異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)的思考與實(shí)踐

北京市海淀區(qū)石油附小 邵欽

提要

異分母分?jǐn)?shù)加減法是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容，本文以思考——實(shí)踐——再思考為線索，分三部分進(jìn)行闡述：一是面對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施之前的思考，即：作為教師，進(jìn)行計(jì)算課教學(xué)除了要落實(shí)知識(shí)與技能目標(biāo)，還能給學(xué)生些什么？站在學(xué)生的角度來看，很多學(xué)生都已經(jīng)會(huì)算了，他們是否真的理解？二是帶著這些思考進(jìn)行小學(xué)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算方法的對(duì)比以及教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，在實(shí)踐中解答上述的兩個(gè)問題。三是教學(xué)實(shí)施后的新思考，即：要重思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過程、重加減運(yùn)算的本質(zhì)把握以及后繼教學(xué)更應(yīng)注重整體把握教材。

異分母分?jǐn)?shù)加減法是小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容。在《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)這一部分內(nèi)容的具體目標(biāo)提到：要讓學(xué)生會(huì)進(jìn)行簡單的分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算。對(duì)這一知識(shí)目標(biāo)的落實(shí)，數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（五年級(jí)上冊(cè)）給出了分?jǐn)?shù)加減法單元教學(xué)的總體目標(biāo)，即：在操作活動(dòng)中，理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，并能正確計(jì)算。由此不難發(fā)現(xiàn)，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是理解算理、掌握算法。

一、思考

（一）書中一個(gè)故事引發(fā)的思考

鄭毓信先生撰寫的《國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》一書中描述了這樣一個(gè)故事：媽媽帶著上幼兒園的女兒和上了學(xué)的兒子一起去吃自助餐，每個(gè)人的餐費(fèi)是 197 元，吃完快結(jié)賬的時(shí)候，媽媽問上學(xué)的兒子該交多少錢，兒子說：“媽媽，給我紙和筆！”上幼兒園的女兒在旁邊開口了：“給阿姨 600 元，找回 9 元就行了！”過了一年，女兒也上學(xué)了，媽媽、女兒和兒子一起去買東西，當(dāng)媽媽問孩子們?cè)摳抖嗌馘X時(shí)，女兒和兒子一起回答：媽媽，給我紙和筆，我要來算一算！”

學(xué)生的思維應(yīng)猶如自由之泉，將奔流成河，最終匯聚成海。為什么它可悲的逐漸枯竭了？計(jì)算教學(xué)除了讓孩子掌握基本的知識(shí)和技能，作為教師還能給孩子些什么？

（二）學(xué)生一次調(diào)研帶來的思考

調(diào)研題目：同學(xué)們?cè)谑止ふn上折紙，小紅用了一張紙的 折一只小船，小明用同一張紙的 折一只小鳥。他倆一共用了這張紙的幾分之幾？

調(diào)研結(jié)果（見表 1 ）：

異分母分?jǐn)?shù)加減法學(xué)生調(diào)研結(jié)果表

表 1

從計(jì)算結(jié)果是否正確來看，全班有近 90% 的學(xué)生已經(jīng)可以獨(dú)立解決異分母分?jǐn)?shù)加減法的問題，計(jì)算正確是建立在理解的基礎(chǔ)上，還是對(duì)運(yùn)算法則的一種機(jī)械應(yīng)用呢？需要對(duì)計(jì)算結(jié)果正確的 29 人進(jìn)行訪談。

訪談的結(jié)果（見表 2 ）：

異分母分?jǐn)?shù)加減法學(xué)生訪談表

從數(shù)據(jù)上看，這 29 人中大部分學(xué)生不能清楚的闡述真正算理。通過訪談發(fā)現(xiàn)，即使是利用直觀圖進(jìn)行計(jì)算的學(xué)生也都是在用 2 × 3 算出公分母，再畫圖解決。利用通分，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算是學(xué)生的普遍方法。

進(jìn)一步深入地訪談：“為什么要通分？”學(xué)生的回答出奇的一致：“通分以后分母就一樣了，就能算出結(jié)果了。”、“分母一樣，用分子相加就可以了?！庇纱?看來，學(xué)生的困難并不在于不知道怎么算，真正的困難在于不理解通分的本質(zhì)。

調(diào)研中有 4 名計(jì)算有問題的學(xué)生他們是用 + = ，并畫圖進(jìn)行了解釋。（見圖 1 ）

圖 1

這一想法反映出：學(xué)生受到整數(shù)加減運(yùn)算法則的影響，用分子與分子相加作為結(jié)果中的分子，分母與分母相加作為結(jié)果中的分母。沒有從這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)或意義出發(fā)，去思考這個(gè)算式所表示的意思。

那么，在教學(xué)中如何幫助學(xué)生去理解通分的本質(zhì)？以至于理解加減法運(yùn)算的本質(zhì)？

二、實(shí)踐

經(jīng)歷上述問題的思考，從以下兩個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐：一是教學(xué)內(nèi)容方面，進(jìn)行分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算與整數(shù)、小數(shù)加減法運(yùn)算的比對(duì)，從整體角度把握加減法運(yùn)算的本質(zhì)，為課堂教學(xué)設(shè)計(jì)提供依據(jù)；二是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施方面，進(jìn)行課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施，落實(shí)知識(shí)與技能目標(biāo)的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展。

（一）加減運(yùn)算梳理——整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算比對(duì)

回顧整數(shù)、小數(shù)加減法運(yùn)算，計(jì)算方法是將相同數(shù)位上的數(shù)相加減，即：計(jì)數(shù)單位相同，單位個(gè)數(shù)相加減。（見圖 2 ）

圖 2

異分母分?jǐn)?shù)加減法是學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)中加減法運(yùn)算的最高階段，它與整數(shù)、小數(shù)加減法運(yùn)算有相同點(diǎn)，也有不同點(diǎn)。相同點(diǎn)是：只有計(jì)數(shù)（分?jǐn)?shù)）單位相同后，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)才能相加減；而不同點(diǎn)則是：整數(shù)、小數(shù)具有明確的計(jì)數(shù)單位，非常的顯性化，而對(duì)于兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)來講，它們?cè)谶M(jìn)行加減法的運(yùn)算時(shí)就存在會(huì)有一個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生，而這個(gè)單位又是相對(duì)隱性化的。通分的真正目的也在于此，其實(shí)通分是在尋找一個(gè)新的單位，用這個(gè)單位來度量兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)，把度量的結(jié)果累加，就是兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的和。

站在整體把握小學(xué)加減法運(yùn)算的角度來設(shè)計(jì)和實(shí)施異分母分?jǐn)?shù)加減法的教學(xué)，應(yīng)將隱性方面顯性化，讓學(xué)生體會(huì)出新的分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生的必要性，也就是通分的真正目的。使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中經(jīng)歷這樣的過程：舊的單位不適用——需要產(chǎn)生新的單位——尋找新的單位——應(yīng)用新的單位——計(jì)算出結(jié)果。

（見圖 3 ）

圖 3

學(xué)生經(jīng)歷了這樣的過程，才會(huì)理解這個(gè)單位產(chǎn)生的作用，以及通分的真正目的。這個(gè)顯性化過程應(yīng)該成為異分母分?jǐn)?shù)加減法學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，設(shè)計(jì)怎樣的活動(dòng)才是有價(jià)值的？才能為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展服務(wù)呢？

（二）課堂結(jié)構(gòu)重組——課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施

引入部分，以“一條路，先走了它的 ，又走了這條路的 ，一共走了這條路的幾分之幾？” 并以一張看似簡單的小紙條代替這條路（見圖 4 ），展開探索。

圖 4

教學(xué)結(jié)構(gòu)如下（見圖 5 ）：

圖 5

在上述四個(gè)環(huán)節(jié)中，以“尋找標(biāo)準(zhǔn)”作為本節(jié)課的核心，凸顯分?jǐn)?shù)單位的作用，體會(huì)通分的必要，理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)。整節(jié)課圍繞以下的幾個(gè)問題展開：

1. 你手中的這兩把尺子（每個(gè)學(xué)生有以 和以 為單位的“尺子”各一把，見圖 6 ）哪把能正好量出這兩部分的和？有沒有一把尺子能正好量出這兩部分的和？能不能找到這把尺子？

圖 6

2. 想一想，這把尺子的大小會(huì)和誰有關(guān)，可能是以誰為單位的呢？試著做一把，量一量。

討論哪把尺子不能正好量出兩部分的和？這是為什么？哪把尺子能正好量出兩部分的和？這又是為什么？

3. 結(jié)合我們找到的尺子，你能完成 ＋ 這個(gè)式子嗎？

在“尋找標(biāo)準(zhǔn)”中設(shè)計(jì)兩個(gè)核心活動(dòng)，如下：

活動(dòng)一：個(gè)人尋找

教師活動(dòng)：

提出問題：想一想，這把尺子的大小會(huì)和誰有關(guān)，可能是以誰為單位的呢？按照你的想法用學(xué)具、白紙條、做一把尺子，去量量看。

活動(dòng)建議：因?yàn)檎摇俺咦印钡倪^程具有一定的挑戰(zhàn)性，所以不成功沒有關(guān)系，把每次實(shí)驗(yàn)記錄下來。我想，經(jīng)過你的思考，你一定會(huì)慢慢走向成功的。

學(xué)生活動(dòng)：

（ 1 ）邊尋找邊思考邊填寫個(gè)人匯報(bào)單。（見圖 7 ）

圖 7

（ 2 ）個(gè)人反饋

活動(dòng)二：小組交流

教師活動(dòng)：

提出問題：討論哪把尺子不能正好量出兩部分的和？這是為什么？哪把尺子能正好量出兩部分的和？這又是為什么？

學(xué)生活動(dòng)：

（ 1 ）邊討論邊記錄下小組的想法。

（ 2 ）小組反饋

下面是上述兩個(gè)活動(dòng)的學(xué)生反饋：

獨(dú)立探索部分（見圖 8 ）：

圖 8

通過個(gè)人反饋不難發(fā)現(xiàn)，対統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位的理解過程，每個(gè)孩子各不相同，他們的思維在逶迤中前行。他們?cè)诮?jīng)歷猜想、實(shí)踐、思考、調(diào)整的過程。他們?cè)诮?jīng)歷輾轉(zhuǎn)難行的痛苦和柳暗花明的愉悅，他們?cè)诮?jīng)歷慢慢接近真理時(shí)的挫折。

小組探討部分（見圖 9 ）：

圖 9

小組反饋中學(xué)生思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，可見一斑。這個(gè)“尋找”的過程，這些經(jīng)驗(yàn)的累積，將成為學(xué)生未來學(xué)習(xí)不可或缺的寶貴經(jīng)驗(yàn)和思維繼續(xù)躍升的不竭動(dòng)力。

三、實(shí)踐后的再思考

（一） 2 分鐘與 40 分鐘的抉擇：重思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過程

一次試講后我問學(xué)生上完這節(jié)課的感受，一個(gè)小男孩怯生生的舉起手，說：“老師，我們?cè)谡n外班的老師曾經(jīng)給我們講過異分母分?jǐn)?shù)加減法，也就用了兩分鐘?！?

兩分鐘，一句話：先通分，后加減。再告訴學(xué)生，通分的目的實(shí)際上是為了統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。問題貌似完美解決，還可以花大量的時(shí)間進(jìn)行鞏固練習(xí)，學(xué)生計(jì)算技能訓(xùn)練扎實(shí)，作業(yè)可能正確率也會(huì)更高。但是這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，價(jià)值到底有多大？這樣的數(shù)學(xué)課，真的有利于學(xué)生的終身發(fā)展嗎？在 2 分鐘和 40 分鐘之間應(yīng)該如何抉擇？

在當(dāng)下迅速發(fā)展的社會(huì)，每個(gè)人的腳步都是那樣匆忙。甚至我們幫助孩子成長的過程也是匆匆太匆匆。我們幫他們規(guī)避著坎坷、挫折、障礙、錯(cuò)誤。我們拉著他們飛速的奔跑在陽關(guān)大道上。但是我們的孩子卻在奔跑中只學(xué)會(huì)了注視前方，而失去了崎嶇路徑上克服困難的回憶，失去了駐足欣賞美景的心曠神怡。

課堂的教學(xué)應(yīng)該努力放慢學(xué)生認(rèn)知的速度，讓他們停下來反思，靜下來調(diào)整，沉下來總結(jié)。

（二）表面簡單與內(nèi)涵深刻的融合：重分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的本質(zhì)把握

紙條的操作看似簡單，但內(nèi)涵非常深刻，通過對(duì)它的操作和研究，即找“尺子”的過程，學(xué)生慢慢認(rèn)識(shí)到了統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位在分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算中的重要性和尋找這個(gè)單位的必要性，從而體驗(yàn)運(yùn)算的核心本質(zhì)。

經(jīng)過一系列的猜測、實(shí)踐、反思、調(diào)整后，學(xué)生雖然只研究了一道分?jǐn)?shù)加法題，但是絲毫不妨礙他們對(duì)分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算本質(zhì)的體會(huì)。

下面是學(xué)生結(jié)合操作紙條的過程，展現(xiàn)的不同思維結(jié)果（見圖 10 ）。

圖 10

從學(xué)生的學(xué)后總結(jié)中（圖 11 ），我們也不難發(fā)現(xiàn)以紙條操作的活動(dòng)價(jià)值。

圖 11

（三）認(rèn)識(shí)角度改變所帶來的尷尬：后繼教學(xué)將重整體把握教材。

分?jǐn)?shù)的意義和內(nèi)涵非常豐富，分?jǐn)?shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)不能不說是對(duì)分?jǐn)?shù)意義更深層次的探索和認(rèn)識(shí)，是把分?jǐn)?shù)凝聚成一個(gè)數(shù)的關(guān)鍵過程。教學(xué)的設(shè)計(jì)是從度量的角度入手，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的本質(zhì)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)產(chǎn)生的原因之一就是幾何學(xué)的測量。

但是由于先前分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)雖然涉及度量的角度，但是都是輕描淡寫，比較淺表，很少把它作為一個(gè)重要的研究角度。在教學(xué)中，孩子對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)角度的轉(zhuǎn)換分外艱難。一節(jié)課的教學(xué)，實(shí)際上折射出了長時(shí)間以來對(duì)同一個(gè)問題教學(xué)的弊端。

怎樣才能解決這個(gè)問題呢？在今后的教學(xué)中應(yīng)樹立整體把握教材的意識(shí)，在若干次分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的過程中合理安排不同年段學(xué)生，從不同的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。讓認(rèn)識(shí)事物的角度不只是教師教案設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，更能成為學(xué)生“知識(shí)”的重要組成部分，從而真正提高學(xué)生的思維能力。

這個(gè)世界是豐富多彩的，充滿了神秘和未知，揭開謎底的將是那些會(huì)思考、能創(chuàng)造的人。作為一名教育者，我們應(yīng)該為培養(yǎng)這樣的人才而不懈努力。