因式分解：x2+10x+9

分析：沒(méi)有公因式，無(wú)法使用平方差公式，無(wú)法使用完全平方公式。此時(shí)有學(xué)生提出，可以用十字相乘法（自己在外面已經(jīng)學(xué)過(guò)）

        十字相乘法的確存在，對(duì)于形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式的分解，本質(zhì)也是：拆常數(shù)，湊中間。為何要通過(guò)十字交叉的形式來(lái)湊中間的一次項(xiàng)呢？

我們先來(lái)回顧一下我們學(xué)過(guò)的多項(xiàng)式的豎式乘法。（詳見(jiàn)第67期）

對(duì)于多項(xiàng)式 (x+a)(x+b) 的乘法，根據(jù)豎式乘法

所以，一個(gè)二次三項(xiàng)式x2+px+q如果可以分解成(x+a)(x+b)，本質(zhì)上是將常數(shù)項(xiàng)拆分，湊成中間的一次項(xiàng)，觀察一次項(xiàng)的構(gòu)成，是第一個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)和第二個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的乘積與第一個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)和第二個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)乘積的和，說(shuō)起來(lái)比較拗口，直接上圖，如圖，

一旦湊常數(shù)項(xiàng)成功，根據(jù)多項(xiàng)式乘法與因式分解是相反的過(guò)程，只要橫著寫因式即可。

例   分解因式 x2-3x-10

所以x2-3x-10=（x-5）（x+2）

剛才的分解過(guò)程可以簡(jiǎn)單總結(jié)為三個(gè)步驟：

①豎分常數(shù)項(xiàng)；

②交叉相乘，和相加；

③檢驗(yàn)確定，橫寫因式；

簡(jiǎn)稱：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂

分解因式：2x2-7x+3

分析：如果它可以分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，則2x2-7x+3=(a1x+c1)(a2x+c2)，根據(jù)豎式乘法

則a1a2=2,c1c2=3,發(fā)現(xiàn)a1，a2是二次項(xiàng)的系數(shù)的因數(shù),c1，c2是常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)，a1c2+a2c1

是二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，是由兩個(gè)一次多項(xiàng)式系數(shù)交叉相乘之和得到。

于是可按以下辦法進(jìn)行拆分

解：

所以將最后一個(gè)分解方式橫寫因式，得

2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)

和之前步驟一樣：

①豎分常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)

②交叉相乘，和相加

③檢驗(yàn)確定，橫寫因式

簡(jiǎn)稱：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂

后記：

       2可以分解為2,1，固定2和1的位置不變，改變常數(shù)項(xiàng)兩個(gè)位置的位置（這里我們只選擇一種都為正，因?yàn)橐蚴椒纸饨Y(jié)果首項(xiàng)如果是負(fù)的，可以提一個(gè)負(fù)號(hào)出來(lái)）

3是個(gè)整數(shù)，有兩種分解方式，但是都同號(hào).  

這種方法也稱為：分兩頭，湊中間。           

分解因式：6x2-7x-5

解：

∴6x2-7x-5=（2x+3）（3x-5）

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式分解，十字相乘法非常簡(jiǎn)便，有以下方法技巧：

⑴二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，只考慮分解成兩個(gè)正因數(shù)之積；

⑵在二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，常數(shù)項(xiàng)的分解，符號(hào)規(guī)律同上個(gè)專題的、的符號(hào)規(guī)律；

⑶分解二項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)有多種可能，即使對(duì)于同一種分解，十字圖也有不同的寫法，為了避免重或漏，故二次項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)一經(jīng)排定就不變，而用常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)作調(diào)整；

⑷用十字相乘法分解因式時(shí)，一般要經(jīng)過(guò)多次嘗試才能確定能否分解或怎樣分解．

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