整式目 錄1總概念單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。
例題:
![]() ![]() ![]() ![]() 2單項(xiàng)式概念由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式(monomial)。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式[1],如Q,-1,a,
![]() 系數(shù)(2)如果一個(gè)單項(xiàng)式只含有字母因數(shù),是正數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為1,是負(fù)數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為-1,如
![]() ![]() (3)如果只是一個(gè)數(shù)字,系數(shù)是本身。如5的系數(shù)還是5。
次數(shù)一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)(degree of a monomaial)。例如
![]() ![]() ![]() 例如:4xy的系數(shù)為4,次數(shù)為2。x的指數(shù)是1,y的指數(shù)是1,指數(shù)相加得2。
3單項(xiàng)式的易錯(cuò)混點(diǎn)(1)單項(xiàng)式的系數(shù)包括前面的符號(hào),如:-a的系數(shù)是-1;
(2)單項(xiàng)式是由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)組成的,單項(xiàng)式不含加減運(yùn)算,含有除法運(yùn)算時(shí),分母不含字母,分子不含加減運(yùn)算,如:
![]() ![]() ![]() (3)單項(xiàng)式的次數(shù)與多項(xiàng)式的次數(shù)是不同概念,要注意區(qū)分;
(4)系數(shù)是1或-1時(shí),省略1不寫(xiě);指數(shù)是1時(shí),1也省略不寫(xiě),在這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)上容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。
4多項(xiàng)式概念由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式(polynomial)。(化為最簡(jiǎn)式,即
![]() 項(xiàng)在多項(xiàng)式中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的符號(hào),看作各項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào).一元N次多項(xiàng)式最多N+1項(xiàng)。
例:在多項(xiàng)式2x-3中,2x和-3是它的項(xiàng),其中-3是常數(shù)項(xiàng);在多項(xiàng)式
![]() ![]() 次數(shù)多項(xiàng)式中,次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù),如:
![]() ![]() 排列有時(shí)為了計(jì)算需要,可以將多項(xiàng)式各項(xiàng)的位置根據(jù)加法交換律按照其中某個(gè)字母的指數(shù)大小順序來(lái)排列。
例如:把多項(xiàng)式
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5多項(xiàng)式的易錯(cuò)混點(diǎn)(1)多項(xiàng)式的次數(shù)是次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù),而不是各項(xiàng)次數(shù)的和,應(yīng)理解透概念。
(2)看清是降冪還是升冪排列。
6同類(lèi)項(xiàng)概念所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫同類(lèi)項(xiàng)。
法則將多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng),叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。合并時(shí),將系數(shù)相加,字母和字母指數(shù)不變。
例如:
![]() ![]() 整式的加減就是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的加減,可利用去括號(hào)法則和合并同類(lèi)項(xiàng)來(lái)完成。
例如,
![]() 7整式的乘法同底數(shù)冪的乘法底數(shù)是相同的冪即為同底數(shù)冪。
同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。
即,
![]() ![]() 冪的乘方冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。
即
![]() ![]() 積的乘方積的乘方,先把積中的每一個(gè)因數(shù)分別乘方,再把所得的冪相乘。
用字母表示為:
![]() ![]() 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪相乘,其余字母連同它的指數(shù)不變,作為積的因式。
例如:
![]() 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式就是根據(jù)乘法分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。
例如:
![]() 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。
例如:
![]() 8乘法公式定義乘法公式也叫做簡(jiǎn)乘公式,就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié),直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母,一般可以表示數(shù)字,單項(xiàng)式,多項(xiàng)式,有的還可以推廣到分式,根式。
(詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)至“乘法公式”詞條查看)
常用公式完全平方公式:
![]() 三數(shù)和平方公式:
![]() 平方差公式:
![]() 立方和公式:
![]() 立方差公式:
![]() 完全立方公式:
![]() 歐拉公式:
![]() 9因式分解定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(也叫作分解因式)。
分解因式與整式乘法為相反變形。
(詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)至“因式分解”詞條查看)
方法提公因式法又叫提取公因式法。
一個(gè)多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的因式叫這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。
如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)作為多項(xiàng)式的一個(gè)因式,提取公因式后的式子放在括號(hào)里,作為另一個(gè)因式,這種因式分解的方法叫提公因式法。
例如,
![]() ![]() ![]() 公式法逆用乘法公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫公式法。
因式分解常用乘法公式:
因式分解中的平方差公式:
![]() 因式分解中的完全平方公式:
![]() ![]() 因式分解中的三數(shù)完全平方公式:
![]() 十字相乘法運(yùn)用十字交叉線來(lái)分解系數(shù),把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫十字相乘法。
如果二次三項(xiàng)式
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 完全平方式也可用此公式分解。
例如,
![]() ![]() 分組分解法利用分組來(lái)分解因式的方法叫分組分解法。
若是四項(xiàng)式,一般二二分組或一三分組。
例如,
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10整式的除法同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。
![]() ![]() 例如,
![]() 任何不等于零的數(shù)的零次冪為1,即
![]() 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后,作為商的因式;對(duì)于只在被除式中含有的字母,則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.
注:?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式主要是通過(guò)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法解決的。
例如,
![]() 多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加.
例如,
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