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整式

 入山泉水清 2013-10-29

整式

整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,減,乘,除四種運(yùn)算,但在整式中除數(shù)不能含有字母。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都統(tǒng)稱(chēng)為整式。

1總概念

單項(xiàng)式多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。
例題:
、
是整式。
不是整式

2單項(xiàng)式

概念

由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式(monomial)。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式[1],如Q,-1,a,
等。

系數(shù)

(1)單項(xiàng)式中的常數(shù)因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)(coefficient).如3x的系數(shù)是3。
(2)如果一個(gè)單項(xiàng)式只含有字母因數(shù),是正數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為1,是負(fù)數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為-1,如
系數(shù)為1,
系數(shù)為-1。
(3)如果只是一個(gè)數(shù)字,系數(shù)是本身。如5的系數(shù)還是5。

次數(shù)

一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)(degree of a monomaial)。例如
中字母x的次數(shù)是1,字母y的次數(shù)是2,則
的次數(shù)為1+2=3,又如
,次數(shù)為2+1=3,因?yàn)?的次數(shù)3不算入單項(xiàng)式的次數(shù)中。
單獨(dú)一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0。[1]
例如:4xy的系數(shù)為4,次數(shù)為2。x的指數(shù)是1,y的指數(shù)是1,指數(shù)相加得2。

3單項(xiàng)式的易錯(cuò)混點(diǎn)

(1)單項(xiàng)式的系數(shù)包括前面的符號(hào),如:-a的系數(shù)是-1;
(2)單項(xiàng)式是由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)組成的,單項(xiàng)式不含加減運(yùn)算,含有除法運(yùn)算時(shí),分母不含字母,分子不含加減運(yùn)算,如:
就不是單項(xiàng)式,
也不是單項(xiàng)式,因?yàn)樗鼈兌己訙p運(yùn)算(但第二題也不是分式,因?yàn)?
是一個(gè)數(shù),所以它是多項(xiàng)式);
(3)單項(xiàng)式的次數(shù)與多項(xiàng)式的次數(shù)是不同概念,要注意區(qū)分;
(4)系數(shù)是1或-1時(shí),省略1不寫(xiě);指數(shù)是1時(shí),1也省略不寫(xiě),在這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)上容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

4多項(xiàng)式

概念

由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式(polynomial)。(化為最簡(jiǎn)式,即
(常數(shù)) (指數(shù)不為負(fù)數(shù)))

項(xiàng)

在多項(xiàng)式中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的符號(hào),看作各項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào).一元N次多項(xiàng)式最多N+1項(xiàng)。
例:在多項(xiàng)式2x-3中,2x和-3是它的項(xiàng),其中-3是常數(shù)項(xiàng);在多項(xiàng)式
中它的項(xiàng)分別是
、2x和18,其中18是常數(shù)項(xiàng),它是三項(xiàng)式。

次數(shù)

多項(xiàng)式中,次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù),如:
中,
這一項(xiàng)的次數(shù)最高,這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)就是5+3=8,這個(gè)多項(xiàng)式就是八次三項(xiàng)式。

排列

有時(shí)為了計(jì)算需要,可以將多項(xiàng)式各項(xiàng)的位置根據(jù)加法交換律按照其中某個(gè)字母的指數(shù)大小順序來(lái)排列。
例如:把多項(xiàng)式
按字母x指數(shù)從大到小的順序排列,寫(xiě)成
,這叫做把多項(xiàng)式按字母x的降冪排列,若按x指數(shù)從小到大排列,則就是把多項(xiàng)式按字母x的升冪排列,寫(xiě)成
,也可以是多項(xiàng)式中的其他字母。

5多項(xiàng)式的易錯(cuò)混點(diǎn)

(1)多項(xiàng)式的次數(shù)是次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù),而不是各項(xiàng)次數(shù)的和,應(yīng)理解透概念。
(2)看清是降冪還是升冪排列。

6同類(lèi)項(xiàng)

概念

所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫同類(lèi)項(xiàng)。

法則

將多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng),叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。合并時(shí),將系數(shù)相加字母和字母指數(shù)不變。
例如:
合并為
。

整式的加減

就是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的加減,可利用去括號(hào)法則和合并同類(lèi)項(xiàng)來(lái)完成。
例如,

7整式的乘法

同底數(shù)冪的乘法

底數(shù)是相同的冪即為同底數(shù)冪
冪

  

同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。
即,
(m,n為正整數(shù)),如
。

冪的乘方

冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。
冪的乘方

  冪的乘方

(m,n為正整數(shù)),如
。

積的乘方

積的乘方,先把積中的每一個(gè)因數(shù)分別乘方,再把所得的冪相乘。
用字母表示為:
,如
。

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪相乘,其余字母連同它的指數(shù)不變,作為積的因式。
例如:

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式就是根據(jù)乘法分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。
例如:
。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。
例如:
。

8乘法公式

定義

乘法公式也叫做簡(jiǎn)乘公式,就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié),直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母,一般可以表示數(shù)字,單項(xiàng)式,多項(xiàng)式,有的還可以推廣到分式根式。
(詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)至“乘法公式”詞條查看)

常用公式

三數(shù)和平方公式:
,
平方差公式
,

9因式分解

定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(也叫作分解因式)。
分解因式與整式乘法為相反變形。
(詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)至“因式分解”詞條查看)

方法

因式分解沒(méi)有普遍適用的方法,初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法公式法、分組分解法、十字相乘法

提公因式法

又叫提取公因式法。
一個(gè)多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的因式叫這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。
如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)作為多項(xiàng)式的一個(gè)因式,提取公因式后的式子放在括號(hào)里,作為另一個(gè)因式,這種因式分解的方法叫提公因式法。
例如,
公因式為
,因式分解結(jié)果為
。

公式法

逆用乘法公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫公式法。
因式分解常用乘法公式:
因式分解中的平方差公式:
因式分解中的完全平方公式:
,
因式分解中的三數(shù)完全平方公式:

十字相乘法

運(yùn)用十字交叉線來(lái)分解系數(shù),把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫十字相乘法。
如果二次三項(xiàng)式
中的常數(shù)項(xiàng)
能分解成兩個(gè)因數(shù)
的積,而且一次項(xiàng)系數(shù)
又恰好是
,那么
就可進(jìn)行以下的因式分解:
完全平方式也可用此公式分解。
例如,

分組分解法

利用分組來(lái)分解因式的方法叫分組分解法。
若是四項(xiàng)式,一般二二分組或一三分組。
例如,
是一三分組。

10整式的除法

同底數(shù)冪的除法

同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。
(m、n是正整數(shù)且
例如,
。
任何不等于零的數(shù)的零次冪為1,即

單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后,作為商的因式;對(duì)于只在被除式中含有的字母,則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.
注:?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式主要是通過(guò)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法解決的。
例如,
。

多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加.
例如,
。

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