一般認(rèn)為，沒有受過音樂訓(xùn)練的人，無法辨別20音分以內(nèi)的音調(diào)差別，而對(duì)音準(zhǔn)非常敏感的人，例如小提琴家或鋼琴調(diào)音師，可以辨別5音分以內(nèi)的音差。表5-2就以音分為單位比較了三種音律的差別，歸納起來有以下兩點(diǎn)：
　　(1) 純律的五度音和五度相生律是一樣的，但三度音差別很大，大三度音程偏小，小三度音程偏大，即大調(diào)的第三級(jí)音明顯偏低，這種現(xiàn)象在銅管樂器上很突出(詳見第七章)。
　　(2) 五度相生律和十二平均律差別不大，就全音而言，前者比后者多4音分，就半音而言，前者比后者少10音分，這就是五度相生律所謂的“大全音”和“小半音”。對(duì)人的聽覺來說，小半音是最舒適的半音，而平均律的半音略顯得大些，這是平均律唯一的缺陷。

 

 

 

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要介紹《十二平均律曲集》，就得先介紹什么是“十二平均律”。而要介紹“十二平均律”，就得先介紹什么是“律”。
  “律”，即“音律”（intonation），指為了使音樂規(guī)范化，人們有意選擇的一組高低不同的音符所組成的體系，以及這些音符之間的相互關(guān)系。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，這7個(gè)音符就組成了一組音律。研究音律的學(xué)問叫做“律學(xué)”。也就是研究為什么要選擇do、re、mi……這7個(gè)音（當(dāng)然也可以選擇其它音）作為規(guī)范、這些被當(dāng)成“標(biāo)尺”的音是怎么產(chǎn)生的、以及它們之間到底是什么關(guān)系的學(xué)問。
  對(duì)于任何民族來說，只要他們有著豐富的音樂體驗(yàn)，只要他們想積累起關(guān)于音樂的知識(shí)，遲早都會(huì)遇到關(guān)于律學(xué)的問題。令人驚訝的是，古今不同民族，雖然各自鐘愛的音樂形式可謂萬紫千紅、百花爭(zhēng)艷，彼此也沒有互相借鑒，但大家的律學(xué)的基礎(chǔ)概念卻出奇地相似。這也許是音樂本身超文化、超地域的魅力所致吧。
  （BTW：現(xiàn)代人學(xué)習(xí)的do、re、mi、fa、so、la、si，這些好像沒有意義的單詞，其實(shí)都是中世紀(jì)時(shí)西方教會(huì)中很流行的一些拉丁文圣詠（chant）的首音節(jié)。這些圣詠是西方現(xiàn)代音樂的源頭。）

  學(xué)過高中物理的都知道，聲音的本質(zhì)是空氣的振動(dòng)。而空氣的振動(dòng)是以波的形式傳播的，也就是所謂的聲波。所有的波（包括聲波、電磁波等等）都有三個(gè)最本質(zhì)的特性：頻率／波長(zhǎng)、振幅、相位。對(duì)于聲音來說，聲波的頻率（聲學(xué)中一般不考慮波長(zhǎng)）決定了這個(gè)聲音有多“高”，聲波的振幅決定了這個(gè)聲音有多“響”，而人耳對(duì)于聲波的相位不敏感，所以研究音樂時(shí)一般不考慮聲波的相位問題。
  律學(xué)當(dāng)然不考慮聲音有多“響”，所以律學(xué)研究的重點(diǎn)就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率范圍是20HZ（每秒振動(dòng)20次）到20000HZ（每秒振動(dòng)20000次）之間。聲波的頻率越大（每秒振動(dòng)的次數(shù)越多），聽起來就越“高”。頻率低于20HZ的叫“次聲波”，高于20000HZ的叫“超聲波”。
  （BTW：人耳能分辨的最小頻率差是2HZ。舉例而言就是，人能聽出100HZ和102HZ的聲音是不同的，但聽不出100HZ和101HZ 的聲音有什么不同。另外，人耳在高音區(qū)的分辨能力迅速下降，原因見后。）
  需要特別指出的是，人耳對(duì)于聲波的頻率是指數(shù)敏感的。打比方說，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……這些聲音，人聽起來并不覺得它們是“等距離”的，而是覺得越到后面，各個(gè)音之間的“距離”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……這些聲音，人聽起來才覺得是“等距離”的（為什么會(huì)這樣我也不清楚）。換句話說，某一組聲音，如果它們的頻率是嚴(yán)格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的規(guī)律排列的話，它們聽起來才是一個(gè)“等差音高序列”。
  （比如這里有16個(gè)音，它們的頻率分別是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。大家可以聽一下，感覺它們是不是音越高就“距離”越近。用音樂術(shù)語來說，這些音都是110HZ的“諧波”（harmonics），即這些聲波的頻率都是某一個(gè)頻率的整數(shù)倍。這個(gè)ogg文件可以用“暴風(fēng)影音”／StormCodec軟件來試聽。）
  由于人耳對(duì)于頻率的指數(shù)敏感，上面提到的“×2就意味著等距離”的關(guān)系是音樂中最基本的關(guān)系。用音樂術(shù)語來說，×2就是一個(gè)“八度音程”（octave）。前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那個(gè)高音do，這兩個(gè)do之間就是八度音程的關(guān)系。也就是說，高音do的頻率是do的兩倍。同樣的，re和高音re之間也是八度音程的關(guān)系，高音re的頻率是re的兩倍。而高音do上面的那個(gè)更高音的do，其頻率就是do的4倍。也可以說，它們之間隔了兩個(gè)“八度音程”。顯然，一個(gè)音的所有“八度音程”都是它的“諧波”，但不是它的所有“諧波”都是自己的“八度音程”。
  很自然，用do、re、mi寫的歌，如果換用高音do、高音re、高音mi來寫，聽眾只會(huì)覺得音變高了，旋律本身不會(huì)有變化。這種等效性，其實(shí)就是“等差音高序列”的直接結(jié)果。
  “八度音程”的重要性，世界各地的人們都發(fā)現(xiàn)了。比如我國(guó)浙江的河姆渡遺址，曾經(jīng)出土了一管距今9000年的笛子（是用鶴的腿骨做的），它能演奏8個(gè)音符，其中就包含了一個(gè)八度音程。當(dāng)然這個(gè)八度音程不會(huì)是do到高音do，因?yàn)橹灰且粋€(gè)音的頻率是另一個(gè)的兩倍，它們就是八度音程的關(guān)系，和具體某一個(gè)音有多高沒有關(guān)系。

  明白了八度音程的重要性，下面來介紹在一個(gè)八度音程之內(nèi)，還有那些音是重要的。這其實(shí)是律學(xué)的中心問題。也就是說，如果某一個(gè)音的頻率是F，那么我們要尋找F和2F之間還有那些重要的頻率。
  如果大家有學(xué)習(xí)弦樂器（比如吉它、古琴、小提琴）的經(jīng)驗(yàn)的話，都明白它們能發(fā)聲是因?yàn)榍傧业恼駝?dòng)。而琴弦的振動(dòng)是和琴弦的長(zhǎng)度有關(guān)系的。如果在一根弦振動(dòng)的時(shí)候，用手指按住弦的中點(diǎn)，即讓原來全部振動(dòng)的弦，變成兩根以1/2長(zhǎng)度振動(dòng)的弦，我們會(huì)聽到一個(gè)比較高的音。這個(gè)音和原來的音之間就是八度音程的關(guān)系。因?yàn)樵谖锢砩?，弦的振?dòng)頻率和其長(zhǎng)度是成反比的。
  由于弦樂器是世界各地發(fā)展得最早的樂器種類之一，所以這種現(xiàn)象古人早已熟悉。他們自然會(huì)想：如果八度音程的2:1的關(guān)系在弦樂器上用這么簡(jiǎn)單一按中點(diǎn)的方式就能實(shí)現(xiàn)，那么試試按其它的位置會(huì)怎么樣呢？數(shù)學(xué)上2:1是最簡(jiǎn)單的比例關(guān)系了，簡(jiǎn)單性僅次于它的就是3:1。那么，我們?nèi)绻醋∠业?/3點(diǎn)，會(huì)怎么樣呢？其結(jié)果是弦發(fā)出了兩個(gè)高一些的音。一個(gè)音的頻率是原來的3倍（因?yàn)橄议L(zhǎng)變成了原來的1/3），另一個(gè)音是原來的3/2倍（因?yàn)橄议L(zhǎng)變成了原來的2/3）。這兩個(gè)音彼此也是八度音程的關(guān)系（因?yàn)樗鼈儽舜说南议L(zhǎng)比是2:1）。這樣，在我們要尋找的F～2F的范圍內(nèi)，出現(xiàn)了第一個(gè)重要的頻率，即3/2F。（那個(gè)3F的頻率正好處于下一個(gè)八度，即2F～4F中的同樣位置。）
  接著再試，數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單性僅次于3:1的是4:1，我們?cè)囋嚢聪业?/4點(diǎn)會(huì)怎樣？又出現(xiàn)了兩個(gè)音。一個(gè)音的頻率是原來的4倍（因?yàn)橄议L(zhǎng)變成了原來的1/4），這和原來的音（術(shù)語叫“主音”）是兩個(gè)八度音程的關(guān)系，可以不去管它。另一個(gè)音的頻率是主音的4/3倍（因?yàn)橄议L(zhǎng)是原來的3/4）?，F(xiàn)在我們又得到了一個(gè)重要的頻率，4/3F。
  同一根弦，在不同的情況下振動(dòng)，可以發(fā)出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音F最和諧的就是3/2F和4/3F（除了主音的各個(gè)八度之外）。這個(gè)現(xiàn)象也被很多民族分別發(fā)現(xiàn)了。比如最早從數(shù)學(xué)上研究弦的振動(dòng)問題的古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀(jì)）。我國(guó)先秦時(shí)期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂“三分損益律”。具體說來是取一段弦，“三分損一”，即均分弦為三段，舍一留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。

  得到這兩個(gè)頻率之后，是否繼續(xù)找1/5點(diǎn)、1/6點(diǎn)等等繼續(xù)試下去呢？不行，因?yàn)槁犛X上這些音與主音的和諧程度遠(yuǎn)不及3/2F、4/3F。實(shí)際上4/3F已經(jīng)比3/2F的和諧程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經(jīng)找到了，他們轉(zhuǎn)而找3/2F的3/2F，即與最和諧的那個(gè)音最和諧的音，這樣就得到了（3/2）2F即9/4F?？墒沁@已經(jīng)超出了2F的范圍，進(jìn)入了下一個(gè)八度。沒關(guān)系，不是有“等差音高序列”嗎？在下一個(gè)八度中的音，在這一個(gè)八度中當(dāng)然有與它等價(jià)的一個(gè)音，于是把9/4F的頻率減半，便得到了9/8F。
  接著把這個(gè)過程循環(huán)一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，這也在下一個(gè)八度中，再次頻率減半，得到了27/16F。
  就這樣一直循環(huán)找下去嗎？不行，因?yàn)檫@樣循環(huán)下去會(huì)沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環(huán)之后，會(huì)得到主音的某一個(gè)八度，這樣就算是“回到”了主音上，不用繼續(xù)找下去了?？墒牵?/2）n，只要n是自然數(shù)，其結(jié)果都不會(huì)是整數(shù)，更不用說是2的某次方。律學(xué)所有的麻煩就此開始。
  數(shù)學(xué)上不可能的事，只能從數(shù)學(xué)上想辦法。古人的對(duì)策就是“取近似值”。他們注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，于是決定這個(gè)音就是他們要找的最后一個(gè)音，比這個(gè)音再高一點(diǎn)就是主音的第三個(gè)八度了。這樣，從主音F開始，我們只需把“按3/2比例尋找最和諧音”這個(gè)過程循環(huán)5次，得到了5個(gè)音，加上主音和4/3F，一共是7個(gè)音。這就是為什么音律上要取do、re、mi等等7個(gè)音符而不是6個(gè)音符或者8個(gè)音符的原因。
  這7個(gè)音符的頻率，從小到大分別是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。
  如果這里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，這7個(gè)頻率組成了7聲音階。這7個(gè)音都有各自正式的名字，在西方音樂術(shù)語中，它們分別被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導(dǎo)音（leading tone）。其中和主音關(guān)系最密切的是第5個(gè)“屬音”so和第4個(gè)“下屬音”fa，原因前面已經(jīng)說過了，因?yàn)樗鼈兒椭饕舻暮椭C程度分別是第一高和第二高的。由于這個(gè)音律主要是從“屬音”so即3/2F推導(dǎo)出來的，而3/2這個(gè)比例在西方音樂術(shù)語中叫“純五度”，所以這種音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國(guó)歷代的各種音律，大部分也都是從“三分損益律”發(fā)展出來的，也可以認(rèn)為它們都是“五度相生律”。
  仔細(xì)看上面“五度相生律”7聲音階的頻率，可以發(fā)現(xiàn)它們彼此的關(guān)系很簡(jiǎn)單：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之間的頻率比都是9:8，這個(gè)比例被稱為全音（tone）；mi～fa、si～do 之間的頻率比都是256:243，這個(gè)比例被稱為半音（semitone）。

  “五度相生律”產(chǎn)生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評(píng)。原因之一就是它太復(fù)雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點(diǎn)或者1/6點(diǎn)，得到的音已經(jīng)和主音不怎么和諧了，現(xiàn)在居然出現(xiàn)了81/64和243/128這樣的比例，這不會(huì)太好聽吧？于是有人開始對(duì)這7個(gè)音的頻率做點(diǎn)調(diào)整，于是就出現(xiàn)了“純律”（just intonation）。
  “純律”的重點(diǎn)是讓各個(gè)音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個(gè)音和主音的頻率比盡量簡(jiǎn)單。“純律”的發(fā)明人是古希臘學(xué)者塔壬同（今意大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（東方似乎沒有人獨(dú)立提出“純律”的概念。）此人是亞理士多德的學(xué)生，約生活在公元前3世紀(jì)。他的學(xué)說的重點(diǎn)就是要靠耳朵，而不是靠數(shù)學(xué)來主導(dǎo)音樂。他的書籍現(xiàn)在留下來的只有殘篇，不過可以證實(shí)的是他最先提出了所謂“自然音階”。
  自然音階也有7個(gè)音，但和“五度相生律”的7聲音階有不小差別。7個(gè)自然音階的頻率分別是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。確實(shí)簡(jiǎn)單多了吧？也確實(shí)好聽多了。這么簡(jiǎn)單的比例，就是“純律”。
  可以看出“純律”不光用到了3/2的比例，還用到了5/4的比例。新的7個(gè)頻率中和原來不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。
  雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽，數(shù)學(xué)上也簡(jiǎn)單，但它本身也有很大的問題。雖然各個(gè)音和主音的比例變簡(jiǎn)單了，但各音之間的關(guān)系變復(fù)雜了。原來“五度相生律”7聲音階之間只有“全音”和“半音”2種比例關(guān)系，現(xiàn)在則出現(xiàn)了3種：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原來的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音階的頻率互相除一下就能得到這個(gè)結(jié)果。更進(jìn)一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其頻率比是27/32，這也不怎么簡(jiǎn)單，也不怎么好聽呢！所以說“純律”對(duì)“五度相生律”的修正是不徹底的。事實(shí)上，“純律”遠(yuǎn)沒有“五度相生律”流行。

  對(duì)于“五度相生律”的另一種修正是從另一個(gè)方向展開的。還記得為什么要取7個(gè)音符嗎？是因?yàn)椋?/2）5≈7.59，和23＝8很接近。可這畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個(gè)八度之內(nèi)，這么小的差距也許沒什么，但是如果樂器的音域跨越了好幾個(gè)八度，那么這種近似就顯得不怎么好了。于是人們開始尋找更好的近似值。
  通過計(jì)算，古人發(fā)現(xiàn)（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，于是他們把“五度相生律”中“按3/2比例尋找最和諧音”的循環(huán)過程重復(fù)12次，便認(rèn)為已經(jīng)到達(dá)了主音的第7個(gè)八度。再加上原來的主音和4/3F，現(xiàn)在就有了12個(gè)音符。
  注意，現(xiàn)在的“規(guī)范”音階不是do、re、mi……等7個(gè)音符了，而是12個(gè)音符。這種經(jīng)過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。
  和前面的“五度相生律”的7聲音階對(duì)比一下，可以發(fā)現(xiàn)原來的7個(gè)音都還在，只是多了5個(gè)，分別插在它們之間。用正式的音樂術(shù)語稱呼原來的7個(gè)音符，分別是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個(gè)音符于是被叫做C#（讀做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音階現(xiàn)在不能用do、re、mi的叫法了，應(yīng)該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個(gè)音符的頻率互相除一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間的比例只有兩種：256:243（就是原來的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（這被叫做“變化半音”）。
  也就是說，這12個(gè)音符幾乎可以說又構(gòu)成了一個(gè)“等差音高序列”。它們之間的“距離”幾乎是相等的。（當(dāng)然，如果相鄰兩個(gè)音符之間的比例只有一種的話，就是嚴(yán)格的“距離”相等了。）原來的7聲音階中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B之間都相隔一個(gè)“全音”，現(xiàn)在則認(rèn)為它們之間相隔了兩個(gè)“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據(jù)。
  既然C#被認(rèn)為是從C“升”了半音得到的，那么C#也可以被認(rèn)為是從D“降”了半音得到的，所以C#和Db（讀做“降D”）就被認(rèn)為是等價(jià)的。事實(shí)上，5個(gè)新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
  這種12聲音階在音樂界的地位，我只用舉一個(gè)例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對(duì)應(yīng)的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對(duì)應(yīng)的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。
  從7聲音階發(fā)展到12聲音階的做法，在西方和東方都出現(xiàn)得很早。《管子》中實(shí)際上已經(jīng)提出了12聲音階，后來的中國(guó)音律也大多是以“五度相生律”的12聲音階為主。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也有提出這12聲音階的。不過西方要到中世紀(jì)晚期才重新發(fā)現(xiàn)它們。

  能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發(fā)展一下呢？可以的。12聲音階的依據(jù)就是（3/2）12≈129.7，和27＝128很接近，按照這個(gè)思路，繼續(xù)找接近的值就可以了嘛。
  還有人真地找到了，此人就是我國(guó)西漢的著名學(xué)者京房（77 BC－47 BC）。他發(fā)現(xiàn)（3/2）53≈2.151×109，和231≈2.147×109也很接近，于是提出了一個(gè)53音階的新音律。要知道古人并沒有我們現(xiàn)在的計(jì)算器，計(jì)算這樣的高次冪問題對(duì)他們來說是相當(dāng)麻煩的。
  當(dāng)然，京房的新律并沒有流行開，原因就是53個(gè)音階也太麻煩了吧！開始學(xué)音樂的時(shí)候要記住這么多音符，誰還會(huì)有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也確實(shí)需要改進(jìn)。

  “五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其實(shí)自然半音本身就是256:243≈1.053了。
  如果12聲音階是真正的“等差音高序列”的話，每個(gè)半音就應(yīng)該是相等的，各個(gè)音階就應(yīng)該是“等距離”的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個(gè)八度“等分”成12份。為什么這么強(qiáng)調(diào)“等分”、“等距離”呢？因?yàn)樵谝魳返陌l(fā)展過程中，人們?cè)絹碓接X得有“轉(zhuǎn)調(diào)”的必要了。
  所謂轉(zhuǎn)調(diào)，其實(shí)就是用不同的音高來唱同一個(gè)旋律。比方說，如果某一個(gè)人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之內(nèi)彈奏旋律；如果另一個(gè)人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之內(nèi)彈奏旋律?？墒?#8220;五度相生律”的12聲音階根本不是“等差音高序列”，人們會(huì)覺得C～高音C之內(nèi)的旋律和D～高音D之內(nèi)的旋律不一樣。特別是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會(huì)很明顯?？梢哉f，如果現(xiàn)在的鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高，那么只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會(huì)一塌糊涂。
  這種問題在弦樂器上比較好解決，因?yàn)橄覙菲鞯囊舾呤强渴种傅陌磯簛頉Q定的。演奏者可以根據(jù)不同的音域、旋律的要求，有意地不在規(guī)定的指位上按弦，而是偏移一點(diǎn)按弦，就能解決問題?？墒擎I盤樂器（比如鋼琴、管風(fēng)琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時(shí)調(diào)整。所以在西方中世紀(jì)的音樂理論里，就規(guī)定了有些調(diào)、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風(fēng)琴，為了應(yīng)付可能出現(xiàn)的各種情況，就預(yù)先準(zhǔn)備下許多額外的發(fā)音管。以至于有的管風(fēng)琴的發(fā)音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規(guī)則上的缺陷，導(dǎo)致一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。
  問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據(jù)的（3/2）12畢竟和27并不完全相等。之所以會(huì)出現(xiàn)兩種半音，就是這個(gè)近似值造成的。
  對(duì)“五度相生律”12聲音階的進(jìn)一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把（3/2）12和27之間的差距分成12份，累加地分散到12個(gè)音階上，造成一個(gè)等差數(shù)列。可惜這只是一種修補(bǔ)工作，并沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把（3/2）12和27之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的3/2的比例關(guān)系（這個(gè)“純五度”是一個(gè)音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散注定不是平均的，最好的結(jié)果也是12音中至少有一個(gè)“不在調(diào)上”。如果把差距全部分散到12個(gè)音階上的話，就必須破壞C和G之間的“純五度”，以及C和F之間的4/3比例（術(shù)語是“純四度”）。這樣一來，雖然方便了轉(zhuǎn)調(diào)，但代價(jià)就是音階再也沒有以前好聽了。因?yàn)橐粋€(gè)八度之內(nèi)最和諧的兩個(gè)關(guān)系――純五度和純四度――都被破壞了。
  一直到文藝復(fù)興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調(diào)律”（Meantone temperament），就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把（3/2）12和27之間的差距盡量分配到12個(gè)音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協(xié)，大家其實(shí)都在等待新的音律出現(xiàn)。

  終于還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個(gè)八度內(nèi)均分12份嗎？直接就把2:1這個(gè)比例關(guān)系開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應(yīng)該是21/12。如果12音階中第一個(gè)音的頻率是F，那么第二個(gè)音的頻率就是21/12F，第三個(gè)音就是22/12F，第四個(gè)音是23/12F，……，第十二個(gè)是211/12F，第十三個(gè)就是212/12F，就是2F，正好是F的八度。
  這是“轉(zhuǎn)調(diào)”問題的完全解決。有了這個(gè)新的音律，從任何一個(gè)音彈出的旋律可以復(fù)制到任何一個(gè)其它的音高上，而對(duì)旋律不產(chǎn)生影響。西方巴洛克音樂中，復(fù)調(diào)音樂對(duì)于多重聲部的偏愛，有了這個(gè)新音律之后，可以說不再有任何障礙了。后來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺?？梢哉f沒有這個(gè)新的音律的話，后來古典主義者、浪漫主義者對(duì)于各種音樂調(diào)性的探索都是不可能的。
  這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發(fā)明它的是一位中國(guó)人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計(jì)算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見于所著的《律學(xué)新書》一書。很可惜，他的發(fā)明，和中國(guó)古代其它一些偉大的發(fā)明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被后人所知。
  西方人提出“十二平均律”，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當(dāng)時(shí)西方音樂界對(duì)于解決轉(zhuǎn)調(diào)問題的迫切要求。當(dāng)然，反對(duì)“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對(duì)依據(jù)就是“十二平均律”破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度并不十分明顯。
  “十二平均律”的12聲音階的頻率（近似值）分別是：F（C）、1.059F（C#／Db）、1.122F（D）、1.189F（D#／Eb）、1.260F（E）、1.335F（F）、1.414F（F#／Gb）、1.498F（G）、1.587F（G#／Ab）、1.682F（A）、1.782F（A#／Bb）、1.888F（B）。
  注意，現(xiàn)在所有的半音都一樣了，都是21/12，即1.059。以前的自然半音和變化半音的區(qū)別沒有了。
  另外，原來“五度相生律”的12音階中，C和G的比例是3/2（即純五度），現(xiàn)在“十二平均律”的12音階中，C和G的比例是1.498，和純五度所要求的3/2（1.5）非常接近。原來“五度相生律”的12音階中，C和F的比例是4/3（即純四度），現(xiàn)在“十二平均律”的12音階中，C和F的比例是1.335，和純四度所要求的4/3（1.333）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解決了轉(zhuǎn)調(diào)問題，所以后來“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的統(tǒng)治地位?，F(xiàn)在的鋼琴就是按“十二平均律”來確定各鍵音高的?，F(xiàn)在學(xué)生們學(xué)習(xí)的do、re、mi也是按“十二平均律”修改過的7聲音階?，F(xiàn)在如果想聽“五度相生律”或者“純律”的do、re、mi，已經(jīng)很不容易了。
  BTW：現(xiàn)在鋼琴的音高標(biāo)準(zhǔn)是按“中央C”（即通常的do）右邊的第五個(gè)白鍵（按術(shù)語說是A4）的頻率來定的。這個(gè)A鍵的頻率被確定為440HZ。確定了它，鋼琴上其它鍵的頻率都可以按“十二平均律”類推得到。不過在某些國(guó)家（比如東歐），也有把這個(gè)鍵的頻率定為444HZ的。歷史上，這個(gè)A鍵的標(biāo)準(zhǔn)曾經(jīng)有過很多次變化。比如在1759年，英國(guó)劍橋的“三一學(xué)院”（Trinity College Cambridge）的管風(fēng)琴的這個(gè)A鍵，就曾經(jīng)被定在309HZ。可以想像在這里聽到的旋律和我們現(xiàn)在聽到的旋律該有怎樣大的差別。研究古代音樂家的作品的時(shí)候，對(duì)于當(dāng)時(shí)音高標(biāo)準(zhǔn)的研究也是很重要的一部分。（關(guān)于音高標(biāo)準(zhǔn)在歷史上的變化，可以參考這里。）

  關(guān)于“十二平均律”，最后要提的是所謂“大調(diào)”、“小調(diào)”的問題。自從“五度相生律”提出12音階以來，12音階和原來的7音階之間的關(guān)系一直就被人們所研究。也就是說，在原來的7音階之外，現(xiàn)在人們可以在12音階中選取其它的7個(gè)音來作為音樂的“標(biāo)尺”了。這可以給作曲家們以更大的創(chuàng)作自由。
  以C～高音C的八度為例，如果我們選擇原來的7音階，即C、D、E、F、G、A、B，這就被稱為“大調(diào)”（major scale），又因?yàn)檫@個(gè)大調(diào)的主音是C，所以被稱為“C大調(diào)”。而如果我們選擇C、D、D#（Eb）、F、G、G#（Ab）、A#（Bb），這就被稱為“c小調(diào)”（C minor scale）。用小寫c的原因是表示這是小調(diào)。
  大調(diào)和小調(diào)的區(qū)別就在于，大調(diào)和小調(diào)里各音之間的“距離感”不同，以它們?yōu)榛A(chǔ)來作曲，給聽眾的感覺也不相同。這就讓作曲家有了用音樂表現(xiàn)不同情緒的機(jī)會(huì)。
  西方中世紀(jì)的音樂理論里，曾經(jīng)提出了8種不同的方法在12音中選7個(gè)音作為基準(zhǔn)，其中就包含了我們現(xiàn)在談的大調(diào)和小調(diào)。當(dāng)時(shí)的音樂理論給予這8種調(diào)性（mode）以不同的感情色彩，比如有的被認(rèn)為是“悲傷的”，有的被認(rèn)為是“快樂的”，有的被認(rèn)為是“朝氣蓬勃的”等等。這8種調(diào)性中有一些現(xiàn)在已經(jīng)很少用了，現(xiàn)在最流行的是大調(diào)和小調(diào)這兩種。
  由于“十二平均律”允許隨意轉(zhuǎn)調(diào)，這就讓作曲家可以更為地自由創(chuàng)作。以前由于各音之間的半音“不等距”的問題，有些調(diào)被認(rèn)為不能寫作的，現(xiàn)在也可以毫無阻礙的進(jìn)行創(chuàng)作了