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1-1 什么是數(shù)學(xué)危機(jī)

為了講清楚第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的來(lái)龍去脈，我們首先要說(shuō)明什么是數(shù)學(xué)危機(jī)。一般來(lái)講，危機(jī)是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不在的、不可避免的，即便以確定無(wú)疑著稱(chēng)的數(shù)學(xué)也不例外。 人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)。 從引進(jìn)零及負(fù)數(shù)就經(jīng)歷過(guò)斗爭(zhēng)：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通；同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算——除法，否則許多實(shí)際問(wèn)題也不能解決。但是 接著又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題，是否所有的量都能用有理數(shù)來(lái)表示?于是發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)就導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，而危機(jī)的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的體系化。 方程的解導(dǎo)致了虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開(kāi)始就被認(rèn)為是“不實(shí)的”?？墒沁@種不實(shí)的數(shù)卻能解決實(shí)數(shù)所不能解決的問(wèn)題，從而為自己爭(zhēng)得存在的權(quán)利。 幾何學(xué)的 發(fā)展從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到各種非歐幾何學(xué)也是如此。在十九世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問(wèn)題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過(guò)加、減、 乘、除、乘方、開(kāi)方求出根來(lái)；古希臘幾何三大問(wèn)題，即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過(guò)圓規(guī)、直尺作圖來(lái)解決等等。 這些否定的結(jié)果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類(lèi)認(rèn)識(shí)的深入。這種發(fā)現(xiàn)給這些學(xué)科帶來(lái)極大 的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說(shuō)，代數(shù)學(xué)從此以后向抽象代數(shù)學(xué)方面發(fā)展，而求解方程的根變成了分析及計(jì)算數(shù)學(xué)的課題。在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，這種 情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問(wèn)題的不可判定性都大大提高了人們的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)理邏輯的大發(fā)展。 這種矛盾、危機(jī)引起的發(fā)展，改變面貌，甚至引起革命，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上是屢見(jiàn)不鮮的。第二次數(shù) 學(xué)危機(jī)是由無(wú)窮小量的矛盾引起的，它反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無(wú)窮的矛盾。數(shù)學(xué)中也一直貫穿著計(jì)算方法、分析方法在應(yīng)用與概念上清楚及邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在 這方面，比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用。而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家則提出批評(píng)。只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致后，矛盾才能解決。后來(lái)算符演算及δ函數(shù)也 重復(fù)了這個(gè)過(guò)程，開(kāi)始是形式演算、任意應(yīng)用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。 對(duì)于第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，有人認(rèn)為只是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)，與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)。這種看法是片面的。誠(chéng)然，問(wèn)題 涉及數(shù)理邏輯和集合論，但它一開(kāi)始就牽涉到無(wú)窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)如果脫離無(wú)窮集合就可以說(shuō)寸步難行。因?yàn)槿绻豢紤]有限集合或至多是可數(shù)的集合，那絕大部 分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在。而且即便這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也有許多問(wèn)題要涉及無(wú)窮的方法，比如解決數(shù)論中的許多問(wèn)題都要用解析方法。由此看來(lái)，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是一 次深刻的數(shù)學(xué)危機(jī)。

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1-2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來(lái)源于古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派興旺的時(shí)期為公元前500年左右，它是一 個(gè)唯心主義流派。他們重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文學(xué)、音樂(lè)稱(chēng)為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規(guī)律性。他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”， 認(rèn)為數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界。數(shù)學(xué)的知識(shí)是由于純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺(jué)及日常經(jīng)驗(yàn)。 畢達(dá)哥拉斯的數(shù)是指整數(shù)，他們?cè)跀?shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿(mǎn)足直角三角形三邊長(zhǎng)的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來(lái)表達(dá)，也就是勾長(zhǎng)或股長(zhǎng)與弦長(zhǎng)是不可通約的。這樣一來(lái)，就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。 不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。有人說(shuō)，這種性質(zhì)是希帕索斯約 在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過(guò)更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實(shí)，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希 臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到 挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。 同時(shí)這也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。 回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無(wú)非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng) 用到實(shí)際問(wèn)題中去的。比如泰勒斯預(yù)測(cè)日食，利用影子距離計(jì)算金字塔高度，測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國(guó)、印度等 國(guó)的數(shù)學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機(jī)和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與 亞里士多德的邏輯體系。 第一次危機(jī)的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學(xué) 亞里士多德的方法論對(duì) 于數(shù)學(xué)方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區(qū)分，由某些屬性來(lái)定義的東西可能未必存在(如正 九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過(guò)的東西來(lái)定義，所以必定有些最原始的定義，如點(diǎn)、直線等。而證明存在的方法需要規(guī)定和限制。 亞里士多德還指出公理的必要性，因?yàn)檫@是演繹推理的出發(fā)點(diǎn)。他區(qū)別了公理和公設(shè)，認(rèn)為公理是一切科學(xué)所公有的真理，而公設(shè)則只是某一門(mén)學(xué)科特有的最基本的原理。他把邏輯規(guī)律(矛盾律、排中律等)也列為公理。 亞里士多德對(duì)邏輯推理過(guò)程進(jìn)行深入研究，得出三段論法，并把它表達(dá)成一個(gè)公理系統(tǒng)，這是最早的公理系統(tǒng)。他關(guān)于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個(gè)獨(dú)立學(xué)科，而且對(duì)數(shù)學(xué)證明的發(fā)展也有良好的影響。 亞里士多德對(duì)于離散與連續(xù)的矛盾有一定闡述。對(duì)于潛在的無(wú)窮(大)和實(shí)在的無(wú)窮(大)加以區(qū) 別。他認(rèn)為正整數(shù)是潛在無(wú)窮的，因?yàn)槿魏握麛?shù)加上1以后總能得到一個(gè)新的數(shù)。但是他認(rèn)為所謂“無(wú)窮集合”是不存在的。他認(rèn)為空間是潛在無(wú)窮的，時(shí)間在延長(zhǎng) 上是潛在無(wú)窮的，在細(xì)分上也是潛在無(wú)窮的。 歐幾里得的《幾何原本》對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用無(wú)須在此多談。不過(guò)應(yīng)該指出，歐幾里得的貢獻(xiàn)在于他有史以來(lái)第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的演繹體系。這對(duì)數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到十九世紀(jì)。牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和斯賓諾莎的《倫理學(xué)》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。 歐幾里得的平面幾何學(xué)為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個(gè)原始定義，五個(gè)公理和五個(gè)公設(shè)。他規(guī)定了存在的證明依賴(lài)于構(gòu)造。 《幾何原本》在西方世界成為僅次于《圣經(jīng)》 而流傳最廣的書(shū)籍。它一直是幾何學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)著作。但是它還存在許多缺點(diǎn)并不斷受到批評(píng)，比如對(duì)于點(diǎn)、線、面的定義是不嚴(yán)格的：“點(diǎn)是沒(méi)有部分的對(duì)象”，“線 是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)度(線指曲線)”，“面是只有長(zhǎng)度和寬度的對(duì)象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直線、平面的定義更是從直觀來(lái)解釋的 (“直線是同其中各點(diǎn)看齊的線”)。 另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒(méi)有涉及無(wú)窮量的問(wèn)題。在他的證明中，原來(lái)的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設(shè)是否可由其他公理、公設(shè)推出更是人所矚目的問(wèn)題。盡管如此，近代數(shù)學(xué)的體系特點(diǎn)在其中已經(jīng)基本上形成了。

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1-3 非歐幾何學(xué)的誕生

歐幾里得的《幾何原本》是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物。盡管它有種種缺點(diǎn)和毛病，畢竟兩千多年來(lái)一直是大家公認(rèn)的典范。尤其是許多哲學(xué)家，把歐幾里得幾何學(xué)擺 在絕對(duì)幾何學(xué)的地位。十八世紀(jì)時(shí)，大部分人都認(rèn)為歐幾里得幾何是物質(zhì)空間中圖形性質(zhì)的正確理想化。特別是康德認(rèn)為關(guān)于空間的原理是先驗(yàn)綜合判斷，物質(zhì)世界 必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。 既然是完美的，大家希望公理、公設(shè)簡(jiǎn)單明白、直截了當(dāng)。其他的公理和公設(shè)都滿(mǎn)足了上面的這個(gè)條件，唯獨(dú)平行公設(shè)不夠簡(jiǎn)明，象是一條定理。 歐幾里得的平行公設(shè)是：每當(dāng)一條直線與另外兩條直線相交，在它一側(cè)做成的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角時(shí)，這另外兩條直線就在同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角的那一側(cè)相交。 在《幾何原本》中，證明前28個(gè)命題并沒(méi)有用到這個(gè)公設(shè)，這很自然引起人們考慮：這條啰哩啰嗦的公設(shè)是否可由其他的公理和公設(shè)推出，也就是說(shuō)，平行公設(shè)可能是多余的。 之后的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點(diǎn)，有些人開(kāi)始以為成功了，但是經(jīng)過(guò)仔細(xì)檢查發(fā)現(xiàn)：所有的證明都使用了一些其他的假設(shè)，而這些假設(shè)又可以從平行公設(shè)推出來(lái)，所以他們只不過(guò)得到一些和平行公設(shè)等價(jià)的命題罷了。 到了十八世紀(jì)，有人開(kāi)始想用反證法來(lái)證明，即假設(shè)平行公設(shè)不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出 了一些推論，比如“有兩條線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處相交，而在交點(diǎn)處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來(lái)，這些結(jié)論不合情理，因此不可能真實(shí)。但是這些推論的含義不 清楚，也很難說(shuō)是導(dǎo)出矛盾，所以不能說(shuō)由此證明了平行公設(shè)。 從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。 首先，要能從二千年來(lái)證明平行公設(shè)的失敗過(guò)程中看出這個(gè)證明是辦不到的事，并且這種不可能性是可以加以證實(shí)的；其次，要選取與平行公設(shè)相矛盾的其他公設(shè)，也能建立邏輯上沒(méi)有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開(kāi)創(chuàng)性工作。 要認(rèn)識(shí)到歐幾里得幾何不一定是物質(zhì)空間的幾何學(xué)，歐幾里得幾何學(xué)只是許多可能的幾何學(xué)中的一 種。而幾何學(xué)要從由直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)的空間科學(xué)要變成一門(mén)純粹數(shù)學(xué)，也就是說(shuō)，它的存在性只由無(wú)矛盾性來(lái)決定。雖說(shuō)象蘭伯特等人已有這些思想苗頭，但是真 正把幾何學(xué)變成這樣一門(mén)純粹數(shù)學(xué)的是希爾伯特。 這個(gè)過(guò)程是漫長(zhǎng)的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨(dú)立地創(chuàng)立非歐幾何學(xué)，尤其是它 們所考慮的無(wú)矛盾性是歷史上的獨(dú)創(chuàng)。后人把羅氏幾何的無(wú)矛盾性隱含地變成歐氏幾何無(wú)矛盾性的問(wèn)題。這種利用“模型”和證明“相對(duì)無(wú)矛盾性”的思想一直貫穿 到以后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中。而且這種把非歐幾何歸結(jié)到大家一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。 應(yīng)該指出，非歐幾何為廣大數(shù)學(xué)界接受還是經(jīng)過(guò)幾番艱苦斗爭(zhēng)的。首先要證明第五公設(shè)的否定并不會(huì)導(dǎo)致矛盾，只有這樣才能說(shuō)新幾何學(xué)成立，才能說(shuō)明第五公設(shè)獨(dú)立于別的公理公設(shè)，這是一個(gè)起碼的要求。 當(dāng)時(shí)證明的方法是證明“相對(duì)無(wú)矛盾性”。因?yàn)楫?dāng)時(shí)大家都承認(rèn)歐幾里得幾何學(xué)沒(méi)有矛盾，如果能把 非歐幾何學(xué)用歐幾里得幾何學(xué)來(lái)解釋而且解釋得通，也就變得沒(méi)有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點(diǎn)、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得幾何學(xué)中相應(yīng)的東 西，公理和定理也可用相應(yīng)歐幾里得幾何學(xué)的公理和定理來(lái)解釋?zhuān)@種解釋叫做非歐幾何學(xué)的歐氏模型。 對(duì)于羅巴切夫斯基幾何學(xué)，最著名的歐氏模型有意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米于1869年提出的常負(fù)曲率 曲面模型；德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函數(shù)解釋的單位圓內(nèi)部模型。這些模型的確證實(shí)了非歐幾何的相 對(duì)無(wú)矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創(chuàng)立的橢圓幾何學(xué)，另外還可以推廣到高維空間上。 因此，從十九世紀(jì)六十年代末到八十年代初，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受了非歐幾何學(xué)。盡管有的人還堅(jiān)持歐 幾里得幾何學(xué)的獨(dú)特性，但是許多人明確指出非歐幾何學(xué)和歐氏幾何學(xué)平起平坐的時(shí)代已經(jīng)到來(lái)。當(dāng)然也有少數(shù)頑固派，如數(shù)理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認(rèn) 非歐幾何學(xué)，不過(guò)這已無(wú)關(guān)大局了。 非歐幾何學(xué)的創(chuàng)建對(duì)數(shù)學(xué)的震動(dòng)很大。數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)心幾何學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題，從十九世紀(jì)八十年代起，幾何學(xué)的公理化成為大家關(guān)注的目標(biāo)，并由此產(chǎn)生了希爾伯特的新公理化運(yùn)動(dòng)。

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1-4 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

早在古代，人們就對(duì)長(zhǎng)度、面積、體積的度量問(wèn)題感興趣。古希臘的歐多克斯引入量的觀念來(lái)考慮連續(xù)變動(dòng)的東西，并完全依據(jù)幾何來(lái)嚴(yán)格處理連續(xù)量。這造成數(shù) 與量的長(zhǎng)期脫離。古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)算也沒(méi)有，可是卻有量的比例。他們對(duì)于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其是芝諾提出的四個(gè)著名的悖論： 第一個(gè)悖論是說(shuō)運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路……如此下去，它必須通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，這在有限長(zhǎng)時(shí)間之內(nèi)是無(wú)法辦到的。 第二個(gè)悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因?yàn)闉觚斣谒懊鏁r(shí)，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)，然后用第一個(gè)悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無(wú)限可分的觀點(diǎn)的。 而第三、第四悖論是反對(duì)空間、時(shí)間由不可分的間隔組成。第三個(gè)悖論是說(shuō)“飛矢不動(dòng)”，因?yàn)樵谀? 一時(shí)間間隔，飛矢總是在某個(gè)空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個(gè)悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說(shuō)明希臘人已經(jīng)看到無(wú)窮小與“很小很小” 的矛盾。當(dāng)然他們無(wú)法解決這些矛盾。 希臘人雖然沒(méi)有明確的極限概念，但他們?cè)谔幚砻娣e體積的問(wèn)題時(shí)，卻有嚴(yán)格的逼近步驟，這就是所謂“窮竭法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。 到了十六、十七世紀(jì)，除了求曲線長(zhǎng)度和曲線所包圍的面積等類(lèi)問(wèn)題外，還產(chǎn)生了許多新問(wèn)題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問(wèn)題。經(jīng)過(guò)許多人多年的努力，終于在十七世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門(mén)學(xué)科，這也就是數(shù)學(xué)分析的開(kāi)端。 牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者。他們的功績(jī)主要在于：1，把各種問(wèn)題的解法統(tǒng)一成一種方法，微分法和積分法；2，有明確的計(jì)算微分法的步驟；3．微分法和積分法互為逆運(yùn)算。 由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問(wèn)題的重要工具。同時(shí)關(guān)于微積分基礎(chǔ)的 問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。以求速度為例，瞬時(shí)速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時(shí)的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個(gè)無(wú)窮小量究竟是不是零。這引起了 極大的爭(zhēng)論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實(shí)際問(wèn)題，因此有些人就對(duì)這些基礎(chǔ)問(wèn)題的討論不感興趣。如達(dá)朗貝爾就說(shuō)，現(xiàn)在是“把房子蓋得更高些，而不是把基礎(chǔ)打得更加牢固”。更有許多人認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。 但也因此，微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算，而不管基礎(chǔ)的可靠與否，其中特別 是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；對(duì)無(wú)窮大的概念也不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性；符號(hào)使用的不嚴(yán)格性；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行 微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級(jí)數(shù)等等。 一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開(kāi)始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開(kāi)始，最終由魏爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。 波爾查諾不 承認(rèn)無(wú)窮小數(shù)和無(wú)窮大數(shù)的存在，而且給出了連續(xù)性的正確定義?？挛髟?821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開(kāi)始，認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式。他 抓住了極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開(kāi)及求和；狄里克萊給出了函數(shù)的 現(xiàn)代定義。 在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的ε - δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，從而克服了危機(jī)和矛盾。 十九世紀(jì)七十年代初，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。 同時(shí)，魏爾斯特拉斯給出一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù)的例子。這個(gè)發(fā)現(xiàn)以及后來(lái)許多病態(tài)函數(shù)的例 子，充分說(shuō)明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴(yán)格的概念及推理。由此，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)使數(shù)學(xué)更深入地探討數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)——實(shí)數(shù)論的問(wèn)題。這不僅導(dǎo) 致集合論的誕生，并且由此把數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸結(jié)為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性問(wèn)題，而這正是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的首要問(wèn)題。

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1-5第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

經(jīng)過(guò)第一、二次數(shù)學(xué)危機(jī)，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的無(wú)矛盾性，歸結(jié)為集合論的無(wú)矛盾性，集合論已成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)這座富麗堂皇的大廈就算竣 工了。看來(lái)集合論似乎是不會(huì)有矛盾的，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性的目標(biāo)快要達(dá)到了，數(shù)學(xué)家們幾乎都為這一成就自鳴得意。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊（1854—1912）于1900年在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上夸耀道：“現(xiàn)在可以說(shuō)，（數(shù)學(xué)）絕對(duì)的嚴(yán)密性是已經(jīng)達(dá)到了”。然而，事隔不到兩年，英國(guó)著名數(shù)理邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素（1872—1970）即宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，并不存在什么絕對(duì)的嚴(yán)密性！史稱(chēng)“羅素悖論”。 1918年，羅素把這個(gè)悖論通俗化，成為理發(fā)師悖論。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，無(wú)異于晴天劈靂，把人們從美夢(mèng)中驚醒。羅素悖論以及集合論中其它一些悖論，深入到集 合論的理論基礎(chǔ)之中，從而從根本上危及了整個(gè)數(shù)學(xué)體系的確定性和嚴(yán)密性。于是在數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)界引起了一場(chǎng)軒然大波，形成了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。 產(chǎn)生集合論悖論的原因在于集合的辨證性與數(shù)學(xué)方法的形式特性或者形而上學(xué)的思維方法的矛盾。如產(chǎn)生羅素悖論的原因，就在于概括原則造集的任意性與生成集合的客觀規(guī)則的非任意性之間的矛盾。 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物——數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。 為了解決第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)家們作了不同的努力。由于他們解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同，所遵循的途徑不同，所以在本世紀(jì)初就形成了不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)流派，這就是以羅素為首的邏輯主義學(xué)派、以布勞威爾（1881—1966）為首的直覺(jué)主義學(xué)派和以希爾伯特為首的形式主義學(xué)派。這三大學(xué)派的形成與發(fā)展，把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論研究推向了一個(gè)新的階段。三大學(xué)派的數(shù)學(xué)成果首先表現(xiàn)在數(shù)理邏輯學(xué)科的形成和它的現(xiàn)代分支——證明論等——的形成上。 為了排除集合論悖論，羅素提出了類(lèi)型論，策梅羅提出了第一個(gè)集合論公理系統(tǒng)，后經(jīng)弗倫克爾加以 修改和補(bǔ)充，得到常用的策梅羅——弗倫克爾集合論公理體系，以后又經(jīng)伯奈斯和哥德?tīng)栠M(jìn)一步改進(jìn)和簡(jiǎn)化，得到伯奈斯——哥德?tīng)柤险摴眢w系。希爾伯特還建 立了元數(shù)學(xué)。作為對(duì)集合論悖論研究的直接成果是哥德?tīng)柌煌耆远ɡ怼? 美國(guó)杰出數(shù)學(xué)家哥德?tīng)?/a>于 本世紀(jì)30年代提出了不完全性定理。他指出：一個(gè)包含邏輯和初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，則是不完全的，亦即無(wú)矛盾性不可能在本系統(tǒng)內(nèi)確立；如果初 等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)是不可能證明的。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ頍o(wú)可辯駁地揭示了形式主義系統(tǒng)的局限性，從數(shù)學(xué)上證明了企圖以形式主義的技 術(shù)方法一勞永逸地解決悖論問(wèn)題的不可能性。它實(shí)際上告訴人們，任何想要為數(shù)學(xué)找到絕對(duì)可靠的基礎(chǔ)，從而徹底避免悖論的種種企圖都是徒勞無(wú)益的，哥德?tīng)柖ɡ? 是數(shù)理邏輯、人工智能、集合論的基石，是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)里程碑。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家馮•諾伊曼說(shuō)過(guò)：“哥德?tīng)栐诂F(xiàn)代邏輯中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽 甚至超過(guò)了紀(jì)念碑，它是一個(gè)里程碑，在可以望見(jiàn)的地方和可以望見(jiàn)的未來(lái)中永遠(yuǎn)存在的紀(jì)念碑”。 時(shí)至今日，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)還不能說(shuō)已從根本上消除了，因?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標(biāo)逐漸接近。可以預(yù)料，在這個(gè)過(guò)程中還將產(chǎn)生許多新的重要成果。