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一、鋼琴的律制（數(shù)學(xué)知識(shí)）
鋼琴是按照“十二平均律”定制的樂器，就是把一個(gè)八度的音高頻率，按照等比關(guān)系，平均分?jǐn)傇谑€(gè)半音上，每個(gè)半音的比值都是一樣的，公倍數(shù)是1.05946，這是明朝偉大的音律家朱載堉推算出來的，跟祖沖之推出的圓周率π一樣，是世界首創(chuàng)，這是中國古人匪夷所思的高智商。
“十二平均律”之前，有西洋的“五度相生律”，即七音十二律；中國叫“三分損益律”，即五音十二律。接著有改良的“純律”，它們究竟是怎么回事，如何用一根弦推算出如此復(fù)雜的音律？請參考老樂《一知半解說音律》。為什么有了五度相生律和改良版的純律，還要十二平均律？因?yàn)闊o法轉(zhuǎn)調(diào)，古琴要轉(zhuǎn)調(diào)，得重新調(diào)弦；笛子要造出12把；鋼琴要制造出12架，才能演奏不同調(diào)式的鋼琴曲。假如一首曲子中間有轉(zhuǎn)調(diào)，演奏到轉(zhuǎn)調(diào)處，只能暫時(shí)中斷，換該調(diào)的樂器。
二、鋼琴“十二平均律”，有何特點(diǎn)？
先說天然的“五度相生律”或者說“三分損益律”，以七聲為例，從低到高的音級比率，假如第一級是1，其它音階比率依次是：
1→9/8→81/64→4/3→3/2→27/16→243/128→2（高八度）
這是天然的沒有經(jīng)過修飾的音階，真正的天籟之音，第八級和第一級是倍數(shù)（1→2），第五級和第一級是1.5倍（1→1.5），第四級到第一級是4/3倍，分別叫純八度、純五度、純四度，非常和諧，即使改良版的“純律”，也不敢動(dòng)這個(gè)比值，只能動(dòng)其它音級的比值。請看改良版的“純律”：
1→9/8→5/4→4/3→3/2→5/3→15/8→2（高八度）
而“十二平均律”，膽大包天動(dòng)了純五度、純四度，只留下純八度是天然的，里面的十二個(gè)音級，全部動(dòng)了手術(shù)，人為作了調(diào)整，還是比較七音：
1→1.122→1.260→1.335→1.498→1.682→1.888→2（高八度）
第四級（純四度）由4/3（1.333）變成了1.335，第五級（純五度）由1.5變成了1.498，從音高來說，第四級比原來偏高，第五級比原來偏低，這還是天籟之音嗎？基本上是，微小的頻率，人耳幾乎聽不出來。即便如此，中國古人也是難以忍受的，朱載堉推算出這個(gè)十二平均律，沒有得到推廣，老樂估計(jì)就是老迂腐不認(rèn)可，改變了傳統(tǒng)的比值，簡直是大逆不道！而鬼佬不管這一套，得到朱載堉的十二平均律后，大喜過望，如獲至寶，馬上應(yīng)用到樂器和作曲，偉大的協(xié)奏曲、交響樂、鋼琴（曲）……產(chǎn)生了，而中國還在純天然的古琴中自得其樂。
三、十二平均律的音高頻率。
中國“三分損益”法和西洋“五度相生”法，不約而同推算出12個(gè)音律，音高（頻率）比值也推算出來了，上面列出了七個(gè)音，這里全部列出：
1→2187/2046→9/8→19683/1638→81/64→4/3→729/512→3/2→6561/4096→27/16→59049/32768→243/128→2
前面說過，這個(gè)純天然的比值，相鄰兩音的比值是不相等的，所以轉(zhuǎn)調(diào)后，頻率比發(fā)生了變化，比如：從C調(diào)轉(zhuǎn)為D調(diào)，D成了主音，A成了屬音，然而A音與D音的頻率比就不再是嚴(yán)格的3/2（＝1.5），而是5/3÷9/8＝≈1.48，不是嚴(yán)格精準(zhǔn)的純五度，讓人感覺旋律走樣了。朱載堉第一個(gè)把它們頻率等比，除了八度音沒有改變，其它都作了細(xì)微調(diào)整，它們分別是：
1→1.059→1.122→1.189→1.260→1.335→1.414→1.498→1.587→1.682→1.78→1.888→2（高八度）
所有的半音比值都一樣了，都有相同的倍數(shù)1.05946，任意一個(gè)音，乘以1.05946就可以得到上一個(gè)半音，以前的自然半音和變化半音的區(qū)別沒有了，隨便轉(zhuǎn)調(diào)，比值還是一樣，如上面舉的例子，C跟G的比值是1.498（接近天然的1.5），從C調(diào)轉(zhuǎn)為D調(diào)，D成了主音，A成了屬音，A音與D音的頻率比1.682÷1.122≈1.498，轉(zhuǎn)調(diào)后比值不變，聽覺沒有走樣。
推算出了公倍數(shù)1.05946，知道了各音比值關(guān)系，只要明確了某一個(gè)音的頻率，其它音就可以推算出來。國際標(biāo)準(zhǔn)是把七音的第六級（A）音高頻率定為440赫茲，那么#A=440×1.05946≈466赫茲，bA=440÷1.05946≈415赫茲，以此類推，十二個(gè)音都可以算出來（括號(hào)是中國古代十二律的名稱）：
C（黃鐘）＝261.62557赫茲
#C（大呂）＝277.18263赫茲
D（太簇）＝293.66477赫茲
#D（夾鐘）＝311.12698赫茲
E（姑洗）＝329.62756赫茲
F（仲呂）＝349.22823赫茲
#F（蕤賓）＝369.99442赫茲
G（林鐘）＝391.99544赫茲
#G（夷則）＝415.30470赫茲
A（南呂）＝440.00000赫茲
#A（無射）＝466.16376赫茲
B（應(yīng)鐘）＝493.88330赫茲
C（黃鐘還原）＝523.25113赫茲
四、鋼琴鍵盤的音律原理。
上面計(jì)算出了一組十二個(gè)音的音高頻率，鋼琴是大型樂器，音域?qū)拸V，鍵盤不止一組，而是九組，七個(gè)完全組，頭尾兩個(gè)不完全組。上面推出的一組，在鋼琴鍵盤上稱小字一組，以此為中心，向左右擴(kuò)展，往上還有四個(gè)組：小字二組、小字三組、小字四組、小字五組（只有一個(gè)鍵C）；往下也有四個(gè)組：小字組、大字組、大字一組、大字二組（只有三個(gè)鍵A、#A、B），知道了中間小字一組的音高頻率，其它八組的音高頻率也都算出來了，最低音（A0）是
27.5赫茲，最高音（C8）是4186赫茲，再低就是少于20赫茲的次聲波了，只有大象和海豚等動(dòng)物才能聽到了；再高就接近超聲波了，只有蝙蝠、蟋蟀等小動(dòng)物才能聽到了，人耳無能為力了。
五、鋼琴鍵盤的機(jī)械原理。
鋼琴鍵盤有九組共88個(gè)鍵，分中音區(qū)（小字一組、小字組、小字二組）、低音區(qū)（大字二組、大字一組、大字組）、高音區(qū)（小字三組、小字四組、小字五組）。顯然，中音區(qū)是最適合人聲的，那些變態(tài)的高音王、低音王之類，是經(jīng)過訓(xùn)練才具備的，普通人拉倒。
鋼琴88個(gè)鍵，不是88根弦，而是222根弦。每個(gè)鍵敲擊的琴弦，有的是一根粗弦，有的是兩根粗弦，有的是三根細(xì)弦，一般來說，低音區(qū)是敲擊一根和兩根弦，中音區(qū)和高音區(qū)敲擊三根弦。具體來說：
大字二組A0→大字一組#A1是一根纏繞銅線的粗弦，共有14根弦；
大字一組B2→小字組C3是兩根繞銅線的中粗弦，共有14根弦；
小字組#C3一直到最高音的C8都是三根細(xì)弦，共有194根弦。顯然，絕大多數(shù)鍵是三根弦。
88個(gè)鍵從低到高，根據(jù)弦長跟頻率成反比的關(guān)系，弦越來越短，音高頻率越來越高。
六、鋼琴調(diào)音與調(diào)律。
從前面分析得知，鋼琴88個(gè)鍵都有具體的音高頻率，是數(shù)字化的清清楚楚的，鋼琴只不過把222根規(guī)定音高頻率的弦，安裝和固定在鋼板上，按理說，只要保持222根弦在國際標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的音高，鋼琴就萬事大吉了。事實(shí)并非如此，沒有想象的那么簡單。當(dāng)初定好標(biāo)準(zhǔn)音440赫茲后，其它弦是根據(jù)拍音來調(diào)音的，那時(shí)也沒有精密的測音儀器可以參考。什么是拍音呢？說來話長，簡單一點(diǎn)，就是兩個(gè)相近的音交叉后，產(chǎn)生強(qiáng)弱有規(guī)律的拍頻，類似強(qiáng)弱拍子，所以稱拍音。純一度（兩根和三根弦的鍵）、純八度、純五度、純四度沒有拍音，根據(jù)小字一組A4=440赫茲就可以用耳朵聽拍音調(diào)出小字組A3，從A3出發(fā)，用上四度下五度的方法，可以得出一組十二個(gè)音高，順序是：
A4→A3→D4→G3→C4→F3→bB3（往上找純四度）→bE4→bA3→bD4→bF3→B3→E4→A4
得出的十二個(gè)音是小字組F3→小字一組E4，先把每個(gè)鍵調(diào)純沒有拍音，以此為基準(zhǔn)，按照純八度擴(kuò)展，鍵盤其它鍵也可以調(diào)出來了。
這就是傳說中的鋼琴調(diào)律，看起來有些神秘，憑借一個(gè)音叉，一個(gè)專用扳手，一些止音小工具，調(diào)律師憑借耳朵聽音，一兩個(gè)小時(shí)就把鋼琴搞定。
（尚未完稿，等待后續(xù)）
2016年11月28日
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