內(nèi)容摘要

       因式分解是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．

關(guān)鍵詞  初中因式分解的方法、技巧

首先，我們必須把握因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫著把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。明確因式分解實(shí)質(zhì)只是一個(gè)多項(xiàng)式的變形而已，不是計(jì)算。強(qiáng)調(diào)考查對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式，目的是要把它化成幾個(gè)整式積的形式。即等式的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式相乘的形式?？梢姡蚴椒纸馀c整式乘法是相反方向的變形。最起碼的特征是等式的右邊的式子是相乘的。

其次，我們必須掌握幾種簡(jiǎn)單的分解方法。初中主要體現(xiàn)以幾種方法：

一·提公因式法

多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。通過觀察探討，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)多項(xiàng)式的公因式實(shí)質(zhì)上是取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低次冪的積的形式。具體做法是：（1）找出各項(xiàng)的公因式。（2）把公因式寫在等式的右邊，然后用多項(xiàng)式除以公因式，再把所得的商寫在括號(hào)里與公因式相乘。注意：（1）若多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)數(shù)，為使提公因式后括號(hào)里首項(xiàng)不含負(fù)號(hào)，可提一個(gè)帶負(fù)號(hào)的公因式。(2)結(jié)果中出現(xiàn)相同因式時(shí)寫成乘方的形式.公因式中字母也可以是整式。（3）多項(xiàng)式中某一項(xiàng)全提公因式后不要漏掉“1”這一項(xiàng)。（4）提公因式要一次提“全”提“盡”，直到不能再分解為止。

例如，把下列多項(xiàng)式分解因式：

（1）8a³b²－12ab³c               （2）－2m³＋4m²＋2m    

（3）6（x－2）＋x（2－x）       （4）18b（a－b）²－12（a－b）³

解：（略）

二·運(yùn)用公式法

初中階段主要涉及兩類三個(gè)公式：

平方差公式a²－b²=（a＋b）（a－b）；

完全平方公式a²＋2ab＋b²=（a＋b）²     a²－2ab＋b²=（a－b）²

（一）平方差公式a²－b²=（a＋b）（a－b）；

1·公式特點(diǎn)：

（1）這個(gè)多項(xiàng)式有兩部分組成。（2）這兩部分可以表示成平方差的形式，即這兩部分異號(hào)。（3）等式的右邊是左邊兩平方項(xiàng)的底數(shù)的和與差的積。

2·方法步驟：（1）把左邊多項(xiàng)式化成兩部分平方差的形式，認(rèn)準(zhǔn)兩平方項(xiàng)的底數(shù)。（2）右邊寫成兩底數(shù)和與差的積的形式。（3）最后把括號(hào)里和與差化簡(jiǎn)徹底，使等式中不再有中括號(hào)、同類項(xiàng)，直到不能再分解為止。

3·例題展示，把下列各式分解因式

（1）1－25b²                           （2）（x＋p）²－（x＋q）²

（3）16（a－b）²－9（a＋b）²     （4）x⁴－y⁴

（二）完全平方公式  a²＋2ab＋b²=（a＋b）²        a²－2ab＋b²=（a－b）²

 1·公式特點(diǎn)：（1）多項(xiàng)式是由三部分組成的。（2）其中有兩部分（或通過提負(fù)號(hào)）可化成平方和的形式。（3）第三部分是兩平方項(xiàng)的底數(shù)積的二倍。（4）右邊是兩平方項(xiàng)的底數(shù)的和或差的平方。左邊第三項(xiàng)為正則右邊是兩底數(shù)和的平方；左邊第三項(xiàng)為負(fù)則右邊是兩平方項(xiàng)底數(shù)的差的平方。

2·方法步驟：（1）多項(xiàng)式中有公因式先提公因式。（2）表示出兩平方項(xiàng)并驗(yàn)證第三項(xiàng)是否是兩平方項(xiàng)底數(shù)積的二倍。（3）右邊表示成公因式與兩平方項(xiàng)底數(shù)的和或差的平方的積的形式。

3·例題展示，把下列各式分解因式

（1）1＋4x²y²－4xy                    （2） －x²－4y²＋4xy

（3） －16m⁴n⁶＋24m³n⁵－9m²n⁴ （4） 9（x＋a）²＋30（x＋a）（x＋b）＋25（x＋b）²

 三· 分組分解法

采用分組分解法，關(guān)鍵在于分組，分組不僅要將有公因式或能用公式的項(xiàng)劃歸一組，同時(shí)還要預(yù)見到下一步還有公因式可提或能套用公式。用不同的方法分解因式但正確的結(jié)果是唯一的。

（一）分組—提公因式法分解因式

例如，把下列各式分解因式

（1）a²－ab＋ac－bc       （2）2ax＋5by－10ay－bx

（二）分組—運(yùn)用公式分解因式

           例如，把下列各式分解因式

            （1）x²－y²＋ ax＋ay  （2）a²－2ab＋b²－c²   （3）x³＋x²y －xy²－y ³        

 解：（1）x²－y²＋ ax＋ay                                    

             =（x²－y²）＋（ax＋ay）                             

             =（x＋y）（x－y）＋a（x＋y）                 

             =（x＋y）（x－y＋a）             

      （2）a²－2ab＋b²－c²

                ^{=（a2－2ab＋b2）－c2}

             =（a－b）²—c²

             =（a－b＋c）（a－b－c）

       （3）x³＋x²y －xy²－y ³

             =（x³＋x²y）－（xy²＋y³）

             = x²（x＋y）－y²（x＋y）

             =（x＋y）（x²－y²）

             =（x＋y）²（x－y）

四·十字相乘法

—x²＋（a＋b）x＋ab=（x＋a）（x＋b）型

對(duì)于二次三項(xiàng)式x²＋（a＋b）x＋ab型的因式分解，可以分解成兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積的形式。其中這兩個(gè)一次二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)之和正是二次三項(xiàng)式的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)之積正是二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)。

通過題型訓(xùn)練總結(jié)如下：

（1）    例如分解因式x²＋5x＋6或x²－5x＋6

常數(shù)項(xiàng)6可分解為2×3或（－2）×（－3）而2＋3=5、（－2）＋（－3）=－5正是一次項(xiàng)的系數(shù)。

 可見對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1、常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)的二次三項(xiàng)式，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)正數(shù)且使兩正數(shù)的和恰是一次項(xiàng)的系數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)負(fù)數(shù)且使兩負(fù)數(shù)的和恰是一次項(xiàng)的系數(shù)。即常數(shù)項(xiàng)分解的兩個(gè)數(shù)的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值。

（2）    例如分解因式x²＋x－6或x²－x－6

常數(shù)項(xiàng)都為－6可分解為3×（－2）或（－3）×2而3＋（－2）=3－2=1 （－3）＋2=2－3=－1正是一次項(xiàng)的系數(shù)。

可見對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)的二次三項(xiàng)式，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值分解成兩個(gè)正數(shù)的差等于一次項(xiàng)的系數(shù)，用較大因數(shù)減較小因數(shù)，即寫成字母加大因數(shù)與字母減小因數(shù)的積的形式（加大減?。?；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值分解成兩個(gè)正數(shù)的差等于一次項(xiàng)的系數(shù)，用較小因數(shù)減較大因數(shù)，即寫成字母加小因數(shù)與字母減大因數(shù)的積的形式（加小減大）。

例如（1）m²＋5m－14

常數(shù)項(xiàng)-14的絕對(duì)值14=2×7一次項(xiàng)系數(shù)是5=7－2故m²＋5m－14=（m＋7）（m－2）  （2）y²－6y－40

常數(shù)項(xiàng)-40的絕對(duì)值40=4×10一次項(xiàng)系數(shù)是－6=4－10故y²－6y－40=（y＋4）（y－10）

當(dāng)然，因式分解不限于這幾種方法，限于初中生的認(rèn)知水平和初中課標(biāo)要求，這里在就不做過多的探討了。方法步驟上可以參考以下口訣：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)全提莫漏１，括號(hào)里面分到“底”。也可遵從一“提”二“套” 三“分”四“查”的步驟，即先提公因式，再套用公式，其次分組解決，最后用多項(xiàng)式的乘法檢查驗(yàn)證。

         參考資料  初中八年級(jí)數(shù)學(xué)課本

                                                          2010年4月