi)有表述出這種偶然現(xiàn)象中的秩序，而棣莫弗便是第一個(gè)將這種秩序表述出來(lái)的人。

其實(shí)，在伯努利《猜度術(shù)》出版之前，棣莫弗就對(duì)概率論進(jìn)行了廣泛且深入的研究，已于1711年在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的《哲學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了《抽簽的測(cè)量》，這就是早期概率論史上三大著作之一的《機(jī)遇論》的前身。

早期概率論歷史上的三部里程碑式的著作：伯努利的《猜度術(shù)》、棣莫弗的《機(jī)遇論》、拉普拉斯的《分析概率論》。

不過(guò)，比較搞笑的是，棣莫弗關(guān)于概率論的研究依然離不開(kāi)賭博問(wèn)題。。。

偶然的一天，一賭徒向棣莫弗提出了一個(gè)與賭博有關(guān)的問(wèn)題。

甲乙二人在賭場(chǎng)里賭博，他們獲勝的概率分別是p和q=1?p，賭n局，如果甲贏的局?jǐn)?shù)X>np，則甲就得付給賭場(chǎng)X?np元，否則就是乙付給賭場(chǎng)np?X元。問(wèn)：賭場(chǎng)掙錢(qián)的數(shù)學(xué)期望是多少？

這是一個(gè)二項(xiàng)分布問(wèn)題，可知答案是2npqb(n,p,np)，其中b(n,p,np)為二項(xiàng)概率。

不過(guò)，這只是理論結(jié)果，而對(duì)于具體的n值（尤其是n值較大時(shí)），計(jì)算實(shí)際的期望值并不是一件容易的事，于是，棣莫弗決定找出一個(gè)更方便計(jì)算的近似公式。

只見(jiàn)棣莫弗直接令p=?，嘗試攻破這一特定概率的近似公式，就這樣幾年過(guò)去了，在1733年，終于取得了重要進(jìn)展。他結(jié)合斯特林公式，進(jìn)行了一系列研究，然后出現(xiàn)了神奇的一幕：

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)就這樣出現(xiàn)了，由此可知，二項(xiàng)分布的極限分布就是正態(tài)分布。

當(dāng)時(shí)，棣莫弗是瞥見(jiàn)了正態(tài)曲線(xiàn)的雛形的，而最后正態(tài)分布的主要功勞給了高斯（正態(tài)分布也稱(chēng)高斯分布），很大程度是因?yàn)?span>棣莫弗不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，他當(dāng)初的這項(xiàng)工作也沒(méi)有得到重視，他也從來(lái)沒(méi)有從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度上考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題。。。

不過(guò)，棣莫弗雖然“無(wú)視”了正態(tài)分布（當(dāng)時(shí)也還沒(méi)叫正態(tài)分布），但這幾年的研究也不是沒(méi)有收獲，概率論中的“首席定理”——中心極限定理就是他首次提出的。

接著，拉普拉斯在他發(fā)表的《分析概率論》對(duì)棣莫弗的結(jié)論進(jìn)行了拓展（對(duì)于p≠?的情況的更多分析結(jié)果），人們稱(chēng)之為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

棣莫佛-拉普拉斯(de Movire - Laplace)定理，即服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量序列的中心極限定理。它指出，參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布以np為均值、np(1-p)為方差的正態(tài)分布為極限。

拉普拉斯：這里不可能沒(méi)有我。

1780年，拉普拉斯建立了中心極限定理的一般形式，隨后，中心極限定理又被其他數(shù)學(xué)家推廣到不限于二項(xiàng)分布的其他任意分布，再后來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，一系列的重要統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)樣本量 N 趨于無(wú)窮時(shí)， 其極限分布均有正態(tài)的形式。

作為概率論的大牛，拉普拉斯表示既然來(lái)了，就不會(huì)輕易退場(chǎng)。于是，他開(kāi)始搗鼓人們一直疑惑的隨機(jī)誤差（這在當(dāng)時(shí)需要處理大量測(cè)量數(shù)據(jù)的天文學(xué)界是一個(gè)很棘手的問(wèn)題）。

遺憾的是，研究了好幾年，拉普拉斯仍然沒(méi)法搞定誤差分布的問(wèn)題，盡管他已經(jīng)假定了誤差分布函數(shù)，但由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜只好放棄。

拉普拉斯誤差分布曲線(xiàn)

這時(shí)，終極大佬高斯姍姍來(lái)遲，大手一揮便解決了這個(gè)問(wèn)題。。。。

高斯：不好意思，我來(lái)晚了。

也許他天才的直覺(jué)準(zhǔn)得有點(diǎn)過(guò)分了，正當(dāng)別人費(fèi)盡腦筋都想不出的時(shí)候，高斯有點(diǎn)雞賊地選擇將問(wèn)題反過(guò)來(lái)想。

只見(jiàn)高斯提出了極大似然估計(jì)的思想，并猜想人們公認(rèn)的“算術(shù)平均是不會(huì)錯(cuò)的估計(jì)”等價(jià)于對(duì)真值的極大似然估計(jì)，然后反過(guò)來(lái)尋找怎樣的誤差分布能使這一猜想成立。

與常人顛倒的思路竟然讓高斯一路暢通無(wú)阻，很快，他便證明了在所有的概率密度函數(shù)中，使得猜想成立的只有以下一種情況：

正態(tài)分布密度函數(shù)就這樣被高斯推出來(lái)了，與此同時(shí)，高斯根據(jù)他的正態(tài)誤差理論，確立了最小二乘法的概念。

有了高斯的認(rèn)證，正態(tài)分布迅速活躍在誤差分析中，人們可以輕松對(duì)誤差大小的影響進(jìn)行統(tǒng)計(jì)度量，由于高斯的這幾項(xiàng)關(guān)鍵性工作，人們將正態(tài)分布命名為“高斯分布”。

雖然說(shuō)，要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你首先必須得是一個(gè)好的猜想家。盡管高斯得出的結(jié)論是正確的，但當(dāng)初推導(dǎo)的思路確實(shí)有點(diǎn)“雞生蛋，蛋生雞”的嫌疑。（人們都說(shuō)高斯是接受了神的旨意。）

于是，正態(tài)分布的理論完善就交給了其他數(shù)學(xué)家。

拉普拉斯看到了高斯發(fā)表的理論之后，驚奇地發(fā)現(xiàn)這個(gè)密度函數(shù)分明在自己之前的研究里出現(xiàn)過(guò)，并且認(rèn)定這肯定不是巧合！

拉普拉斯馬上將自己的中心極限定理與正態(tài)分布理論聯(lián)系起來(lái)：如果將誤差看成許多的微小量（稱(chēng)為“元誤差”）疊加的總和，根據(jù)中心極限定理，隨機(jī)誤差便服從正態(tài)分布。

隨著中心極限定理的不斷完善，高斯的結(jié)論也得到了越來(lái)越多的理論支持，正態(tài)分布逐漸在誤差分析中確立了地位，稱(chēng)霸于其他一切概率分布。

正態(tài)誤差態(tài)分布律

而關(guān)于它的命名，自它火了之后，各國(guó)人民都爭(zhēng)先恐后幫它起名字：由于拉普拉斯是法國(guó)人，于是，法國(guó)人民稱(chēng)之為“拉普拉斯分布”；高斯是德國(guó)人，當(dāng)時(shí)德國(guó)就喜歡叫它“高斯分布”；其他國(guó)家的人們呢，嗯，不知道站哪邊，便直接叫它“拉普拉斯-高斯分布”。

俺明明叫正太！

正當(dāng)人們吵得不可開(kāi)交的時(shí)候，龐加萊站了出來(lái)，他建議改用正態(tài)分布這一中立名稱(chēng)，后來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾森也說(shuō)了一句公道話(huà)，使得人們接受了正態(tài)分布這個(gè)名字：

Many years ago I called the Laplace-Gaussian curve the normal curve, which name, while it avoids an international question of priority, has the disadvantage of leading people to believe that all other distributions of frequency are in one sense or another “abnormal”.

不過(guò)，高斯的名氣實(shí)在太大了，高斯分布的名字并不是想去掉就去掉的，因此，現(xiàn)在數(shù)學(xué)界正太分布、高斯分布兩個(gè)名字通用。

最后，超模君只想感嘆一下，高斯的力量一如既往的強(qiáng)??！